符号约定 矩阵求导 矩阵A对矩阵B求导的本质：矩阵A的每个元素分别对矩阵B中的每个元素进行求导。...以分母布局为例的矩阵求导的基本原则 1. 原则1：如果分子是标量函数，分母是列向量，那么求导结果要写成分母的形式，也就是列向量。 2....原则2：如果分子是列向量，分母是标量，那么求导结果要写成分子转置的形式，也就是行向量。 3....例1 A和x是p*1的矩阵，ATx = xTA，它们对x求导结果都是A。 例2 所以，公式2： 最小二乘估计推导 有用的公式 一些说明 1. 除了分母布局外，还有分子布局、混合布局。...根据导数矩阵的维度来判断别人的布局。
一、矩阵求导 一般来讲，我们约定x=(x1,x2,...xN)T，这是分母布局。常见的矩阵求导方式有：向量对向量求导，标量对向量求导，向量对标量求导。1、向量对向量求导?2、标量对向量求导??...3、向量对标量求导?其他的可以参考wiki：维基百科矩阵求导公式二、几种重要的矩阵1、梯度（Gradient）??2、雅克比矩阵（Jacobian matrix）??...3、海森矩阵（Hessian matrix）?三、常用的矩阵求导公式??参考：https://blog.csdn.net/xtydtc/article/de
在矩阵向量求导前4篇文章中，我们主要讨论了标量对向量矩阵的求导，以及向量对向量的求导。...本文我们就讨论下之前没有涉及到的矩阵对矩阵的求导，还有矩阵对向量，向量对矩阵求导这几种形式的求导方法。 ...矩阵对矩阵求导的定义 假设我们有一个$p \times q$的矩阵$F$要对$m \times n$的矩阵$X$求导，那么根据我们第一篇求导的定义，矩阵$F$中的$pq$个值要对矩阵$X$中的$...矩阵对矩阵求导实例 下面我们给出一个使用微分法求解矩阵对矩阵求导的实例。 ...矩阵对矩阵求导小结 由于矩阵对矩阵求导的结果包含克罗内克积，因此和之前我们讲到的其他类型的矩阵求导很不同，在机器学习算法优化中中，我们一般不在推导的时候使用矩阵对矩阵的求导，除非只是做定性的分析
本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示列向量，大写字母X表示矩阵。...矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。 首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？...标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为，是对称矩阵。对向量或矩阵求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 f出发更方便。...，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。...可以对求导来证明，一方面，直接求导得到；另一方面，引入，有, ，用链式法则得到。 。 ，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对做向量化来证明，一方面，；另一方面，。 接下来演示一些算例。
缘由 布局 求导的类别 从简单的例子说起 实例 SVM的对偶形式转换 Soft-SVM对偶形式转换 线性回归 logistic回归 参考资料 缘由 机器学习的很多算法表示中都采用了矩阵的形式，对算法的描述分析中就涉及到了对向量...、对矩阵的求导。...布局 矩阵求导有两种布局： 分子布局（numerator layout） 分母布局（denominator layout） 下面用向量y\mathrm{\mathbf{y}}对标量xx求导简单说明这两种布局的区别...（采用这种布局的主要原因是向量对向量的求导就是一个矩阵了） 求导的类别 求导大致分为5类： 向量对标量 标量对向量 向量对向量 矩阵对向量 向量对矩阵 矩阵求导的大致规则如下： 对标量求导结果都要转置...，而标量对向量或者矩阵求导的话位置不变。
矩阵、向量的求导, 本质就是每个f分别对变元中的每个元素逐个求偏导，只不过写成了向量、矩阵形式而已。...同时也可以看出，一个n×1的向量对一个n×1的向量求导后，得到了一个n×n的矩阵。 导数拓展到矩阵 矩阵求导结果的布局 包括：分子布局或分母布局。 分子布局：求导结果的维度以分子为主。...partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial (A\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}=A 证明过程 讲解 矩阵的求导是真抽象啊...，参考学习链接： 矩阵求导的本质与分子布局、分母布局的本质（矩阵求导——本质篇） 矩阵求导公式的数学推导（矩阵求导——基础篇） 矩阵求导公式的数学推导（矩阵求导——进阶篇） ---- 【手推机器学习】...矩阵求导--合集：https://www.bilibili.com/video/BV1xk4y1B7RQ/ ↩ 【矩阵的导数运算】1_标量向量方程对向量求导_分母布局_分子布局：https://www.bilibili.com
类似的结论也存在于标量对向量的求导，向量对向量的求导，向量对矩阵的求导，矩阵对向量的求导，以及矩阵对矩阵的求导等。 ...矩阵向量求导定义 根据求导的自变量和因变量是标量，向量还是矩阵，我们有9种可能的矩阵求导定义，如下： 自变量\因变量 标量$y$ 向量$\mathbf{y}$ 矩阵$\mathbf{Y}$ 标量...另外三种向量对矩阵的求导，矩阵对向量的求导，以及矩阵对矩阵的求导我们在第三篇再讲。 ...为了解决这个问题，我们引入求导布局的概念。 3. 矩阵向量求导布局 为了解决矩阵向量求导的结果不唯一，我们引入求导布局。...矩阵向量求导基础总结 有了矩阵向量求导的定义和默认布局，我们后续就可以对上表中的5种矩阵向量求导过程进行一些常见的求导推导总结求导方法，并讨论向量求导的链式法则。 （欢迎转载，转载请注明出处。
en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus 分子、分母布局： 分子布局：分子为列向量，或者分母为行向量； 分母布局：分母为列向量，或者分子为行向量； 运算类型： 标量，向量，矩阵...矩阵的求导就是在一定规则下把向量或者矩阵展开，一一对应进行求导。...需要注意的规则：（以下公式默认在分子布局下的结果，若分母布局需要转置） 在涉及矩阵的求导时，分子布局下无需转置，分母布局下需要转置； ? ? ? 常用公式： ? ，若A为对称矩阵，则 ?
