凸优化问题是指 是闭合的凸集且 是 上的凸函数的最优化问题，这两个条件任一不满足则该问题即为非凸的最优化问题。...为什么要求是凸集呢？因为如果可行域不是凸集，也会导致局部最优?...实际建模中判断一个最优化问题是不是凸优化问题一般看以下几点：目标函数 如果不是凸函数，则不是凸优化问题决策变量 中包含离散变量（0-1变量或整数变量），则不是凸优化问题约束条件写成 时，...如果不是凸函数，则不是凸优化问题之所以要区分凸优化问题和非凸的问题原因在于凸优化问题中局部最优解同时也是全局最优解，这个特性使凸优化问题在一定意义上更易于解决，而一般的非凸最优化问题相比之下更难解决。...非凸优化问题如何转化为凸优化问题的方法： 1）修改目标函数，使之转化为凸函数 2）抛弃一些约束条件，使新的可行域为凸集并且包含原可行域
首先抛一个知乎的回答：在数学中一个非凸的最优化问题是什么意思？
https://blog.csdn.net/JNingWei/article/details/78836920 凸： 指的是顺着梯度方向走到底就 一定是 最优解 。...大部分 传统机器学习 问题 都是凸的。 非凸： 指的是顺着梯度方向走到底只能保证是局部最优，不能保证 是全局最优。 深度学习以及小部分传统机器学习问题都是非凸的。
》凸优化的好处 1）如果一个实际的问题可以被表示成凸优化问题，那么我们就可以认为其能够得到很好的解决。 2）还有的问题不是凸优化问题，但是凸优化问题同样可以在求解该问题中发挥重要的左右。...比如松弛算法和拉格朗日松弛算法，将非凸的限制条件松弛为凸限制条件。 3）对于凸优化问题来说，局部最优解就是全局最优解。 4）若f(x)在非空可行集R上是严格凸函数，则问题的全局极小点是唯一的。
”凸优化“ 是指一种比较特殊的优化，是指求取最小值的目标函数为凸函数的一类优化问题。其中，目标函数为凸函数且定义域为凸集的优化问题称为无约束凸优化问题。...而目标函数和不等式约束函数均为凸函数，等式约束函数为仿射函数，并且定义域为凸集的优化问题为约束优化问题。...之所以要研究凸优化问题是因为其有一套非常完备的求解算法，如果将某个优化问题确认或者转化为凸优化问题，那么能够快速给出最优解。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
定义 凸优化问题（OPT，convex optimization problem）指定义在凸集中的凸函数最优化的问题。尽管凸优化的条件比较苛刻，但仍然在机器学习领域有十分广泛的应用。...凸优化问题的优势 凸优化问题的局部最优解就是全局最优解 很多非凸问题都可以被等价转化为凸优化问题或者被近似为凸优化问题（例如拉格朗日对偶问题） 凸优化问题的研究较为成熟，当一个具体被归为一个凸优化问题，...元正定二次型的图像也对应着一个抛物线，保证当自变量取值非零向量时，对应的函数值大于0恒成立。...3.3 半正定矩阵的图像 同样我们可以给出二元半正定二次型的图像，即某个自变量的特征值为0从而保证当自变量取值为非零向量时，对应的函数值大于等于0恒成立。 ? 二元半正定二次型图像 凸优化问题 1....均为仿射函数时, 上述的优化问题即凸优化问题。 2. 常见的凸优化问题 2.1 线性规划（LP, Linear Program） ? 其中目标函数和不等式约束都是仿射函数，且 ?
