背包问题是在给定的一组物品中选择物品放入背包，使得物品的总价值最大化，同时限制背包的容量。
背包问题是计算机科学中一个重要的组合优化问题，动态规划是解决该问题的高效算法技术。本篇博客将重点介绍背包问题的动态规划解法，包括状态定义、状态转移方程、边界条件和状态转移过程，并通过实例代码演示动态规划算法的实现，每行代码都配有详细的注释。
在这个示例中，我们定义了一个函数fractional_knapsack，它接受物品列表和背包容量作为参数，使用贪心算法来求解分数背包问题的最大价值。
将每个任务看作一个「物品」，完成任务所需要的人数看作「成本」，完成任务得到的利润看作「价值」。
动态规划是编程问题中最常见的一种模式。本质上来说，动态规划是一种对递归的优化，通过记忆化存储的方式减少重复计算的次数。在尝试用动态规划解决问题时，我们可以遵循如下的四个步骤：
在上一篇《9.动态规划（2）——子集和问题》中，谈到了什么是子集和问题，以及实现。背包问题实际也是子集和问题的一种，不过背包问题不是“判断问题”而是一个“最优问题”。而背包问题实际上又分为“0-1背包”，“完全背包”，本文对“0-1背包”进行讲解。 问题：有n个物品，每个物品的重量为weigh[i]，每个物品所对应的价值为price[i]，现在有一个背包，背包所能承受的重量为W，问背包能装下的物品总价值最大是多少？ 定义s[i, j]表示前i个物品的总价值，j为背包的承重量。当j = W或者最接
回溯算法是一种灵活且高效的算法技术，用于解决组合、排列、子集和图问题等。在本篇博客中，我们将重点探讨回溯算法在典型问题中的应用，包括八皇后问题和 0/1 背包问题，并通过实例代码演示回溯算法的解决过程，每行代码都配有详细的注释。
背包系列，是动态规划里一类典型的问题，主要有：01背包，完全背包，多重背包，混合背包，二维费用背包，分组背包，有依赖背包和泛化物品等。也就是常说的背包九讲。
动态规划是一种用于解决复杂问题的优化技术，它通过将问题分解为子问题，并存储子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
背包问题的经典资料当然是：背包九讲。在公众号「代码随想录」后台回复：背包九讲，就可以获得背包九讲的pdf。
贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。 贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。 完全背包问题：给定n个物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包问题是如何选择入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大，与0-1背包的区别是，在完全背包问题中，可以将物品的一部分
看完前面四篇关于背包问题的文章，你会发现背包问题其实也不过如此，而且它们之间有很多相似的地方，本篇文章就来揭开它们面纱，将背包问题彻底搞定。
但其实「多重背包」并没有这么常见，以至于在 LeetCode 上我都没找到与「多重背包」相关的题目。
Given a non-empty array containing only positive integers, find if the array can be partitioned into two subsets such that the sum of elements in both subsets is equal.
这是 LeetCode 上的「1049. 最后一块石头的重量 II」，难度为「中等」。
但对于「组内」物品而言，由于最多只能选一件物品，因此对于成本相同的多件物品，我们应当只保留价值最大的物品，从而让总的物品数量变少。
Python是一种高级编程语言，它在机器学习、数据分析、Web开发等领域都有广泛的应用。与其他编程语言一样，Python也支持各种算法。本文将介绍5种常见的Python算法，包括查找算法、排序算法、递归算法、动态规划算法、贪心算法，并提供代码实例。
如果你还没看过，我十分建议你抽时间去学习一下。因为 路径问题 里教到的「经验解法」和「技巧解法」将会贯穿我们之后的所有「动态规划专题」系列。
从状态定义我们发现，常规的分组背包问题对物品组的考虑是“线性“的（从前往后考虑每个物品组）。
这是 LeetCode 上的「1449. 数位成本和为目标值的最大数字」，难度为 「困难」。
在使用一维数组解决 0-1 背包问题的基础上，讲解如何解决完全背包、多重背包、分组背包、背包具体方案 和 有依赖的背包问题 ...
