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【组合数学】不定方程解个数问题 ( 多重集r组合数 | 不定方程非负整数解个数 | 生成函数展开式中 r 次幂系数 | 给定范围系数 情况下不定方程整数解个数 )

不定方程解个数 x 取值范围 ( 给定一个范围 ) 不定方程解个数 x 取值范围 ( 给定一个范围 并带系数 ) 不定方程解的题目 带限制的情况 多重集 r 组合数 生成函数计算方法 此处引入 不定方程的解...a_k \} 的 r- 组合数 ② 不定方程 x_1 + x_2 + \cdots + x_k = r (x_i \leq n_i) 的非负整数解个数 ; ③ 生成函数 G(y) = (1+...; 注意不定方程带系数的情况下 , 生成函数中需要使用 y^{系数} 替代 y , 生成函数中 y^{系数} 的幂从 i 到 j ; ---- 不定方程解的题目 带限制的情况...; 分析 : 1>不要直接求解 : 直接列出生成函数 , 就将问题复杂化了 ; 2> 换元转化 : 这里可以将其转为 非负整数解的个数来计算 ; 3> 多重集组合数 : 此时就等价于 多重集 S..._1 + y_2 + y_3+y_4 + 11 = 15 y_1 + y_2 + y_3+y_4 = 4 ③ 求 y_1 + y_2 + y_3+y_4 = 4 ( y_i 是自然数 ) , 非负整数解个数

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【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )

文章目录 一、使用生成函数求解不定方程解个数 1、带限制条件 2、带系数 参考博客 : 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关...】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 ) 一、使用生成函数求解不定方程解个数 ---- 不定方程的解个数 :...推导 2 ( 不定方程非负整数解个数推导 ) 上述情况下 , x_i 的取值都是没有上限的 , 如果 x_i 取值受限 , 如 x_1 取值必须满足 2 \leq x_1 \leq 5...; 2、带系数 p_1x_1 + p_2x_2 + \cdots + p_kx_k = r x_i \in N , 非负整数解 , 对 x_i 不设置上限 ; 带系数的函数非负整数解 , 生成函数的项的基本的...cdots})(1+y^{p_2} + y^{2p_2} + y^{3p_2 + \cdots}) \cdots (1+y^{p_k} + y^{2p_k} + y^{3p_k + \cdots}) 该方程的非负整数解个数是

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【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 正整数拆分基本模型 | 有限制条件的无序拆分 )

( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 ) 【组合数学】生成函数...是两类组合问题 ; 如果不允许重复 , 那么这些 x_i 的取值 , 只能 取值 0, 1 ; 相当于 带限制条件 , 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ; 对应的生成函数是 : G(x...) = (1+ y^{a_1}) (1+ y^{a_2}) \cdots (1+ y^{a_n}) 如果 允许重复 , 那么这些 x_i 的取值 , 就是 自然数 ; 相当于 带系数 的 不定方程非负整数解...x_i 取值范围 做一下限制 , l_i \leq x_i \leq t_i 这种形式可以使用 不定方程非负整数解个数 的生成函数计算 , 是 带系数 , 带限制条件的情况 , 参考 : 组合数学...】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 ) 上述受限制条件下的无序拆分 , 就是完整的 带系数 , 带限制条件 的 不定方程非负整数解 的问题 ;

2.1K00

【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复 | 不允许重复 | 无序不重复拆分 | 无序重复拆分 )

) 【组合数学】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数...是两类组合问题 ; 如果不允许重复 , 那么这些 x_i 的取值 , 只能 取值 0, 1 ; 相当于 带限制条件 , 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ; 如果 允许重复 , 那么这些...x_i 的取值 , 就是 自然数 ; 相当于 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ; 1、无序拆分 不允许重复 讨论 无序拆分 , 不允许重复的情况 , 该方式 等价于 带限制条件 , 带系数 的...不定方程非负整数解 的情况 ; a_1 项对应的生成函数项 , x_1 取值 0,1 , 则对应的生成函数项是 (y^{a_1})^{0} + (y^{a_1})^{1}= 1+ y^{a...N 的拆分方案数 ; 2、无序拆分 允许重复 讨论 无序拆分 , 允许重复的情况 , 该方式 等价于 不带限制条件 , 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ; a_1 项对应的生成函数项 ,

