作者：韩信子@ShowMeAI

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信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。信息论中包含的知识和概念在机器学习中也有应用，典型的例子是其核心思想『熵』的应用。

例如，决策树模型ID3、C4.5中是利用信息增益来确定划分特征而逐步生长和构建决策树的；其中，信息增益就是基于信息论中的熵。

1.熵（Entropy）

熵是1854年由克劳休斯提出的一个用来度量体系混乱程度的单位，并阐述了热力学第二定律熵增原理：在孤立系统中，体系与环境没有能量交换，体系总是自发的向混乱度增大的方向变化，使整个系统的熵值越来越大。

熵越大，表征的随机变量的不确定度越大，其含有的信息量越多。

随机变量X可能的取值为

其概率分布为P\left( X=x_{i} \right) =p_{i}，i = 1, 2, \dots, n，则随机变量X的熵定义为H(X)：

2.联合熵（Joint Entropy ）

联合熵，就是度量一个联合分布的随机系统的不确定度。分布为P(x,y)的一对随机变量(X,Y)，其联合熵定义如上。

联合熵的物理意义，是观察一个多随机变量的随机系统获得的信息量，是对二维随机变量(X,Y)不确定性的度量。

3.条件熵（Conditional Entropy）

Y的条件熵是指『在随机变量X发生的前提下，随机变量Y发生新带来的熵』，用H(Y | X)表示：

条件熵的物理意义，在得知某一确定信息的基础上获取另外一个信息时所获得的信息量，用来衡量在已知随机变量的X条件下，随机变量Y的不确定性。

4.相对熵（Kullback–Leibler divergence）

相对熵在信息论中用来描述两个概率分布差异的熵，叫作KL散度、相对熵、互熵、交叉熵、信息增益。对于一个离散随机变量的两个概率分布P和Q来说，它们的相对熵定义为：

注意：公式中P表示真实分布，Q表示P的拟合分布，D(P||Q) ≠ D(Q||P)

相对熵表示当用概率分布Q来拟合真实分布P时，产生的信息损耗。

5.互信息（Mutual Information）

互信息是信息论里一种有用的信息度量方式，它可以看成是一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量，或者说是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的不肯定性。

互信息的计算方式定义如下：

6.常用等式（useful equations）

1）条件熵、联合熵与熵之间的关系

推导过程如下：

H(X, Y)-H(X) \\ =-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(x, y)+\sum_{x} p(x) \log p(x) \\ =-\sum{x, y} p(x, y) \log p(x, y)+\sum{x}\left(\sum_{y} p(x, y)\right) \log p(x) \\ =-\sum{x, y} p(x, y) \log p(x, y)+\sum{x, y} p(x, y) \log p(x) \\ =-\sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x)} \\ =-\sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x)} \\

• 第二行推到第三行的依据是边缘分布P(x)等于联合分布P(x,y)的和；
• 第三行推到第四行的依据是把公因子logP(x)乘进去，然后把x,y写在一起；
• 第四行推到第五行的依据是：因为两个\sigma都有P(x,y)，故提取公因子P(x,y)放到外边，然后把里边的-（log P(x,y) - log P(x)）写成- log (P(x,y) / P(x) )；
• 第五行推到第六行的依据是：P(x,y) = P(x) * P(y|x)，故P(x,y) / P(x) = P(y|x)。

2）条件熵、联合熵与互信息之间的关系

推导过程如下：

H(Y)-I(X, Y) \ =-\sum{y} p(y) \log p(y)-\sum{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} \\

=-\sum{y}\left(\sum{x} p(x, y)\right) \log p(y)-\sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} \

=-\sum{x, y} p(x, y) \log p(y)-\sum{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} \

=-\sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x)} \

=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(y \mid x) \

=H(Y \mid X)

3）互信息的定义

由上方的两个公式

• H(Y|X) = H(Y) - I(X,Y)
• H(Y|X) = H(X,Y) - H(X)

可以推出I(X,Y)= H(X) + H(Y) - H(X,Y)，此结论被多数文献作为互信息的定义

7.最大熵模型（Max Entropy Model）

机器学习领域，概率模型学习过程中有一个最大熵原理，即学习概率模型时，在所有可能的概率分布中，熵最大的模型是最好的模型。

通常用约束条件来确定模型的集合，所以最大熵模型原理也可以表述为：在满足约束条件的模型集合中，选取熵最大的模型。

前面我们知道，若随机变量X的概率分布是P\left( x_{i} \right)，其熵的定义如下：

H\left( X \right) =-\sum{i=1}^{n}{P\left( x{i} \right) logP\left( x{i} \right) } =\sum{i=1}^{n}{P\left( x{i} \right) \frac{1}{logP\left( x{i} \right) } }

熵满足下列不等式：0\leq H\left( X \right) \leq log\left| X \right|

• |X|是X的取值个数
• 当且仅当X的分布是均匀分布时，右边的等号成立；也就是说，当X服从均匀分布时，熵最大。

直观地看，最大熵原理认为：

• 要选择概率模型，首先必须满足已有的事实，即约束条件；
• 在没有更多信息的情况下，那些不确定的部分都是『等可能的』。最大熵原理通过熵的最大化来表示等可能性；『等可能』不易操作，而熵则是一个可优化的指标。