Python中含有丰富的库提供我们使用，学习数学分支线性代数时，矩阵问题是核心问题。Numpy库通常用于python中执行数值计算，并且对于矩阵操作做了特殊的优化，numpy库通过向量化避免许多for循环来更有效地执行矩阵操作。本文针对矩阵的部分问题使用numpy得到解决。
python科学计算包的基础是numpy, 里面的array类型经常遇到. 一开始可能把这个array和python内建的列表(list)混淆, 这里简单总结一下列表(list), 多维数组(np.ndarray)和矩阵(np.matrix)的区别. NumPy的主要对象是同种元素的多维数组。这是一个所有的元素都是一种类型、通过一个正整数元组索引的元素表格(通常是元素是数字)。在NumPy中维度(dimensions)叫做轴(axes)，轴的个数叫做秩(rank，但是和线性代数中的秩不是一样的，在用pyth
在相关聚类算法的实现过程中，用python语言实现，会经常出现array和matrix的混淆，这里做个总结。
行业常说的“数据分析三剑客”或者“机器学习三剑客”，指的就是 numpy(计算), matplotlib(可视化), pandas(分析) 这三个 python 库。如果拿自然科学学科类比，matplotlib 相当于“物理学”，pandas 相当于“化学”，而 numpy 就是“数学”, 是其他学科赖以立足的“基石”。
在m×n的矩阵A中，任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n)，位于这些行和列交叉处的 个元素，在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。
结论一：方程组Ax=b的最小二乘解的通式为x=Gb+(I-GA)y, 其中G\in A\{1, 3\}, y是\mathbb C^n中的任意向量.
行不满秩，因此其不满秩，那么它不可能为正定矩阵，可以为半正定矩阵。 于是我们也就知道
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我们继续麻省理工的线性代数课程，今天这节课没有新的内容，是一节复习课，教授以讲解例题和解答的形式对之前的内容进行回顾和复习。
它不仅是Python中使用最多的第三方库，而且还是SciPy、Pandas等数据科学的基础库。它所提供的数据结构比Python自身的“更高级、更高效”，可以这么说，NumPy所提供的数据结构是Python数据分析的基础。
。 若记 M 为所有 3×3 矩阵构成的矩阵空间，则所有的 3×3 对称矩阵构成的矩阵空间 S 和 3×3 上三角矩阵构成的矩阵空间 U 都是 M 的子空间。
你就是一个画家！你现在想绘制一幅画，但是你现在没有足够颜色的颜料。为了让问题简单，我们用正整数表示不同颜色的颜料。你知道这幅画需要的n种颜色的颜料，你现在可以去商店购买一些颜料，但是商店不能保证能供应所有颜色的颜料，所以你需要自己混合一些颜料。混合两种不一样的颜色A和颜色B颜料可以产生(A XOR B)这种颜色的颜料(新产生的颜料也可以用作继续混合产生新的颜色,XOR表示异或操作)。本着勤俭节约的精神，你想购买更少的颜料就满足要求，所以兼职程序员的你需要编程来计算出最少需要购买几种颜色的颜料？ 输入描述: 第一行为绘制这幅画需要的颜色种数n (1 ≤ n ≤ 50) 第二行为n个数xi(1 ≤ xi ≤ 1,000,000,000)，表示需要的各种颜料. 输出描述: 输出最少需要在商店购买的颜料颜色种数，注意可能购买的颜色不一定会使用在画中，只是为了产生新的颜色。 输入例子: 29 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 16 32 64 128 256 512 1024 2048 2097152 4194304 8388608 16777216 33554432 67108864 134217728 268435456 536870912 999999999 1000000000 15 输出例子:
实际上，标准的Python中，用列表保存数组的值。由于列表中的元素是任意的对象，所以列表中list保存的是对象的指针。虽然在Python编程中隐去了指针的概念， 但是数组有指针，Python的列表list其实就是数组。这样如果我们要保存一个简单的数组 [0,1,2],就需要有3个指针和3个整数对象，这样对于Python来说是非常不经济 的，浪费了内存和计算时间。
在统计分析中,我们会听到很多检验,有T检验,卡方检验,秩和检验,F检验,费舍尔检验等等,这么多检验,光听就要晕了,还怎么用啊?哪种检验什么时候能用什么时候不能用,能用的检验效果好不好,有什么优缺点