在机器学习中的矩阵向量求导(一) 求导定义与求导布局中，我们讨论了向量矩阵求导的9种定义与求导布局的概念。...今天我们就讨论下其中的标量对向量求导，标量对矩阵求导, 以及向量对向量求导这三种场景的基本求解思路。 对于本文中的标量对向量或矩阵求导这两种情况，如前文所说，以分母布局为默认布局。...首先我们想到的是基于矩阵求导的定义来做，由于所谓标量对向量的求导，其实就是标量对向量里的每个分量分别求导，最后把求导的结果排列在一起，按一个向量表示而已。...用定义法求解标量对矩阵求导 现在我们来看看定义法如何解决标量对矩阵的求导问题。其实思路和第一节的标量对向量的求导是类似的,只是最后的结果是一个和自变量同型的矩阵。 ...定义法矩阵向量求导的局限 使用定义法虽然已经求出一些简单的向量矩阵求导的结果，但是对于复杂的求导式子，则中间运算会很复杂，同时求导出的结果排列也是很头痛的。
在机器学习中的矩阵向量求导(二) 矩阵向量求导之定义法中，我们讨论了定义法求解矩阵向量求导的方法，但是这个方法对于比较复杂的求导式子，中间运算会很复杂，同时排列求导出的结果也很麻烦。...因此我们需要其他的一些求导方法。本文我们讨论使用微分法来求解标量对向量的求导，以及标量对矩阵的求导。 本文的标量对向量的求导，以及标量对矩阵的求导使用分母布局。...使用微分法求解矩阵向量求导 由于第一节我们已经得到了矩阵微分和导数关系，现在我们就来使用微分法求解矩阵向量求导。 ...迹函数对向量矩阵求导 由于微分法使用了迹函数的技巧，那么迹函数对对向量矩阵求导这一大类问题，使用微分法是最简单直接的。...微分法求导小结 使用矩阵微分，可以在不对向量或矩阵中的某一元素单独求导再拼接，因此会比较方便，当然熟练使用的前提是对上面矩阵微分的性质，以及迹函数的性质熟练运用。
鉴于公众号编辑器对公式很不友好，而本文涉及较多公式，所以就直接截图了 本文图片较多，建议在流量充足的条件下阅读
矩阵的导数也一样，也是对矩阵中各元素进行求导然后得到一个新的矩阵。 机器学习中最常用的矩阵求导有：标量对矩阵的求导，矩阵对标量求导以及向量对向量的求导。下面分别对这几种求导方式进行介绍。...标量对矩阵的求导 如果函数f把一个元素为实数的m×n矩阵 映射为一个实数，则 也就是实值函数f对矩阵X求导其实就是f对X的各元素分别求导得到一个与X同型的矩阵。...比如 且f(X)=x + 2y + 3z + 4w，则 再比如正规方程推导那篇文章中的例子，设 ，则 矩阵对标量的求导 如果函数f把实数x映射成一个元素为实数的m×n矩阵 则 也就是矩阵Y对实数x求导其实就是矩阵的各元素分别对...x求导得到一个与Y同型的矩阵。...，于是得到 总结 本文主要介绍了矩阵和向量最基础最常见的几种求导法则，这些法则对于我们理解矩阵求导很重要，但其求导过程比较繁琐，所以我们在实际应用过程中多数时候并不会按这些法则对矩阵的每个元素进行逐个求导
通过 求导矩阵 对多项式求导： 例： 则声明其系数向量与次数矩阵。...将 D 与 y 做乘，则得到求导后的系数： 对应数学表达式： 同理，可推导 积分矩阵 ： 因此，对于式 ，其积分矩阵为： 原式线性多项式最高次幂为1，则积分后最高次幂为2，则积分矩阵要表达 2 次的系数...则对于 ，积分矩阵为： 将 与 系数向量 做乘，则得到积分后的系数： 对应数学表达式： 注意该不定积分没有常数项。...启发：该方法很好理解，利用了矩阵的性质，实现了系数的自动变换与落位，在计算实现时可以考虑该方法减少迭代次数，提高运算效率。但是可能只适合线性多项式。...下面是一个 matlab 的例题，我先通过求导矩阵求其求导后，在通过积分矩阵求其原式，但是不带常数项。
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from sympy import * x = Symbol("x") diff(x**3+x,x) #output: 3*x**2 + 1 # 一维多项式...