由于 LeetCode 没有与「分组背包求最大价值」相关的题目，因此我们使用「分组背包求方案数」来作为练习篇。
在 上一讲 中我们说到，多重背包问题无法像完全背包那样，通过一维空间优化来降低时间复杂度。
在最开始讲解 多重背包 时，我们就提到了「多重背包」的一维空间优化，无法优化时间复杂度。
在众多背包问题中「01 背包问题」是最为核心的，因此我建议你先精读过 背包问题 第一讲 之后再阅读本文。
向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
高级0-1背包问题：已知n个物品，每种物品对应有重量 weight和价值 value两个属性，给定一个背包可以装入物品的最大重量为 maxWeight，求满足最大重量限制的情况下，背包中装入物品的总价值最大是多少？
本文内容基本涵盖了 dd_engi 的背包九讲，在此基础上加上了自己的理解和代码实现
今天将练习「树形背包」问题，今天的练习题是一道学习「树形背包/有依赖的背包」问题必做的入门题。
01背包问题是所有背包问题的基础，之后的问题都可以在此基础之上变化，所以一定要理解清楚。尤其是对待不同问题，找出状态转移方程是解题的关键。
动态规划的主要思想：将问题分解为多个阶段，每个阶段对应一个决策。记录每一个阶段可达的状态集合（去掉重复的），然后通过当前阶段的状态集合来推导下一个阶段的状态集合，动态地往前推进。
本周算法刷题集中递归专题，下面是从我的知识星球里选取的星友们的精华回答，推送在公众号里，希望能真正帮助到更多朋友。如果你对算法感兴趣，欢迎加入我的星球（扫描文末二维码），只有几十块钱，收益却是无价的，每天成长都是可见的。
由于每个字符串只能被选一次，且每个字符串的选与否对应了「价值」和「成本」，求解的问题也是「最大价值」是多少。
其实就是在 0-1 背包问题的基础上，增加了每件物品可以选择「有限次数」的特点（在容量允许的情况下）。
分数背包问题（Fractional Knapsack Problem）是一个优化问题，其中每个物品都有一个重量和价值，目标是选择一些物品装入背包中，使得背包内物品的总价值最大，同时不超过背包的容量限制。与0-1背包问题不同，分数背包问题允许选择物品的一部分。
本人看了vivo，阿里巴巴的校招算法题，可以明确知道绝对有动态规划。如果没有，那么出题的面试官真的没有水平。跌了N次的动态规划，Runsen最近也拼命搞动态规划。这篇文章浪费了三天时间。
东哥带你手把手撕力扣~ 作者：labuladong 公众号：labuladong 若已授权白名单也必须保留以上来源信息
零钱兑换 2 是另一种典型背包问题的变体，我们前文已经讲了 经典动态规划：0-1 背包问题 和 背包问题变体：相等子集分割。
动态规划问题是学习算法时一个尤为重要的内容，在讲解什么是动态规划之前，首先来讲一下分而治之。
分数背包问题允许我们选择物品的部分重量，目标是最大化背包内物品的总价值，同时不超过背包的总容量。
本篇我们继续完成与 完全背包 相关的练习题，共三篇。本篇是第二篇，第一篇在 这里。
动态规划（英语：Dynamic programming，简称DP）是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。 动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题 动态规划思想大致上为：若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。 由于通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。
顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。希望贪心算法得到的最终结果是整体最优的。贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。 在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
刷动态规划的第二天，有些自闭，刚靠着大魔王的歌缓过来了。关于动态规划，我还处于看题解时哦哦哦、看题目时？？？的阶段，所以整理的点不深。除了昨天推给大家的链接，今天也是发现了一位刷题大牛的宝藏，不仅动态规划，各类算法都做了整理、引导，属实 respect ！
贪心算法是一种基于启发式的问题解决方法，它通过每一步选择局部最优解来构建全局最优解。本篇博客将深入探讨贪心算法的原理，提供详细的解释和示例，包括如何在 Python 中应用贪心算法解决各种问题。
在上一题 322. 零钱兑换 中，我们求的是「取得特定价值所需要的最小物品个数」。
之前二狗已经分别介绍过了，如何用模拟退火算法和遗传算法，进行背包问题的求解。其实背包问题是可以看成是一个可以看成是一个比较特殊的，有线性约束的，0-1规划问题。在数学中还有很多其他特殊的问题，比如指派问题。指派问题可以看成是更特殊的多个背包问题（很多个背包求优，每个背包只能装一样物品）。基本指派问题一般可以描述为有n个任务n个人。要求为n个任务分配给指定的人来完成。并且在这种基本情况下，人和任务需要是一一对应的关系。不能有重复，不能出现两个人做同一个任务，或者一个人同时做两个任务的情况。（这些情况也属于指派问题的范畴，但属于更加复杂的情况，今天就不做讲解）。指派问题已经有了明确可解的算法，也就是我们大家都知道的匈牙利算法。同样的，这个问题也可以使用模拟退火来解决。今天我们就使用模拟退火算法来为大家演示，如何在指派问题进行优化？
背包问题其实有很多细节，如果了解个大概，然后也能一气呵成把代码写出来，但稍稍变变花样可能会陷入迷茫了。
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