导言 凸优化（convex optimization）是最优化问题中非常重要的一类，也是被研究的很透彻的一类。对于机器学习来说，如果要优化的问题被证明是凸优化问题，则说明此问题可以被比较好的解决。...称为点x和y的凸组合。下图是凸集和非凸集的示意图，左边是一个凸集，右边是一个非凸集： ? 下面是实际问题中一些常见的凸集例子，记住它们对理解后面的算法非常有帮助： n维实向量空间Rn。...类似的，如果一个n阶矩阵A，对于任何非0的n维向量x，都有： ? 则称矩阵A为负定矩阵。如果满足： ? 则称矩阵A为半正定矩阵。...一个重要结论是凸函数的非负线性组合是凸函数，假设fi是凸函数，并且wi ≥0，则： ? 是凸函数。可以根据凸函数的定义进行证明，非常简单，读者可以自己实现。...凸优化 有了凸集和凸函数的定义之后，我们就可以给出凸优化的定义。如果一个最优化问题的可行域是凸集，并且目标函数是凸函数，则该问题为凸优化问题。凸优化问题可以形式化的写成： ?
凸集 在最优化范畴中，凸优化问题是一类比较常见的，性质很好，很多时候可以帮助我们解决非凸问题的工具。...如果一个凸函数min f(x),它的可行集x∈S，S是一个凸集合，如此一般来说我们就认为这是一个凸优化的问题。...这里是由S集本身的性质决定的，图1的S集是一个凸集，图2的S集是一个非凸集。 如果一个目标函数是一个凸函数，其可行集也是一个凸集，那么我们找到的最优解就是全局解，我们找到的平稳点就是最优解。...上图中第一个图形是一个圆，它是一个凸集；第二个图形是一个多面体，它也是一个凸集；第三个图形是一个非凸集，这个很容易判断。...对于一个非凸集来说，如果对该集合产生一个凸包，那么就会将该非凸集转化成一个凸集。 凸包的作用主要用于解非凸优化问题的时候，会对一个非凸的问题进行凸化的作用。
接凸优化整理 基于线搜索的下降算法基本思路 给定初始点\(x^0\)，k=0； 判断\(x^k\)是否满足终止条件：是，则终止； 寻找\(x^k\)处的下降方向\(d^k\)； 选择合适的步长\(α_k
一、引言 在机器学习问题中，很多的算法归根到底就是在求解一个优化问题，然而我们的现实生活中也存在着很多的优化问题，例如道路上最优路径的选择，商品买卖中的最大利润的获取这些都是最优化的典型例子，前面也陆续地有一些具体的最优化的算法...，如基本的梯度下降法，牛顿法以及启发式的优化算法(PSO,ABC等)。...三、三类优化问题 主要有三类优化问题： 无约束优化问题 含等式约束的优化问题 含不等式约束的优化问题 针对上述三类优化问题主要有三种不同的处理策略，对于无约束的优化问题，可直接对其求导...，并使其为0，这样便能得到最终的最优解；对于含等式约束的优化问题，主要通过拉格朗日乘数法将含等式越是的优化问题转换成为无约束优化问题求解；对于含有不等式约束的优化问题，主要通过KKT条件(Karush-Kuhn-Tucker...Condition)将其转化成无约束优化问题求解。
凸优化笔记(1) 引言 1. 引言 1.1 数学优化 优化问题可以写成如下形式 ?...1.3 凸优化 凸优化问题具有以下形式化 ? 其中需要满足 ? 且 ?...1.3.1 求解凸优化问题 凸优化问题没有一个确定的解析解，但是和线性规划类似，存在许多算法求解凸优化问题，实际意义中内点法就比较有效 1.3.2 使用凸优化 同线性规划和最小二乘类似，我们可以将某个问题转化为凸优化问题进而将其求解...在全局优化中，人们致力于搜索问题的全局最优解，付出的代价是效率 1.4.3 非凸问题中凸优化的应用 局部优化中利用凸优化进行初始值的选取 非凸优化中的凸启发式算法 随机化算法 搜索带约束条件的稀疏向量...全局优化的界 松弛算法中，每个非凸的约束都用一个松弛的凸约束来替代