本文的主要内容是帮助你学习如何进行向量、矩阵以及高阶张量（三维及以上的数组）的求导。并一步步引导你来进行向量、矩阵和张量的求导。...这比同时进行矩阵的求和以及求导要容易一些。（看起来有点晕，没关系，看后面的案例就清晰了）。...比如说，我们要计算 的第 3 个元素对 的第 7 个元素的（偏）导数，这就是向量中的一个标量对其他向量中的一个标量求导： 在求导之前，首先要做的就是写下计算 的公式， 根据矩阵-向量乘法的定义，...现在，我们将原始的矩阵方程式（1）简化成了标量方程式。此时再进行求导就简单多了。...1.2.1 完成求导：雅可比矩阵 我们的最终目标是计算出 中的每个元素对 中每个元素的导数，共计 个。
机器之心专栏 作者：七月 本文的目标读者是想快速掌握矩阵、向量求导法则的学习者，主要面向矩阵、向量求导在机器学习中的应用。...本文以不转置为主，即求导结果与原矩阵/向量同型，术语叫 Mixed Layout。 矩阵对向量、向量对矩阵、矩阵对矩阵求导的结果是什么?...矩阵迹求导 未作特殊说明即为对 X 求导。迹是一个实数，所以相当于实数对矩阵求导，结果是一个和 X 同型的矩阵。 先回顾一下迹的基本性质： 线性性质: ? 转置不变性： ? 轮换不变性： ?...实数对矩阵求导，结果是和 X 同型的矩阵。此条证明较繁琐，大致过程是用逐元素求导+伴随矩阵的性质推导，过程可参考 math overflow。最好能直接记住。 矩阵求导的链式法则 设 ?...需要用到向量（或矩阵）对矩阵求导的情形，要么把矩阵按列拆开转化成向量对向量求导（最终很有可能通过分块矩阵乘法再合并起来。
基本求导公式 \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) 趋近于 0 时为导数： \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta...x}=f^{\prime}(x) 求导四则运算法则与性质 可导，则： \begin{array}{c}(u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v...(c u(x))^{\prime}=c u^{\prime}(x) 线性性 求导运算也是满足线性性的，即可加性、数乘性，对于n个函数的情况 : \left[\sum_{i=1}^{n} C_{i}...[c_{1} f_{1}+\cdots+c_{n} f_{n}\right]^{\prime}=c_{1} f_{1}^{\prime}+\cdots+c_{n} f_{n}^{\prime} 反函数求导法则...x) 严格单调且可导，则其反函数 y=f(x) 的导数存在，且有： $$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)} $$ 复合函数求导法则
前言 在BP神经网络模型及其Gradient Descent的推导过程中有推导过BP算法，但只是简单用符号来表示求导关系，并没有详细介绍求导的具体步骤。...由于联邦学习的需要，所以在这里着重推导一下反向传播过程中的链式求导过程。 II.
我有一个关于按元素划分矩阵的问题，我的意思是我想要第一个矩阵的元素[I，j]除以第二个矩阵(Q)的元素[I，j]。在 一些背景信息：我从我的存储器加载了一个图像。...我把每个像素的单色值存储在一个叫做“pixelMatrix”的矩阵中 此命令将大矩阵(128×128)转换为较小的矩阵(8×8)foto_dct = skimage.util.view_as_blocks...(pixelMatrix, block_shape=(8, 8)) 现在，在完成这项工作之后，我需要将foto_dct中的每个矩阵除以一个不同的矩阵(在这段代码中称为“Q”)。...这是矩阵“Q”：[[ 16 11 10 16 24 40 51 61] [ 12 12 14 19 26 58 60 55] [ 14 13 16 24 40 57 69 56] [ 14 17 22...(foto_dct[3,3]，尽管我对它做了一些操作，第3列矩阵，第3行矩阵，如果你还记得第1步的话)[[613 250 -86 64 -63 59 -44 24] [ 38 -84 50 -57 54
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