使用Python中的Sympy库解决高等数学中极限、导数、偏导数、定积分、不定积分、双重积分等问题
SymPy是Python符号计算库。其目标是成为一个功能齐全的计算机代数系统,代码保持简洁,易于理解和扩展。Python是完全由Python编写的,不依赖外部库。
极限 >>> limit(sin(x)/x, x, 0) 1 >>> limit(sin(x)/x, x, oo) #正无穷处极限 0 >>> limit(sin(x) * E**x, x, -oo)#负无穷处极限 0 >>> limit(1/x, x, 0, '+') #右极限 oo >>> limit(1/x, x, 0, '-')#左极限 -oo >>> limit(1/sin(x), x, oo) #极限不存在 AccumBounds(-oo, oo) 求导 >>> diff(cos(x), x)
在微积分中我们学过,沿着梯度grad(f)方向,函数f的方向导数有最大值。所以要找到函数的极大值,最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻,称之为梯度上升算法。同理,要找到函数的极小值,沿着该函数的梯度的相反方向探寻,称之为梯度下降算法。在机器学习领域,我们常需求解权重参数取何值时损失函数最小,梯度下降算法是一种很重要的算法。
4.1 为进一步了解体会机器学习的流程,实践了两个微型精简项目(关于sklear提供的数据集iris)
SymPy是一个用于符号数学计算的Python库。与传统的数值计算库不同,SymPy专注于处理符号表达式,使得用户能够进行符号计算、代数操作和解方程等任务。本教程将介绍SymPy库的基本概念、常见用法和高级功能,帮助读者更好地理解和使用SymPy。
以快速简洁闻名Julia,本身就是为计算科学的需要而生。用它来学习微积分再合适不过了,而且Julia的语法更贴近实际的数学表达式,对没学过编程语音的初学者非常友好。
说起数学计算器,我们常见的是加减乘除四则运算,有了它,我们就可以摆脱笔算和心算的痛苦。四位数以上的加减乘除在数学的原理上其实并不难,但是如果不借助于计算器,光依赖我们的运算能力(笔算和心算),不仅运算的准确度大打折扣,而且还会让我们对数学的运用停留在一个非常浅的层次。
人类学习就是从经验中获得知识和技能,人们通过阅读、沟通、听讲、研究、实践获取经验,然后再对经验进行梳理、分析和研究,最后形成知识和技能。
补充拓展:python利用sympy库对某个函数求导,numpy库使用该求导结果计算的程序
摘录的一篇有关求解非线性最小二乘问题的算法–LM算法的文章,当中也加入了一些我个人在求解高精度最小二乘问题时候的一些感触:
线性回归应该是我们听过次数最多的机器学习算法了。在一般的统计学教科书中,最后都会提到这种方法。因此该算法也算是架起了数理统计与机器学习之间的桥梁。线性回归虽然常见,但是却并不简单。
机器学习作为一门复杂而强大的技术,其核心在于对数据的理解、建模和预测。理解机器学习的数学基础对于深入掌握其原理和应用至关重要。本文将深入介绍机器学习中的数学基础,包括概率统计、线性代数、微积分等内容,并结合实例演示,使读者更好地理解这些概念的实际应用。
本文是我在阅读 Erik Learned-Miller 的《Vector, Matrix, and Tensor Derivatives》时的记录。 本文的主要内容是帮助你学习如何进行向量、矩阵以及高阶张量(三维及以上的数组)的求导。并一步步引导你来进行向量、矩阵和张量的求导。
概念背景(来自百度百科) BP神经网络的代表者是D.Rumelhart和J.McCelland,“反向传播(backpropagation)”一词的使用出现在1985年后,它的广泛使用是在1986年D.Rumelhart和J.McCelland所著的Parallel Distributed Processing这本书出版以后。BP神经网络是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络,是目前应用最广泛的神经网络模型之一。BP网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系,而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程。它