1.6K00

【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 )

| 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 ) 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 ) 【组合数学】生成函数...x_2 个 , \cdots , a_n 有 x_n 个 , 那么有如下方程 : a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = N 这种形式可以使用 不定方程非负整数解个数...的生成函数计算 , 是 带系数 , 带限制条件的情况 , 参考 : 组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 ) 无序拆分的情况下 , 拆分后的正整数 , 允许重复 和 不允许重复 ,...是两类组合问题 ; 如果不允许重复 , 那么这些 x_i 的取值 , 只能 取值 0, 1 ; 相当于 带限制条件 , 带系数 的 不定方程非负整数解 的情况 ; 对应的生成函数是 : G(x...的 不定方程非负整数解 的情况 ; 对应的生成函数是 : G(x) = (1+ y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots) (1+ y^{a_2} + y^{2a_2}\cdots) \cdots

2.5K00

【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 )

文章目录 一、使用生成函数求解不定方程解个数示例 参考博客 : 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关...| 使用生成函数求解递推方程 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 ) 一、使用生成函数求解不定方程解个数示例...x_3 个 , 取值范围是 0 \leq x_3 \leq 2 , 可取值 0,1,2 x_1 + 2x_2 + 4x_3 = r , 其中 r 代表可以称出的重量 , 写出上述 ,...带限制条件 , 并且带系数 的不定方程非负整数解的 生成函数 : x_1 项 , 带限制条件 , 没有系数 , 其 底是 y , 幂取值 0 , 1, 2 , 对应的生成函数项是 ( 1 +...y + y^2 ) x_2 项 , 带限制条件 , 带系数 2 , 其 底是 y^2 , 幂取值 0,1 , 对应生成函数项是 (y^2)^0 + (y^2)^1 = 1+ y^2 x

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【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 )

文章目录 一、使用生成函数求解不定方程解个数示例 参考博客 : 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关...| 使用生成函数求解递推方程 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例...x_3 个 , 取值范围是 -2 \leq x_3 \leq 2 , 可取值 -2, -1, 0,1,2 x_1 + 2x_2 + 4x_3 = r , 其中 r 代表可以称出的重量 ,...写出上述 , 带限制条件 , 并且带系数 的不定方程非负整数解的 生成函数 : x_1 项 , 带限制条件 , 没有系数 , 其 底是 y , 幂取值 0 , 1, 2 , 对应的生成函数项是...(y^{-2} + y^{-1} + 1 + y + y^2 ) x_2 项 , 带限制条件 , 带系数 2 , 其 底是 y^2 , 幂取值 0,1 , 对应生成函数项是 (y^2

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【组合数学】指数生成函数 ( 证明指数生成函数求解多重集排列 )

文章目录 一、证明指数生成函数求解多重集排列 参考博客 : 按照顺序看 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 |...( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 ) 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 ) 【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复...是多重集 r 个元素的全排列数 选了 r 个元素 , 选择的方法数是 m_1 + m_2 + \cdots + m_r = r 非负整数解个数 , 配置完成后 , 再 进行全排列 , 就可以得到...上述求和 , 每个分项都是满足 m_1 + m_2 + \cdots + m_r = r 方程的非负整数解 , 每个非负整数解都对应了多重集的 S 的 r 组合 ; 组合的全排列数是 \cfrac..., 上述求和 a_r = \sum\cfrac{r!}{m_1!m_2!\cdots m_k!} 是 针对所有满足方程的一切非负整数解进行求和 ;

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「如何跳出鞍点？」NeurIPS 2018优化相关论文提前看

预备知识 本文关注的问题可以被形式化定义如下： ? 其中，f 是在一个凸集上平滑的非凸函数，x∈R^d，C 是一个封闭的凸集，而实数集上的 f:R^d 是 C 上的一个二次连续函数。...其中，A∈R^d 是一个对称矩阵，b∈R^d 是一个向量，而 c 是一个标量。在这里，假设有一个可行解 x*，和一个属于 (0,1] 常数因子 ρ，作者将问题的解定义如下： ?...正如上面所示的定义,Lipschitz 常数 L1 和 L2 分别取决于▽ f(x) 和 ▽ ^2 f(x)。因此，这些常数可能对于一个函数来说很小而对于另一个函数很大。...然后，我们应用算法 1 找到负曲率方向来跳出鞍点（如果它是鞍点的话）。 结论 作者研究了目标函数（可能是非凸的）三阶平滑在随机优化中的好处。...作者在他们提出的负曲率下降算法的基础上，进一步提出了一种实用的改进运行时复杂度的随机优化算法，能够为目标函数是一个有限和形式的非凸优化问题找到局部最小值。

