在矩阵向量求导前4篇文章中,我们主要讨论了标量对向量矩阵的求导,以及向量对向量的求导。本文我们就讨论下之前没有涉及到的矩阵对矩阵的求导,还有矩阵对向量,向量对矩阵求导这几种形式的求导方法。
一般来讲,我们约定x=(x1,x2,...xN)T,这是分母布局。常见的矩阵求导方式有:向量对向量求导,标量对向量求导,向量对标量求导。
在机器学习中的矩阵向量求导(一) 求导定义与求导布局中,我们讨论了向量矩阵求导的9种定义与求导布局的概念。今天我们就讨论下其中的标量对向量求导,标量对矩阵求导, 以及向量对向量求导这三种场景的基本求解思路。
在《深度学习中的参数梯度推导(一)上篇》中,我们总结了各常见(向量对矩阵,矩阵对向量)的导数定义。我们还学习了矩阵微分和矩阵导数的关系,以及一些常见的矩阵微分性质。在本篇(下篇)将介绍矩阵导数中的链式法则以及专门针对标量对矩阵/向量求导的核心方法-迹技巧。最后,我们简单演习一下如何用矩阵求导来得到神经网络中的参数的梯度。
本文主要介绍在机器学习公式推导过程中经常会用到的矩阵和向量求导入门知识。之前的文章也提过,本科的高数和线性代数课程中一般都没有介绍这部分知识,于是可能就有朋友会担心矩阵求导是不是很难很高深,其实完全不用担心,理解它只需要了解导数和矩阵的概念就足够了。
1. 原则1:如果分子是标量函数,分母是列向量,那么求导结果要写成分母的形式,也就是列向量。
导数的定义:假设有一个函数f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},其输入输出都是标量。如果f的导数存在,那么这个极限被定义为:
在之前写的上百篇机器学习博客中,不时会使用矩阵向量求导的方法来简化公式推演,但是并没有系统性的进行过讲解,因此让很多朋友迷惑矩阵向量求导的具体过程为什么会是这样的。这里准备用三篇来讨论下机器学习中的矩阵向量求导,今天是第一篇。
本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748,来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量,粗体小写字母 表示列向量,大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路,常应用于二阶方法求解优化问题。
本文对吴恩达老师的机器学习教程中的正规方程做一个详细的推导,推导过程中将涉及矩阵和偏导数方面的知识,比如矩阵乘法,转值,向量点积,以及矩阵(或向量)微积分等。
机器之心专栏 作者:七月 本文的目标读者是想快速掌握矩阵、向量求导法则的学习者,主要面向矩阵、向量求导在机器学习中的应用。因此,本教程而非一份严格的数学教材,而是希望帮助读者尽快熟悉相关的求导方法并在实践中应用。另外,本教程假定读者熟悉一元函数的求导。 本文公式太多,微信上展示会有一些问题。所以本文适合读者了解矩阵、向量求导,而详细地学习与分析请下载本文的PDF版。 PDF 下载地址:https://pan.baidu.com/s/1pKY9qht 所谓矩阵求导,本质上只不过是多元函数求导,仅仅是把把函数的
在机器学习中的矩阵向量求导(二) 矩阵向量求导之定义法中,我们讨论了定义法求解矩阵向量求导的方法,但是这个方法对于比较复杂的求导式子,中间运算会很复杂,同时排列求导出的结果也很麻烦。因此我们需要其他的一些求导方法。本文我们讨论使用微分法来求解标量对向量的求导,以及标量对矩阵的求导。
缘由 布局 求导的类别 从简单的例子说起 实例 SVM的对偶形式转换 Soft-SVM对偶形式转换 线性回归 logistic回归 参考资料 缘由 机器学习的很多算法表示中都采用了矩阵的形式,对算法的
最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习,尤其是回归模型中,经常可以看到最小二乘法的身影,这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。
甚至之前还在知乎里看到这么一个问题,有人提问:我想学算法,我到底是应该报数学系呢,还是计算机系?我想估计也有不少同学有这样的困扰。