机器学习的传统是将基于规则的推断和统计学习对立起来,很明显,神经网络站在统计学习那一边。神经网络在统计模式识别中效果显著,目前在计算机视觉、语音识别、自然语言处理等领域中的大量问题上取得了当前最优性能。但是,神经网络在符号计算方面取得的成果并不多:目前,如何结合符号推理和连续表征成为机器学习面临的挑战之一。
作为理工科的社畜,懂计算会计算是一个必不可少的技能,其中尤其是对于土木工程人来说,结构力学、弹塑性力学、计算力学是数值计算中无法逾越的一道坎。由于Matlab简单使用,好学好操作,工科人往往都喜欢使用Matlab来实现数值算法。但是Matlab有几个缺点:
多元复合函数是用在bp神经网络或者叫做神经网络的bp算法当中。深度学习是基于深度神经网络的。多元复合函数在神经网络算法当中有很大的用处。习惯性当中,把多元复合函数求导法则称为链式法则。
在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。
大数据文摘作品,转载要求见文末 翻译 | 海波,海抒,狗小白 后期 | 郭丽,崔云柯 后台回复“字幕组”加入我们! 人工智能中的数学概念一网打尽!欢迎来到YouTube网红小哥Siraj的系列栏目“The Math of Intelligence”,本视频是该系列的第一集,讲解最优化和梯度下降的概念。后续系列视频大数据文摘字幕组会持续跟进,陆续汉化推出喔! 全部课表详见:https://github.com/llSourcell/The_Math_of_Intelligence 本集代码挑战:https:
编辑公式这个任务一直也没有什么好的办法,目前也是,因为LaTex的环境在Ubuntu里面。懒得打开了,就用MD写了。
步骤4. 对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点是极值点,当为极小值, 为极大值;如果,需进一步判断此驻点是否为极值点; 如果则该驻点不是极值点.
解析:分析,题目给出了偏导数,所以我们首先求出偏导数,根据偏导数对应的法则,可以求得
反向传播(英语:Backpropagation,缩写为BP)是“误差反向传播”的简称。由于多层前馈神经网络的训练经常采用误差反向传播算法,人们也常把多层前馈神经网络称为BP网络。
梯度下降无疑是大多数机器学习(ML)算法的核心和灵魂。我绝对认为你应该花时间去理解它。因为对于初学者来说,这样做能够让你更好地理解大多数机器学习算法是如何工作的。另外,想要培养对复杂项目的直觉,理解基本的概念也是十分关键的。
sigmoid Sigmoid函数,即f(x)=1/(1+e-x)。是神经元的非线性作用函数。 2. 函数: 1.1 从指数函数到sigmoid 首先我们来画出指数函数的基本图形:
从上图,我们得到了这样的几个信息,指数函数过(0,1)点,单调递增/递减,定义域为(−∞,+∞),值域为(0,+∞),再来我们看一下sigmoid函数的图像:
1. 求线性回归方程 2. 由(1)中结论预测第10年所支出的维修费用
今天发现一个开源的python符号计算系统,正好对数值算法感兴趣,所以就做一番探索:
因上几次读者反映,公式代码有乱码和不规整的问题,小编有改善哟,这篇文章开始亲们会看到效果的哟~
x轴表示自变量x的值,y轴表示因变量y的值,图中的蓝色线条就代表它们之间的回归模型,在该模型中,因为只有1个自变量x,所以称之为一元线性回归,公式如下
因为计算机能做的就只是计算,所以人工智能更多地来说还是数学问题[1]。我们的目标是训练出一个模型,用这个模型去进行一系列的预测。于是,我们将训练过程涉及的过程抽象成数学函数:首先,需要定义一个网络结构,相当于定义一种线性非线性函数;接着,设定一个优化目标,也就是定义一种损失函数(loss function)。
通常,当我们使用神经网络时,我们输入某个向量x,然后网络产生一个输出y,这个输入向量通过每一层隐含层,直到输出层。这个方向的流动叫做正向传播。
对于有误差的统计值,我们一般都是采用均值作为使用值。但是这种使用均值代替的方式是不是合理?为什么不用中位数、几何平均数什么的?这需要一个解释。
导数与微分是微积分内容的基础,就计算来说一元函数与多元函数的导数的计算思想一致. 不管是一元函数还是多元函数,导数、偏导数的计算都是将函数视为求导变量的一元函数求导数。微分在描述形式略有区别,但是其计算方法还是一样,只不过多元函数需要多计算几个导数而已.