是秩 1 矩阵，因此秩为 1 ，也就说明在零空间是二维平面，即有两个特征值为 0 ，根据迹即为特征值相加之和，即可得到另一个特征值为 1 。其特征向量就是
线性规划的解 : 满足约束条件 ② 和 ③ 有很多解 , 这些解中肯定有一个或多个解 , 使 ① 目标函数 有最大值 ;
最小二乘矩阵求解与正则化，最小二乘是最常用的线性参数估计方法，早在高斯的年代，就用开对平面上的点拟合线，对高维空间的点拟合超平面。
PLS是交叉分解的第二个重要算法族，在python等语言中也有相应的包实现。一般如果需要在研究多个自变量与因变量的关系话题中，绕不过去的就是多元回归，包括以线性关系为主的多元线性回归和高次多项式为主的响应面分析，众所周知，在多元线性回归中一般可以用最小二乘法计算每个自变量的系数，这一理论比较成熟，其系数矩阵
前言 大家好，今天提供不相交集合的笔记（即union/find）. 不相交集合有实现简单，证明困难的特点，若有想证明的可以自行查阅相关文献。我就不做赘述啦！ 用途 不相交集类解决动态等价类问题，即： 查找find一个元素属于哪个等价类， 合并union 两个等价类为一个新的等价类。 也就是常说的union/find算法 基本概念介绍 等价类定义 一个元素a属于S的等价类是S的一个子集合，它包含所有与a有等价关系的元素。 等价类对S进行划分：S中的每一个成员恰好出现在一个等级类中。 等价关系定义 自反性 a
$$ \begin{cases} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+a_{1n}x_n&=&b_1\\ &&&&\vdots\\ a_{n1}x_1&+&a_{n2}x_2&+&\cdots&+a_{nn}x_n&=&b_n& \end{cases} $$
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与数学中不同的是，在机器学习中，系数w和截距b是需要求得的未知数，而特征x和标签y则是已知的。
在机器学习中，有很多的问题并没有解析形式的解，或者有解析形式的解但是计算量很大（譬如，超定问题的最小二乘解），对于此类问题，通常我们会选择采用一种迭代的优化方式进行求解。
（1）矩阵的核范数：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩）；
并查集（Disjoint set或者Union-find set）是一种树型的数据结构，经常使用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。
设A\in \mathbb{C}_r^{m\times n}，则存在B\in \mathbb{C}_r^{m\times r}, C\in \mathbb{C}_r^{r\times n}，满足
前言： 线代知识点多，有点抽象，写的时候尽量把这些知识点串起来，如果不行，那就两串。其包含的几大对象为：向量，行列式，矩阵，方程组。 观点 核心问题是求多元方程组的解，核心知识：内积、秩、矩阵求逆，应用：求解线性回归、最小二乘法用QR分解，奇异值分解SVD，主成分分析（PCA）运用可对角化矩阵 向量 基础 向量：是指具有n个互相独立的性质(维度)的对象的表示，向量常 使用字母+箭头的形式进行表示，也可以使用几何坐标来表示向量。 单位向量：向量的模、模为一的向量为单位向量 内积又叫数量积
这是2017年NIPS上的一篇做动作识别的论文，作者提出了second-order pooling的低秩近似attentional pooling，用其来代替CNN网络结构最后pooling层中常用的mean pooling或者max pooling, 在MPII, HICO和HMDB51三个动作识别数据集上进行了实验，都取得了很好的结果。此外作者还尝试了加入pose关键点的信息，再次提高了性能。下面我详细说明我对这篇论文的理解。
引言：本文的练习整理自chandoo.org。多练习，这是我们从小就在使用的学习方法。在练习的过程中，认真思考，不断尝试，以此来磨练自己的公式与函数应用技能，也让研究Excel的大脑时刻保持着良好的状态。同时，想想自己怎么解决这个问题，看看别人又是怎样解决的，从而快速提高Excel公式应用水平。
创建矩阵 import numpy as np # 创建矩阵 matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]]) 向量 # 行向量 vector_row = np.array([1, 2, 3]) # 列向量 vector_column = np.array([[1],
在刚入门机器学习中的低秩，稀疏模型时，被各种范数搅得一团糟，严重延缓了学习进度，经过一段时间的学习，现在将其完整的总结一下，希望遇到同样麻烦的同学能有所帮助。。。