有深度学习三巨头之称的YoshuaBengio、Yann LeCun、Geoffrey Hinton共同获得了2018年的图灵奖,得奖理由是他们在概念和工程上取得的巨大突破,使得深度神经网络成为计算的关键元素。其中九项选定的技术成就分别是:反向传播,玻尔兹曼机,提出卷积神经网络,序列的概率建模,高维词嵌入与注意力机制,生成对抗网络,对卷积神经网络的修正,改进反向传播算法,拓宽神经网络的视角。这其中两项成就技术与反向传播有关。
自动求导机制是每一个深度学习框架中重要的性质,免去了手动计算导数,下面用代码介绍并举例说明Pytorch的自动求导机制。
在线性回归中,最小二乘法就是试图找到一条直线,使所有样本到直线上的欧氏距离之和最小。
这个问题很好解释,矩阵使得公式表达更加的方便。就这一便利性而言就值得引入矩阵这一概念,譬如:
为奇排列或者偶排列,即其中出现的降序的次数为奇数或者偶数,例如(1,3,2)中降序次数为1,(3,1,2)中降序次数为2。
线性模型形式简单、易于建模,但却蕴涵着机器学习中一些重要的基本思想,许多功能更为强大的非线性模型(nonlinear model)可在线性模型的基础上通过引入层级结构或高维映射而得,此外,由于
最简单的神经网络包含三个要素,输入层,隐藏层以及输出层。关于其工作机理其完全可以类比成一个元函数:Y=W*X+b。即输入数据X,得到输出Y。
亲爱的朋友们,多多有一段时间没有更新啦,主要是我在学习transformers突然开始思考几个神经网络相关的基本问题(模型结构越写越复杂,调包效果越来越好,是否还记得为什么而出发呢?),读者朋友也可以看看是否可以自如回答:
各位小伙伴们大家好,这几天我在群里看见了一位小伙伴提出了关于BP神经网络的反向传播算法的梯度维度的问题,我对这个问题也很有兴趣,所以希望通过这篇文章来去和大家探讨下这方面的知识. 在我们学习神经网络的时候,我们为了不断地迭代更新目标函数,我们总是不断地往复更新迭代神经网络中的各个参数和权值,而在实际过程中我们一般都是使用的矩阵向量化的方式去计算量化,但是如果我们能够了解这个矩阵求导的过程的话,我们对于反向传播算法中的梯度问题应该就能够很好的理解.(很多有疑惑的伙伴应该是看过CS231n吧,我记得没有读懂他
全连接神经网络的概念我就不介绍了,对这个不是很了解的朋友,可以移步其他博主的关于神经网络的文章,这里只介绍我使用基本工具实现全连接神经网络的方法。
Variable和Tensor本质上没有区别,不过Variable会被放入一个计算图中,然后进行前向传播,反向传播,自动求导。首先Variable是在torch.autograd.Variable中,要将一个tensor变成Variable也非常简单,比如想让一个tensor a变成Variable,只需要Variable(a)就可以了。Variable有三个比较重要的组成属性:data、grad和grad_fn。通过data可以取出Variable里面的tensor数值,grad_fn表示的是得到这个Variable的操作,比如通过加减还是乘除得到,最后grad是这个Variable的反向传播梯度,下面通过例子来具体说明一下。
在深度学习中的参数梯度推导(一)的上篇和下篇中,我们总结了一些用于推导神经网络反向梯度求导的重要的数学技巧。此外,通过一个简单的demo,我们初步了解了使用矩阵求导来批量求神经网络参数的做法。在接下来的章节,我们将专门针对DNN/FNN这种网络结构进行前向传播介绍和反向梯度推导。
这是一个全新的系列,也是厦门大学数学科学学院第一年开设的课程。希望这一个全新的系列能够让大家(当然也包括我自己……)从一个系统的角度来看优化这一个主题。同样,这也是专栏内目前的第一个真正与我的主修专业——计算数学相关的系列笔记。
本文主要介绍了如何学习人工智能相关知识,包括入门基础、进阶和高阶知识。首先,介绍了计算机基础、编程语言和数学基础。其次,介绍了机器学习、深度学习以及深度学习框架。最后,阐述了机器学习、强化学习、迁移学习等方面的知识。
PS: 为了方便最好是将 conda 和 pip 的软件源修改成内地源,这样的话,使用 conda 或者 pip 安装软件速度会快很多,你可以点击 这里 了解如何对 conda 和 pip 进行换源。
[神经网络]反向传播梯度计算数学原理 1 文章概述 本文通过一段来自于Pytorch官方的warm-up的例子:使用numpy来实现一个简单的神经网络。使用基本的数学原理,对其计算过程进行理论推导,以揭示这几句神奇的代码后面所包含的原理。 估计对大多数的同学来说,看完这个文章,肯定会是这样的感觉:字都认识,但是就是不知道讲的是啥~!不过对于有心人来说,本文确实能起到点睛之笔,就是你研究很久后,还差一点火候就顿悟了,希望本文能够帮你顿悟。 关键字:Numpy,神经网络,矩阵分析,反射传播,梯度下降 如果发现图