(内容需要,本讲中再次使用了大量在线公式,如果因为转帖网站不支持公式无法显示的情况,欢迎访问原始博客。)
1、有冗余特征: 有两个特征之间存在着一定联系,比如一个单位x1是米,另一个x2单位是千米,但表示的是同一个特征,这时候这两个特征之间存在着关系x2=x1。 根据线性代数的知识, 线形相关的矩阵不可逆的。
在计算每一层的激活值时,我们要用到激活函数,之后才能确定这些激活值究竟是多少。根据每一层前面的激活、权重和偏置,我们要为下一层的每个激活计算一个值。但在将该值发送给下一层之前,我们要使用一个激活函数对这个输出进行缩放。本文将介绍不同的激活函数。
1943年,沃伦·麦卡洛克(Warren McCulloch)和沃尔特·皮茨(Walter Pitts)首次提出了神经网络,但它并不受欢迎,因为它们需要大量的数据和计算能力,而这在当时是不可行的。但随着上述约束条件的可行性,以及参数初始化和更好的激活函数等其他训练进步,它们再次开始在各种竞争中占据主导地位,并在各种人类辅助技术中找到了应用。
机器之心整理 机器之心编辑部 现在的深度学习发展似乎已经陷入了大型化、深度化的怪圈,我们设计的模型容易被对抗样本欺骗,同时又需要大量的训练数据——在无监督学习上我们取得的突破还很少。作为反向传播这一深度学习核心技术的提出者之一,Geoffrey Hinton 很早就意识到反向传播并不是自然界生物大脑中存在的机制。那么,在技术上,反向传播还有哪些值得怀疑的地方? 反向传播的可疑之处 Geoffrey Hinton 对人工智能的未来非常担忧。在最近的一次人工智能会议上,Hinton 表示自己对于反向传播「非
接上一篇(多层感知机(MLP)与神经网络结构 | 深度学习笔记)的最后,我们要训练多层网络的时候,最后关键的部分就是求梯度啦。纯数学方法几乎是不可能的,那么反向传播算法就是用来求梯度的,用了一个很巧妙的方法。 反向传播算法应该是神经网络最基本最需要弄懂的方法了,要是反向传播方法不懂,后面基本上进行不下去。 非常推荐的是How the backpropagation algorithm works (http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap2.html)
接上一篇的最后,我们要训练多层网络的时候,最后关键的部分就是求梯度啦。纯数学方法几乎是不可能的,那么反向传播算法就是用来求梯度的,用了一个很巧妙的方法。 反向传播算法应该是神经网络最基本最需要弄懂的方法了,要是反向传播方法不懂,后面基本上进行不下去。 非常推荐的是How the backpropagation algorithm works 在最开始的博客中提过,这本书是这篇笔记用到的教材之一,这节反向传播也是以上面那个链接中的内容作为笔记的,因为反向传播部分写的很好。
如何使用导数去估算特定的量. 例如, 假设想不借助计算器就得到 的一个较好估算. 我们知道 比 略大, 所以显然可以说 大约 比 3 多一点. 这没问题, 但其实可以不费太多劲就做出一个好得多的估算. 下面是具体做法.
在matlab中符号变量间也可进行算术运算,常用算术符号:+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、 '、 .',假设用符号变量A和B,其中A,B可以是单个符号变量也可以是有符号变量组成的符号矩阵。当A,B是矩阵时,运算规则按矩阵运算规则进行。
还记得被Jacobian矩阵和Hessian矩阵统治的恐惧吗?本文清晰易懂的介绍了Jacobian矩阵和Hessian矩阵的概念,并循序渐进的推导了牛顿法的最优化算法。希望看过此文后,你对这两类矩阵有一个更深刻的理解。
提到人工智能算法,人工神经网络(ANN)是一个绕不过去的话题。但是对于新手,往往容易被ANN中一堆复杂的概念公式搞得头大,最后只能做到感性的认识,而无法深入的理解。正好最近笔者本人也在经历这个痛苦的过程,本着真理越辩越明的态度,索性坐下来认真的把这些头大的问题梳理一番,试试看能不能搞清楚ANN背后的数学原理。
反向传播是神经网络通过调整神经元的权重和偏差来最小化其预测输出误差的过程。但是这些变化是如何发生的呢?如何计算隐藏层中的误差?微积分和这些有什么关系?在本文中,你将得到所有问题的回答。让我们开始吧。
审稿人:阿泽,Datawhale成员,复旦大学计算机硕士,目前在携程担任高级算法工程师。
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