在数学中，鞍点或极小值点是函数图形表面上的一个点，其正交方向上的斜率(导数)均为零(临界点)，但不是函数的局部极值。一句话概括就是：
其中P是对称正定矩阵。所以目标函数的全局最小值就是其极小值。在二维的情况下，目标函数的图像类似下面的图。这里大概有一个印象就好。
【新智元导读】 训练神经网络的算法有成千上万个，最常用的有哪些，哪一个又最好？作者在本文中介绍了常见的五个算法，并从内存和速度上对它们进行对比。最后，他最推荐莱文贝格－马夸特算法。 用于神经网络中执行学习过程的程序被称为训练算法。训练算法有很多，各具不同的特征和性能。 问题界定 神经网络中的学习问题是以损失函数f的最小化界定的。这个函数一般由一个误差项和一个正则项组成。误差项评估神经网络如何拟合数据集，正则项用于通过控制神经网络的有效复杂性来防止过拟合。 损失函数取决于神经网络中的自适应参数（偏差和突触权值
牛顿法是数值优化算法中的大家族，她和她的改进型在很多实际问题中得到了应用。在机器学习中，牛顿法是和梯度下降法地位相当的的主要优化算法。在本文中，SIGAI将为大家深入浅出的系统讲述牛顿法的原理与应用。
还记得被Jacobian矩阵和Hessian矩阵统治的恐惧吗？本文清晰易懂的介绍了Jacobian矩阵和Hessian矩阵的概念，并循序渐进的推导了牛顿法的最优化算法。希望看过此文后，你对这两类矩阵有一个更深刻的理解。
- 由于本文代码基于OpenCV基础库，所以题目中添加了“OpenCV实现”字样。
有时我们需要计算输入和输出都为向量和函数的所有偏导数。包含所有这样的偏导数的矩阵被称为Jacobian矩阵。具体来说，如果我们有一个函数 , 的Jacobian矩阵 定义为 。有时，我们也对导数的导数感兴趣，即二阶导数(second derivative)。例如，有一个函数 ， 的一阶导数(关于 )关于 的导数记为 为 。二阶导数告诉我们，一阶导数(关于 )关于 的导数记为 。在一维情况下，我们可以将 为 。二阶导数告诉我们，一阶导数如何随着输入的变化而改变。它表示只基于梯度信息的梯度下降步骤是否会产生如我们预期那样大的改善，因此它是重要的，我们可以认为，二阶导数是对曲率的衡量。假设我们有一个二次函数(虽然实践中许多函数都是二次的，但至少在局部可以很好地用二次近似)，如果这样的函数具有零二阶导数，那就没有曲率，也就是一条完全平坦的线，仅用梯度就可以预测它的值。我们使用沿负梯度方向下降代销为 的下降步，当该梯度是1时，代价函数将下降 。如果二阶导数是正的，函数曲线是向上凹陷的(向下凸出的)，因此代价函数将下降得比 少。
如果函数 在点 可微，则在点 的 Jacobian 矩阵即为该函数在该点的最佳线性逼近，也被称为向量值多变数函数 在点 处的微分或导数。
[1] Functions - Gradient, Jacobian and Hessian [2] Deep Learning Book
凸优化（convex optimization）是最优化问题中非常重要的一类，也是被研究的很透彻的一类。对于机器学习来说，如果要优化的问题被证明是凸优化问题，则说明此问题可以被比较好的解决。在本文中，SIGAI将为大家深入浅出的介绍凸优化的概念以及在机器学习中的应用。
作者： Alberto Quesada 译者： KK4SBB 神经网络模型的每一类学习过程通常被归纳为一种训练算法。训练的算法有很多，它们的特点和性能各不相同。 问题的抽象 人们把神经网络的学习
本文主要是从通俗直观的角度对机器学习中的无约束优化算法进行对比归纳，详细的公式和算法过程可以看最后附的几个链接，都是干货。 机器学习基本概念 统计机器学习整个流程就是：基于给定的训练数据集，由实际需求，需要解决的问题来选择合适的模型;再根据确定学习策略，是最小化经验风险，还是结构风险，即确定优化目标函数;最后便是采用什么样的学习算法，或者说优化算法来求解最优的模型。参照《统计机器学习方法》所讲，统计机器学习(特指有监督学习)的三要素为： 1)模型 模型是指基于训练数据集，所要学习到的概率分布
我们知道，梯度下降算法是利用梯度进行一阶优化，而今天我介绍的牛顿优化算法采用的是二阶优化。本文将重点讲解牛顿法的基本概念和推导过程，并将梯度下降与牛顿法做个比较。