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硬核蹭热点系列：负油价和巴舍利耶模型

1 Black-Scholes 模型 原生资产 (商品现货价格) 的随机微分方程（SDE）如下： 其中 S(t) = 资产在时点 t 的值 r= 常数型瞬时利率 q = 常数型净便利收益率 (net convenience...yield) σ = 常数型瞬时波动率 W(t) = 布朗运动 对于消费型商品（非投资型商品如黄金或白银），你持有现货会给你带来便利（convenience yield），但也会有存储费用（cost...BS 的推导见得太多了，因此简叙一下推导步骤： 用伊藤公式解 SDE 得到 S(T) 将 S(T) 带入期权支付函数中求积分 首先根据伊藤公式解 S(T) 再求积分得到期权定价公式，看涨看跌期权用 ω...yield) σ = 常数型波动率 W(t) = 布朗运动 上面大多参数含义和 BS 模型中的一样， 只有 σ 不再是瞬时波动率，而是波动率了，注意 SDE 的扩散项（diffusion term）只有...Bachelier 的推导虽然很早就有了，但可能大家没怎么关注，因此详叙一下推导步骤： 用通用线性 SDE 的解得到 S(T) 将 S(T) 带入期权支付函数中求积分 首先通用线性 SDE 的解 S(T

1.3K10

【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )

文章目录 一、使用生成函数求解多重集 r 组合数 二、使用生成函数求解多重集 r 组合数 示例 参考博客 : 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 |...与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 ) 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 ) 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 ) 【组合数学..., 是 不定方程 x_1 + x_2 + \cdots + x_k = r 的非负整数解 , 前提是 x_i \leq n_i , 每个元素所取的个数 x_i , 不能超过其重复度 n_i..., 非全排列 k^r , \ \ r\leq n_i 可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合 ; N= C(k + r - 1, r) 上述的 多重集 r 组合数 C(k + r...是 y^{r} , 即 y^{x_1}y^{x_2}\cdots y^{x_k} = y^{r} , 相当于指数 x_1 + x_2 + \cdots + x_k = r , 也就是不定方程的非负整数解

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2016-ICLR-DENSITY MODELING OF IMAGES USING A GENERALIZED NORMALIZATION TRANSFORMATION

整个非线性变换的架构为：数据首先经过线性变换，然后通过合并的活动度量对每个分量进行归一化（这个活动度量是对整流和取幂分量的加权和一个常数进行取幂计算）。作者利用负熵度量对整个非线性变换进行优化。...而 ICA 模型和 RG 模型都只是在 ddd 取值较大或较小时才表现出很好的去相关效果。 作者说在这里互信息通过一个加性常数和式 (2) 表示的负熵相关。...不是很理解…… 根据互信息的定义： image.png 多出来的 和式 (2) 中的 有常数关系吗？...这里作者考虑加性高斯噪声，并使用经验贝叶斯解公式由估计的噪声数据分布 推导得到原图像的数据分布，经验贝叶斯解公式如下： image.png 其中， 是噪声图像数据， 是 的方差，...T. and Nowak, R. D.

1.4K30

用一张图理解SVM的脉络

这个问题的求解普遍使用的是SMO算法，这是一种分治法，它每次选择两个变量进行优化，这两个变量的优化问题是一个带等式和不等式约束条件的二次函数极值问题，可以求出公式解，并且这个问题也是凸优化问题。...在微积分中我们学习过，带等式约束的最优化问题可以用拉格朗日乘数法求解，对于既有等式约束又有不等式约束的问题，也有类似的条件定义函数的最优解-这就是KKT条件。对于如下优化问题： ?...接下来将上面的问题转化为如下所谓的原问题形式，其最优解为： ? 等式右边的含义是先固定住变量x，将其看成常数，让拉格朗日函数对乘子变量 ? 求最大值。消掉这两组变量之后，再对变量x求最小值。...上面第一种情况对应的是自由变量即非支持向量，第二种情况对应的是支持向量，第三种情况对应的是违反不等式约束的样本。在后面的求解算法中，会应用此条件来选择优化变量。...假设选取的两个分量为 ? ，其他分量都固定即当成常数。由于 ? 以及 ? 对这两个变量的目标函数可以写成： ? 其中c是一个常数。前面的二次项很容易计算出来，一次项要复杂一些，其中： ? ?