（实际上就是太一般的优化问题讨论不来） 2.凸优化的定义 首先明确两个定义: ---- (1) 如果 ? 中任意两点之间的线段任在 ? 中，那么集合 ? 被称为凸集。即对任意 ?...也就是说，凸优化问题是指需要最小化的函数（代价函数）是凸函数，而且定义域为凸集的问题。 3.凸优化问题的一般求解方法 有些凸优化问题比较简单，是可以直接求解的，譬如二次规划，这里不做说明。...《convex optimization》这本书中，将凸优化问题分为无约束优化、等式约束优化和不等式约束优化分别介绍了其算法，然其本质并无区别。下降方法即产生一优化点列 ? 其中 ? 并且 ? 。...然而实践中一般采用非精确直线搜索方法，譬如回溯直线搜索。算法如下图： ? 下降方向 在各个领域都广为应用的LMS算法也称为随机梯度算法（LMS算法和这里算法的区别和联系应该会另写一篇）。...采用示性函数可以将不等式约束隐含在代价函数中，这里带来的问题是——代价函数非凸。障碍方法被引入以解决这个问题。（内点法）这样，不等式约束就变成了等式约束或是无约束的情况了。
接凸优化整理(三) 对偶理论 考虑如下一般形式约束优化问题： 记可行集为 这里跟之前不同的地方在于x∈X。...如果问题(P)非凸，它是一个NP难的问题。此时我们可以寻找一个与(P)紧密，简单的对偶问题(D)。 线性规划的原问题(P)，min \(c^Tx\)，s.t. Ax=b,x≥0。...λ≥0 由上图可知，最大值为\(1\over 2\) 对于这个整数规划，gap=v(P)-v(D)=1-\(1\over 2\)=\(1\over 2\) 强对偶定理 假设： 集合X为非空凸集，f(x)...,l均为线性函数；即原问题P是一个凸优化问题。 假设存在 ∈X使得 (严格可行点)，且0∈int h(X)，其中h(X)={\((h_1(x),......,l，x∈X} 由f(x)是凸函数，\(g_i(x)\)是凸函数，X是凸集合，可知H是凸集合，且\((0,0,0)^T\)∉H，这里第一个0是1维，第二个0是m维，第三个0是l维 根据凸集分离定理(见凸优化整理
接凸优化整理(二) 约束优化 约束优化问题 考虑如下一般形式约束优化问题： 记可行集为 假设问题(P)中的函数f(x)，\(g_i\)(x)，\(h_i\)(x)均为连续可微函数； 注意几类非光滑函数的转化...例：约束优化最优解的特征 min f(x) x∈\(R^n\) s.t.
今天介绍一点凸优化方面的知识～内容可能有点无聊，看懂了这篇文章，会对求极值和收敛有进一步理解，比如： 了解为什么向量机（SVM）等的推导中，求极值时可以把约束条件加在目标函数后面来变成一个无约束的优化问题...要是一个土丘（凸函数）那没问题，如果要是连绵不断的群山（非凸函数），只能保证到达一个小山峰（极值），而这个不一定是所有山峰中最高的（最值）。...由于凸函数的极值点就是最值点，相对于非凸函数，我们更喜欢凸函数。这里不但要求目标函数是凸的，其定义的空间也必须是凸的集合。正如要求地形是凸的，能走的路构成的集合也必须是凸的。...其中supporting定理通过函数上镜图的概念和凸函数联系起来了，这构成了凸优化中对偶性duality的基石。在凸优化中的对偶，和信号处理里的傅里叶变换一样重要。...总结 对偶是凸优化的基石，延伸出各种优化方法。正如信号处理中时域上不好解决的问题变换到频域去解决。遇到目标函数是二次函数的，直接看看KKT条件能不能用。