上周四，加州大学伯克利分校 Zhewei Yao 博士分享了他的 AAAI 论文《Q-BERT: Hessian Based Ultra Low Precision Quantization of BERT》，本文对此论文进行了详细解读。该研究介绍了一种使用二阶信息进行模型压缩的新型系统性方法，能够在图像分类、目标检测和自然语言处理等一系列具有挑战性的任务中产生前所未有的小模型。
机器学习中使用的许多算法都是基于基本的数学优化方法。由于各种先决条件，在机器学习的背景下直接看到这些算法，我们难免会感到困惑。因此,我认为最好不要在任何背景下查看这些算法，以便更好地理解这些方法。
转载自：http://jacoxu.com/jacobian%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%92%8Chessian%E7%9F%A9%E9%98%B5/
上一篇《Hessian-Hamiltonian MC Rendering》的思路是将哈密顿力学应用在MCMC中，从而达到优化复杂场景的渲染效果。既然哈密顿可以，朗之万立马说到“我也可以”。今天这篇论文，就是基于Hessian-Hamiltonian MC (H2MC) Rendering论文的思想，引入Langevin Monte Carlo Rendering实现渲染上的优化。
在前面的文章中，已经分享了人体肋骨和肺组织分割生成三维模型的例子。今天将继续分享人体脑部血管分割并生成三维模型的案例。
偏导数刻画了函数沿坐标轴方向的变化率，但有些时候还不能满足实际需求。为了研究函数沿着任意方向的变化率，就需要用到方向导数。
在许多应用程序中部署神经网络时，模型大小和推理速度/功率已成为主要挑战。解决这些问题的一种有前途的方法是量化。但是，将模型统一量化为超低精度会导致精度显着下降。一种新颖的解决方案是使用混合精度量化，因为与其他层相比，网络的某些部分可能允许较低的精度。但是，没有系统的方法来确定不同层的精度。对于深度网络，蛮力方法不可行，因为混合精度的搜索空间在层数上是指数级的。另一个挑战是在将模型量化到目标精度时用于确定逐块微调顺序复杂度是阶乘级别的。本文介绍了 Hessian AWare 量化（HAWQ），这是一种解决这些问题的新颖的二阶量化方法。HAWQ 根据Block块的 Hessian 最大特征值选择各层的相对量化精度。而且，HAWQ基于二阶信息为量化层提供了确定性的微调顺序。本文使用 ResNet20 在 Cifar-10 上以及用Inception-V3，ResNet50 和 SqueezeNext 模型在 ImageNet 上验证了方法的结果。将HAWQ 与最新技术进行比较表明，与 DNAS 相比，本文在 ResNet20 上使用 8 倍的激活压缩率可以达到相似/更好的精度，并且与最近提出的RVQuant和HAQ的方法相比，在ResNet50 和 Inception-V3 模型上，当缩小 14％ 模型大小的情况下可以将精度提高 1％。此外，本文证明了可以将 SqueezeNext 量化为仅 1MB 的模型大小，同时在 ImageNet 上实现 Top-1 精度超过 68％。
点的函数值,导数值,二阶导数值得到的抛物线,我们求这条抛物线的梯度为 0(即最小值)的点
现在让我们使用Theano来完成一个稍微复杂的任务：创建一个函数，该函数计算相对于其参数x的某个表达式y的导数。为此，我们将使用宏T.grad。例如，我们可以计算
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凸函数比较简单——它们通常只有一个局部最小值。非凸函数则更加复杂。在这篇文章中，我们将讨论不同类型的临界点（ critical points） ，当你在寻找凸路径（ convex path ）的时候可
梯度下降不一定能够找到全局最优解，有可能是局部最优解。当然，如果损失函数是凸函数，梯度下降法得到的解就一定是全局最优解。