本文介绍了机器学习中的线性回归模型，通过一个实际例子详细说明了线性回归模型的工作原理和具体实现。首先介绍了线性回归模型的基本概念，然后描述了如何使用梯度下降算法求解线性回归模型的最优参数，最后给出了实现代码。
Numpy是用来存储和处理大型矩阵，比Python自身的嵌套列表结构要高效的多，本身是由C语言开发。这个是很基础的扩展，其余的扩展都是以此为基础。
回归的目的是预测数值型的目标值，最直接的办法是依据输入写出一个目标值的计算公式，比如要计算一个男生可以找到女朋友的概率：
在确定了可优化二次型的类型后，本文讨论二次型的优化方法。 当前问题 解方程\bf{Ax}=\bf{b} 其中\bf{A}为半正定矩阵 \bf{A}的秩与其增广矩阵\bf{Ab}的秩相等 优化方法 代数法 高斯消元法 数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。 在\bf{A}的行列式不为0时，可以逐项消除半边系数，得到三角阵，计算得到x_n再逐步带入计算出其他
向量的1范数即：向量的各个元素的绝对值之和，上述向量a的1范数结果就是：29，MATLAB代码实现为：norm（a，1）；
1. 问题 之前我们讨论的PCA、ICA也好，对样本数据来言，可以是没有类别标签y的。回想我们做回归时，如果特征太多，那么会产生不相关特征引入、过度拟合等问题。我们可以使用PCA来降维，但PCA没有将类别标签考虑进去，属于无监督的。 比如回到上次提出的文档中含有“learn”和“study”的问题，使用PCA后，也许可以将这两个特征合并为一个，降了维度。但假设我们的类别标签y是判断这篇文章的topic是不是有关学习方面的。那么这两个特征对y几乎没什么影响，完全可以去除。 再举一
大家不要愁，数值算法很快就会写完，之后会写一些有趣的算法。前面的文章里面写了一些常见的数值算法，但是却没有写LU分解，哎呦不得了哦！主要的应用是：用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。
若A\in \mathbb{C}^{m\times n}, X\in \mathbb{C}^{m\times m}，以下矩阵方程称为Penrose方程
Numpy是Numerical Python extensions 的缩写，字面意思是Python数值计算扩展。Numpy是Python中众多机器学习库的依赖，这些库通过Numpy实现基本的矩阵计算，Python的OpenCV库自然也不例外。
当两个变量都有良好理解的高斯分布时，很容易计算和解释。而当我们不知道变量的分布时，我们必须使用非参数的秩相关（Rank Correlation，或称为等级相关）方法。
LEfSe分析即LDA Effect Size分析，是一种用于发现和解释高维度数据 生物标识(基因、通路和分类单元等)的分析工具，可以进行两个或多个分组的比较，它强调统计意义和生物相关性，能够在组与组之间寻找具有统计学差异的生物标识（Biomarker）。
对于非向量化,我们要求得z的值,必须用到for循环,但是当数据量非常庞大的时候,for循环所用的时间会比较多,这个时候可以使用向量运算来提高速度
的解，假如有解的话，我们可以将其分解成两部分，这样我们就可以利用上一讲的成果。即：
=============================================== 相关性是两个变量之间关联的度量。当两个变量都有正太分布时，很容易计算和解释。而当我们不知道变量的分布时，我们必须使用非参数的秩相关（Rank Correlation，或称为等级相关）方法。
在机器学习中，经常要度量两个对象的相似度，例如k-最近邻算法，即通过度量数据的相似度而进行分类。在无监督学习中，K-Means算法是一种聚类算法，它通过欧几里得距离计算指定的数据点与聚类中心的距离。在推荐系统中，也会用到相似度的计算（当然还有其他方面的度量）。
自然语言处理的一个重要范式包括对一般领域数据的大规模预训练和对特定任务或领域的适应。当我们预训练更大的模型时，重新训练所有模型参数的完整微调变得不那么可行。LoRA[1]冻结预训练模型权重并将可训练的秩分解矩阵注入到 Transformer 架构的每一层中，大大减少了下游任务的可训练参数的数量。与用 Adam 微调的 GPT-3 175B 相比，LoRA 可以将可训练参数的数量减少了 10,000 倍，GPU 内存需求减少了 3 倍。
上一篇博文Torch7深度学习教程1详细的讲述了Torch7的安装过程，本篇博文主要是讲述一下Torch7中的一些基本运算的语法，与Python的基本语法类似，加入你不是python的小白，本篇可以一
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