一、引言 在机器学习问题中，很多的算法归根到底就是在求解一个优化问题，然而我们的现实生活中也存在着很多的优化问题，例如道路上最优路径的选择，商品买卖中的最大利润的获取这些都是最优化的典型例子...，前面也陆续地有一些具体的最优化的算法，如基本的梯度下降法，牛顿法以及启发式的优化算法(PSO,ABC等)。...三、三类优化问题 主要有三类优化问题： 无约束优化问题 含等式约束的优化问题 含不等式约束的优化问题 针对上述三类优化问题主要有三种不同的处理策略，对于无约束的优化问题，可直接对其求导...，并使其为0，这样便能得到最终的最优解；对于含等式约束的优化问题，主要通过拉格朗日乘数法将含等式越是的优化问题转换成为无约束优化问题求解；对于含有不等式约束的优化问题，主要通过KKT条件(Karush-Kuhn-Tucker...Condition)将其转化成无约束优化问题求解。
在近日的一篇文章中，斯坦福大学助理教授马腾宇介绍了机器学习中的非凸优化问题，包括广义线性模型、矩阵分解、张量分解等。 非凸优化在现代机器学习中普遍存在。...研究人员设计了非凸目标函数，并使用现成的优化器（例如随机梯度下降及其变体）对其进行了优化，它们利用了局部几何并进行迭代更新。...了解现有的优化非凸函数启发式方法非常重要，我们需要设计更有效的优化器。其中最棘手的问题是寻找非凸优化问题的全局极小值，甚至仅仅是一个 4 阶多项式——NP 困难。...； 第四章：矩阵分解问题，包括主成分分析和矩阵补全； 第五章：张量分解，包括正交张量分解的非凸优化和全局最优； 第六章：神经网络优化的综述与展望。...他的主要研究兴趣为机器学习和算法方面的研究，包括非凸优化、深度学习、强化学习、表征学习、分布式优化、凸松弛以及高维统计等。
范数问题，因为L1范数与L0范数等价，所以将L0范数转换为L1范数问题来求解，基追踪是将L1范数问题转为成为线性规划问题来进行求解，博主还提到了基追踪降噪问题，是转换为二次规划问题来进行求解的，但是这类凸优化问题计算复杂度高
对于凸优化，我们最容易产生的疑惑就是它与最优化（数值优化）有什么区别？虽然它们俩本质上都是优化，但是凸优化的研究范围更窄，可以看出对“凸”的要求更高。...因为凸优化与数值优化的交集甚多，故很多凸优化所需要的知识，其实我们在数值优化中很有可能已经介绍过。因此在这个系列中，会有大量对《数值优化》这个系列的引用。...但是我们要说明的是，它的约束 是一个非凸集，因此这本质上是一个非凸优化问题。 为什么秩的限制集合是非凸的问题呢，事实上举一个例子就好了。 可以看出两个秩1矩阵加在一起不一定是秩1矩阵。...其中 表示它的所有的特征值都非负，也就是半正定的含义。 要证明这个非常简单，现在假如说 是某一个 的元素，那么只要说明，对任意的 ，都有 就可以了。...但是这个是很显然的，一方面可以通过特征值都乘了一个 倍，所以依然都非负来解释。另一方面也可以通过半正定的定义 来得到。而注意到 ，所以结论成立。
优化问题一般可分为两大类：无约束优化问题和约束优化问题，约束优化问题又可分为含等式约束优化问题和含不等式约束优化问题。...无约束优化问题 含等式约束的优化问题 含不等式约束的优化问题 针对以上三种情形，各有不同的处理策略： 无约束的优化问题：可直接对其求导，并使其为0，这样便能得到最终的最优解； 含等式约束的优化问题：主要通过拉格朗日乘数法将含等式约束的优化问题转换成为无约束优化问题求解...； 含有不等式约束的优化问题：主要通过KKT条件(Karush-Kuhn-Tucker Condition)将其转化成无约束优化问题求解 ?
领取专属 10元无门槛券
手把手带您无忧上云
云服务器
即时通信 IM
ICP备案
对象存储
实时音视频