BP网络的产生主要是误差的反向传播,根据输出函数和目标函数的误差来修正权值和阈值。现在就给大家讲讲标准梯度下降法修正权值和阈值具体算法实现。以三层结构(输入层-隐含层-输出层)的模型为案例进行讲解:
4、Python基础1 - Python及其数学库 解释器Python2.7与IDE:Anaconda/Pycharm Python基础:列表/元组/字典/类/文件 Taylor展式的代码实现 numpy/scipy/matplotlib/panda的介绍和典型使用 多元高斯分布 泊松分布、幂律分布 典型图像处理
矩阵分解的本质是将原本复杂的矩阵分解成对应的几个简单矩阵的乘积的形式。使得矩阵分析起来更加简单。很多矩阵都是不能够进行特征值分解的。这种情况下,如果我们想通过矩阵分解的形式将原本比较复杂的矩阵问题分解成比较简单的矩阵相乘的形式,会对其进行奇异值分解。
在求解机器学习算法的模型参数,即无约束优化问题时,梯度下降(Gradient Descent)是最常采用的方法之一,另一种常用的方法是最小二乘法。这里就对梯度下降法做一个完整的总结。
Localization目标是确定自动驾驶车辆在全局坐标系内的位置(Position)和方向(Orientation),精确的Localization系统是任何自动驾驶汽车的关键组成部分。为了实现精确的Localization系统,需要使用State Estimation,从不精确的各种传感器的测量结果中,找到最优解作为车辆的定位位置。
很多刚刚接触SLAM的小伙伴在看到李群和李代数这部分的时候,都有点蒙蒙哒,感觉突然到了另外一个世界,很多都不自觉的跳过了,但是这里必须强调一点,这部分在后续SLAM的学习中其实是非常重要的基础,不信你看看大神们的论文就知道啦。
逻辑回归是一个分类算法,它可以处理二元分类以及多元分类。虽然它名字里面有“回归”两个字,却不是一个回归算法。那为什么有“回归”这个误导性的词呢?个人认为,虽然逻辑回归是分类模型,但是它的原理里面却残留着回归模型的影子,本文对逻辑回归原理做一个总结。
构建深度学习模型的基本流程就是:搭建计算图,求得损失函数,然后计算损失函数对模型参数的导数,再利用梯度下降法等方法来更新参数。
互联网万物基于ChatGPT,学习深度学习之前,先来请教一下ChatGPT如何进行学习。
本文介绍了传统的三层神经网络模型,首先介绍了网络中的神经单元概念,将一个神经单元视为一个逻辑回归模型。因此,神经网络可以看作是逻辑回归在(宽度,深度)上的延伸;然后,前向传播是一个复合函数不断传播的过程,最终视目标而定损失函数;最后,反向传播则是对复合函数求导的过程。当然三层神经网络只是深度学习的雏形,如今深度学习已经包罗万象。
机器学习涉及大量的高数知识,对待高数不要怕,学习机器学习要指导其中的数学原理,不要沉溺于数据的具体推导公式而耽误整体的学习进度。
文章:LOAM: Lidar Odometry and Mapping in Real-time
线性回归作为监督学习中经典的回归模型之一,是初学者入门非常好的开始。宏观上考虑理解性的概念,我想我们在初中可能就接触过,y=ax,x为自变量,y为因变量,a为系数也是斜率。如果我们知道了a系数,那么给我一个x,我就能得到一个y,由此可以很好地为未知的x值预测相应的y值。这很符合我们正常逻辑,不难理解。那统计学中的线性回归是如何解释的呢?
很多人想要搭上人工智能这列二十一世纪的快车,不断的顺应着互联网时代的变化,力求在这个不断革新的时代领域博得自己的一片立足之地。
假设现在有一些数据点,我们利用一条直线对这些点进行拟合(该线称为最佳拟合直线),这个拟合过程就称作为回归,如下图所示:
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这是“标量对向量”求导数,行向量或列向量都不重要,向量只是一组标量的表现形式,重要的是导数“d组合/d股票”的“股票”的向量类型一致 (要不就是行向量,要不就是列向量)。
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