在本文中，提出了一种基于ROS、Gazebo和PX4的可定制多旋翼无人机仿真平台。该平台名为XTDrone，集成了动态模型、传感器模型、控制算法、状态估计算法和3D场景。该平台支持多架无人机和其他机器人。平台是模块化的，每个模块都可以进行修改，这意味着用户可以测试自己的算法，如SLAM、目标检测与追踪、视觉惯性导航、运动规划、姿态控制、多机协同等。平台运行是同步的，仿真速度可根据计算机性能进行调整。在本文中，以评价不同视觉SLAM算法和实现无人机编队为例，说明了该平台的工作原理。
在向量分析中，雅可比（Jacobian）矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式成为雅可比行列式。
本文提出了一种新颖的稠密建图系统，在只使用CPU的情况下，可以在应用与不同的环境中。使用稀疏SLAM系统来估计相机姿势，本文所提出的建图系统可以将灰度图像和深度图像融合成全局一致的模型。该系统经过精心设计，目的是可以使用RGB-D摄像机，立体摄像机甚至单目摄像机的深度图像，完成从室内环境到城市室外环境的地图构建。首先，从灰度和深度图像中提取超像素，用于构建面元模型。基于超像素的面元处理，使本文的方法可以兼顾运行效率和内存使用率，降低了算法对系统资源的使用。其次，面元的拼接构建是基于SLAM系统估计的位姿，这种方法可以实现O（1）时间的时间复杂度，而不会受到重建环境规模大小的影响。第三，利用优化后的位姿图实现快速的地图变换，可以使地图实时达到全局一致性。提出的面元建图系统与合成数据集上的其他最先进的方法进行比较。使用KITTI数据集和自主攻击飞行分别演示了城市规模和房间重建的表现。
Quasi-Newton Method (拟牛顿法)。在介绍无约束优化问题之前，我们首先会从直观上引入无约束优化的概念，并在此基础上引入解这类问题的两个重要概念：步长和方向。由步长的选择引入重要概念 line search，由方向的选择引入重要概念 Quasi-Newton Method。因此本篇介绍文档主要分为以下几个部分：无约束优化问题引入，Line Search，Quasi-Newton Method 和算法总结。
是关于Θ的一个函数，我们当前所处的位置为Θ0点，要从这个点走到J的最小值点\nabla 是梯度,\alpha是学习率或者步长
该文介绍了技术社区中常用的数学工具，包括泰勒定理、泰勒级数、泰勒多项式、雅可比矩阵、Hessian矩阵以及它们的运用。同时，也提供了相关的参考资料链接，以方便读者深入了解这些数学工具的具体应用。
本论文提出一种Hessian-Hamiltonian MC Rendering算法，简称H2MC，该算法基于Metropolis Light Transport，引入了Hamiltonian力学的思路，将光路贡献和转移概率类比为重力和势能，很好的提高了MLT中的accept rate，意味着有更高的收敛效率，但本身因为需要计算光路的一阶导，以及二阶导（Hessian Matrix），计算量比较大，因此，适用于渲染复杂场景，比如caustics，多次反弹的glossy材质以及运动效果（时间维度的求导）。
对于几乎所有机器学习算法，无论是有监督学习、无监督学习，还是强化学习，最后一般都归结为求解最优化问题。因此，最优化方法在机器学习算法的推导与实现中占据中心地位。在这篇文章中，小编将对机器学习中所使用的优化算法做一个全面的总结，并理清它们直接的脉络关系，帮你从全局的高度来理解这一部分知识。
今天为大家介绍的是来自Yujin Zhang，Jun Jiang，Yi Luo和Wei Hu团队的一篇论文。论文介绍了一个用于预测分子光谱的深度学习模型“DetaNet”。准确高效的分子光谱模拟对物质发现和结构鉴定至关重要。然而，传统的依赖量子化学的方法成本高，效率低。为了解决这个问题，研究者们开发了DetaNet模型，它能够以更高的效率和准确性预测分子光谱。
（3）L1范式可以用来作为特征选择，并且可解释性较强（这里的原理是在实际Loss function中都需要求最小值，根据L1的定义可知L1最小值只有0，故可以通过这种方式来进行特征选择）
自从2000年以后，流形学习被认为属于非线性降维的一个分支。众所周知，引导这一领域迅速发展的是2000年Science杂志上的两篇文章: Isomap and LLE (Locally Linear Embedding)。