2.7K10

文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （228）-- 算法导论16.4 5题

• 权重函数的定义：权重函数是给每个元素一个非负权重，独立子集的权重是该子集中所有元素权重的和。通过转换方法，我们确保了： • 元素间的独立性关系保持不变。...调整独立子集集合：如果原集合I包含所有权重非负的子集，则在转换后，集合I需要调整为包含所有权重非正的子集。 3....为了将这个问题转换为标准的加权拟阵问题，我们需要确保我们的权重函数满足以下条件： 1. 非负性：权重函数w是定义在E上的非负实值函数。 2....非负转换：如果权重函数w不是非负的，我们可以通过减去一个常数来使所有权重非负。这个常数是w的最小值的绝对值。这样，我们不会改变权重之间的相对大小，也不会改变最优解。 2....通过上述转换，我们可以确保新的权重函数w'是非负的，并且与拟阵M兼容。因此，我们得到了一个标准的加权拟阵问题。 为了证明转换的正确性，我们需要验证转换后的权重函数w'保持了原问题的最优解。

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深度 | SGD过程中的噪声如何帮助避免局部极小值和鞍点？

向非凸环境的转变催生了对于像动态系统理论、随机微分方程等框架的使用，这为在优化解空间中考虑长期动态和短期随机性提供了模型。 在这里，我将讨论在梯度下降的世界中首先出现的一个麻烦：噪声。...mini-batch 噪声的协方差结构 介绍一下我们的问题设定背景。假设我想要最小化一个包含 N 个样本的有限数据集上的损失函数 f:R^n→R。...在许多优化问题中，我们根本的目标是最大化一些参数配置的似然。因此，我们的损失是一个负对数似然。对于分类问题来说，这就是一个交叉熵。在这个例子中，第一项 ?...但是 KL 散度是一个与我们想要最小化的交叉熵损失（负对数似然）相差甚远的常数因子。 因此，mini-batch 噪声的协方差与我们损失的 Hessian 矩阵渐进相关。...我认为正确的方法应该是想出一种有效的方法来模拟小批量噪声的各向异性，这种方法从学习率和批处理大小的组合中「解耦」出来。

1.4K50

运筹学教学|十分钟快速掌握单纯形法（附C++代码及算例）

因此，为了便于讨论，在应用单纯形法时，规定线性规划问题必须有一个标准形式，主要包括以下三个特征： 1）目标函数统一为求极大值(或极小值)； 2）所有约束条件（除变量的非负条件外）必须都是等式，约束条件右端常数项...可行解与 最优解 若找到(x_1, x_2 ,..., x_n)的值满足所有约束条件，且每个变量的值非负，则(x_1, x_2 ,..., x_n)称为线性规划问题的可行解。...最优性检验 若在当前表的目标函数对应的行中，所有非基变量的系数非正，则可判断得到最优解，可停止计算。否则转入下一步； 3....挑选目标函数对应行中系数最大的非基变量作为进基变量。假设x_k为进基变量，按θ规则[1]计算，可确定x_l为出基变量，转下一步； 5....在单纯形表中，我们发现非基变量x的系数大于零，因此可以通过增加这些x的值，来使目标函数增加。 上表中c_2最大，因此我们选择x_2作为新的基变量。按照θ规则，x_7出基。