Vision Transformers(ViTs)和MLPs标志着在用通用神经架构替换手动特征或归纳偏置方面的进一步努力。现有工作通过大量数据为模型赋能，例如大规模预训练和/或重复的强数据增广，并且还报告了与优化相关的问题（例如，对初始化和学习率的敏感性）。
选自arxiv 机器之心编译 参与：乾树、蒋思源 学习算法一直以来是机器学习能根据数据学到知识的核心技术。而好的优化算法可以大大提高学习速度，加快算法的收敛速度和效果。该论文从浅层模型到深度模型纵览监
本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。
3），给定x, 残差e_i要服从正态分布（Normal Distribution）；
作者：Noah Golmant 机器之心编译 参与：Geek AI、刘晓坤 来自 UC Berkeley RISELab 的本科研究员 Noah Golmant 发表博客，从理论的角度分析了损失函数的结构，并据此解释随机梯度下降（SGD）中的噪声如何帮助避免局部极小值和鞍点，为设计和改良深度学习架构提供了很有用的参考视角。 当我们着手训练一个很酷的机器学习模型时，最常用的方法是随机梯度下降法（SGD）。随机梯度下降在高度非凸的损失表面上远远超越了朴素梯度下降法。这种简单的爬山法技术已经主导了现代的非凸优化
本文是对发表于计算机视觉和模式识别领域的顶级会议 ICCV 2021的论文“Orthogonal Jacobian Regularization for Unsupervised Disentanglement in Image Generation（用于无监督图像生成解耦的正交雅可比正则化）”的解读。
可微网络架构搜索（DARTS）能够大幅缩短搜索时间，但是其稳定性受到质疑。随着搜索进行，DARTS 生成的网络架构性能会逐渐变差。最终生成的结构甚至全是跳过连接（skip connection），没有任何卷积操作。在 ICML 2020 中，UCLA 基于随机平滑（random smoothing）和对抗训练（adversarial training），提出了两种正则化方法，大幅提升了可微架构搜索算法的鲁棒性。
在前面的文章中，已经分享过肺部气管分割案例，当时是采用区域生长方法来实现气管分割的，今天我将分享另外一种方法来对肺部气管分割并生成三维模型的案例。
自注意力模块是Transformer的基本构建块，用于捕捉全局信息。受到Transformer在自然语言处理（NLP）任务上的成功启发，研究人员将自注意力模块引入了计算机视觉。他们用自注意力模块替代了卷积神经网络（CNNs）中的卷积层，将这些网络称为视觉Transformer。视觉Transformer在许多计算机视觉任务上与CNNs相媲美，有巨大的潜力用于各种应用。
1：https://zhuanlan.zhihu.com/p/136143299 2：https://blog.csdn.net/stihy/article/details/52737723 3：参考文献：A Brief Description of the Levenberg-Marquardt Algorithm Implemened
虽然局部极小值和鞍点会阻碍我们的训练，但病态曲率会减慢训练的速度，以至于从事机器学习的人可能会认为搜索已经收敛到一个次优的极小值。让我们深入了解什么是病态曲率。
优化通常是一个极其困难的问题。传统的机器学习会小心设计目标函数和约束。以确保优化问题是凸的，从而避免一般优化问题的复杂度。在训练神经网络时，我们肯定会遇到一般的非凸情况。即使是凸优化，也并非没有任何问题。
神经网络优化 说一个近年来神经网络方面澄清的一个误解。 BP算法自八十年代发明以来，一直是神经网络优化的最基本的方法。神经网络普遍都是很难优化的，尤其是当中间隐含层神经元的个数较多或者隐含层层数较多的时候。长期以来，人们普遍认为，这是因为较大的神经网络中包含很多局部极小值（local minima），使得算法容易陷入到其中某些点。这种看法持续二三十年，至少数万篇论文中持有这种说法。举个例子，如著名的Ackley函数 。对于基于梯度的算法，一旦陷入到其中某一个局部极值，就很难跳出来了。(图片来自网络，压缩有
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