3.7K60

可扩展机器学习——梯度下降(Gradient Descent)

image.png 3、凸优化与非凸优化 简单来讲，凸优化问题是指只存在一个最优解的优化问题，即任何一个局部最优解即为全局最优解，可以由下图表示： ?...非凸优化是指在解空间中存在多个局部最优解，而全局最优解是其中的某一个局部最优解，可以由下图表示： ?...若当前点的斜率(梯度)为正，则选择的方向向左，若当前的斜率(梯度)为负，则选择的梯度的方向是向右。 负的斜率即为下降的方向。 对于上述的一维的情况，有下述的更新规则： ?...对于二维的情况，如下图所示： ? 其中，函数值由黑白色表示，黑色表示更大的值，箭头表示的是梯度。 负的梯度是最快的下降的方向。 此时更新的规则如下： ?...在实践的过程中，人们发现了不同的步长形式，一种通用的步长设置方法如下： image.png 其中，α 是一个常数，n表示的是训练数据中特征的个数，ii表示的是迭代的代数。

1.2K70

《算法导论》动态规划笔记(1)

时间为n的指数函数，T（n）=2^n 使用动态规划求解 刚才看到用递归的方法求解太费时间了，然后看看用动态规划怎么求解。动态规划对每个子问题只求解一次，并将结果保存下来。...动态规划有2中等价求解方法，先看第一种 1....带备忘的自顶向下法 此方法扔按照自然的递归形式编写过程，但过程会保存每个子问题的解，通常保存在一个数组或者散列表中，（散列表后面再说）当需要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解。...下面是带备忘的自顶向上的CUT-ROD过程的伪代码 # 主过程 MEMOIZED-CUT-ROD（p，n） let r[0..n] be a new array for i=0 to n...# 令新建数组r的值都为负无穷， # 然后调用辅助过程MEMOIZED-CUT-ROD-AUX r[i] = 负无穷 return MEMOIZED-CUT-ROD-AUX

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学界 | 全局最优解？为什么SGD能令神经网络的损失降到零

选自 arXiv 机器之心编译 参与：思源 昨日，reddit 上一篇帖子引发热议，该帖介绍了一篇关于梯度下降对过参数化神经网络影响的论文，该论文只用单个非常宽的隐藏层，并证明了在一定条件下神经网络能收敛到非凸优化的全局最优解...一个经验观察是，即使优化目标函数是非凸和非平滑的，随机初始化的一阶方法（如随机梯度下降）仍然可以找到全局最小值（训练损失接近为零）。令人惊讶的是，这个特性与标签无关。...然而，这并不能说明为什么由随机初始化的一阶方法找到的神经网络能够适应所有数据。目标函数是非凸和非平滑的，这使得传统的凸优化分析技术在这种情况下没有用。...在后一部分的离散型时间分析中，我们将进一步修正这一部分的证明，并为带正下降步长的梯度下降设定一个定量边界。 形式化而言，我们考虑常微分方程，公式如下所示： ? 其中 r 属于 1 到 m。...定理 4.1 表明，即使目标函数是非平滑和非凸的，具有正常数步长的梯度下降仍然具有线性收敛速度。我们对最小特征值和隐藏节点数的假设与梯度流定理完全相同。

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机器学习与深度学习习题集答案-2

各类样本的均值之差可以写成 ? 如果定义类间散布矩阵 ? 则类间差异可以写成 ? 要优化的目标函数可以写为 ? 这个最优化问题的解不唯一，如果 ? 是最优解，将它乘上一个非零系数k之后， ?...还是最优解。可以加上一个约束条件消掉冗余，同时简化问题。为w加上如下约束 ? 上面的最优化问题转化为带等式约束的极大值问题： ? 用拉格朗日乘数法求解。构造拉格朗日乘子函数： ?...先固定住拉格朗日乘子α，调整w和b，使得拉格朗日函数取极小值。把α看成常数，对w和b求偏导数并令它们为0，得到如下方程组 ? 从而解得 ? 将上面两个解代入拉格朗日函数消掉w和b ?...目标函数的前半部分是凸函数，后半部分是线性函数显然也是凸函数，两个凸函数的非负线性组合还是凸函数。上面优化问题的不等式约束都是线性约束，构成的可行域显然是凸集。因此该优化问题是凸优化问题。...解得 ? 将上面的解代入拉格朗日函数中，得到关于α和β的函数 ? 接下来调整乘子变量求解如下最大化问题 ? 由于 ? 并且 ? ，因此有 ? 。这等价与如下最优化问题 ?

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