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本系列为吴恩达老师《深度学习专项课程(Deep Learning Specialization)》学习与总结整理所得,对应的课程视频可以在这里查看。
在ShowMeAI前一篇文章 深度学习的实用层面 中我们对以下内容进行了介绍:
本篇内容展开介绍深度神经网络中的一些优化算法,通过使用这些技巧和方法来提高神经网络的训练速度和精度。
Batch梯度下降法(批梯度下降法)是最常用的梯度下降形式,它是基于整个训练集的梯度下降算法,在更新参数时使用所有的样本来进行更新。
对整个训练集进行梯度下降法的时候,我们必须处理整个训练数据集,然后才能进行一步梯度下降,即每一步梯度下降法需要对整个训练集进行一次处理,如果训练数据集很大的时候,处理速度就会比较慢。
但是如果每次处理训练数据的一部分,基于这个子集进行梯度下降法,算法迭代速度会更快。而处理的这些一小部分训练子集即称为Mini-Batch,这个算法也就是我们说的Mini-Batch梯度下降法。
Mini-Batch梯度下降法(小批量梯度下降法)每次同时处理单个的Mini-Batch,其他与Batch梯度下降法一致。
使用Batch梯度下降法,对整个训练集的一次遍历只能做一个梯度下降;而使用Mini-Batch梯度下降法,对整个训练集的一次遍历(称为一个epoch)能做Mini-Batch个数个梯度下降。之后,可以一直遍历训练集,直到最后收敛到一个合适的精度。
Batch梯度下降法和Mini-Batch梯度下降法代价函数的变化趋势如上图所示:
我们在训练神经网络的时候,使用mini-batch gradient descent,经常要指定一个batch批次的样本数量。而不同的batch大小会影响训练的过程,其中有2个特例,mini-batch gradient descent会退化为不同的算法:
如上图,我们对比一下Batch gradient descent和Stachastic gradient descent的梯度下降曲线。
实际使用中,batch size不能设置得太大(会倾向于Batch gradient descent),也不能设置得太小(倾向于Stochastic gradient descent)。
选择一个1<size<m
的合适的大小进行Mini-Batch梯度下降,可以实现快速学习,也应用了向量化带来的好处,且成本函数的下降处于前两者之间。
mini-batch gradient descent的梯度下降曲线如图绿色曲线所示,每次前进速度较快,且振荡较小,基本能接近全局最小值。
吴恩达老师也给出了一些关于batch大小选择的经验:
Batch的大小是重要的超参数,需要根据经验快速尝试,找到能够最有效地减少成本函数的值。
前面提到了batch大小的选择方法,当我们确定batch大小后,在应用mini-batch梯度下降算法时,可以通过以下方式获得1个Batch的数据:
其中打乱数据集的代码:
# 获得样本数量
m = X.shape[1]
# 对m个样本进行乱序
permutation = list(np.random.permutation(m))
# 取出洗牌之后的样本特征和标签
shuffled_X = X[:, permutation]
shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1,m))
(上述python代码使用到numpy工具库,想了解更多的同学可以查看ShowMeAI的 图解数据分析 系列中的numpy教程,也可以通过ShowMeAI制作的 numpy速查手册 快速了解其使用方法)
代码解读:
np.random.permutation
与np.random.shuffle
有两处不同:
permutation
一个矩阵,它会返回一个洗牌后的矩阵副本;而shuffle
只是对一个矩阵进行洗牌,没有返回值。arange
。在进一步讲解优化算法之前,我们来对数学标记做一个统一和说明:
下面我们将介绍指数加权平均(Exponentially weighted averages)的概念。
举个例子,记录半年内伦敦市的气温变化,并在二维平面上绘制出来,如下图所示:
看上去,温度数据似乎有noise,而且抖动较大。如果我们希望看到半年内气温的整体变化趋势,可以通过「移动平均」(moving average)的方法来对每天气温进行平滑处理。
例如我们可以设V_0=0,当成第0天的气温值。
第一天的气温与第0天的气温有关:
第二天的气温与第一天的气温有关:
\begin{aligned} V_2 =0.9V_1+0.1\theta_2\ =0.9(0.9V_0+0.1\theta_1)+0.1\theta_2\ =0.9^2V_0+0.9\cdot0.1\theta_1+0.1\theta_2 \end{aligned}
第三天的气温与第二天的气温有关:
即第t天与第t-1天的气温迭代关系为:
经过「移动平均」(moving average)处理得到的气温如下图红色曲线所示:
这种滑动平均算法称为指数加权平均(exponentially weighted average)。根据前面的例子,我们可以看到它的推导公式一般形式为:V_t=\beta V_{t-1}+(1-\beta)\theta_t。
其中指数加权平均的天数由\beta值决定,近似表示为\frac{1}{1-\beta}。上面的例子中:
\beta值越大,则指数加权平均的天数越多,平均后的趋势线就越平缓,但是同时也会向右平移。上图中绿色曲线和橙色曲线分别表示了\beta=0.98和\beta=0.5时,指数加权平均的结果。
公式解释:这里的\frac{1}{1-\beta}是怎么来的呢?就标准数学公式来说,指数加权平均算法跟之前所有天的数值都有关系。但是指数是衰减的,一般认为衰减到\frac1e就可以忽略不计了。因此,根据之前的推导公式,我们只要证明\beta^{\frac{1}{1-\beta}}=\frac1e就好了。令\frac{1}{1-\beta}=N,N>0,则\beta=1-\frac{1}{N},\frac1N<1。即证明转化为 (1-\frac1N)^N=\frac1e显然,当N>>0时,上述等式是近似成立的。这就简单解释了为什么指数加权平均的天数的计算公式为\frac{1}{1-\beta}。
综上,指数加权平均(Exponentially Weight Average)是一种常用的序列数据处理方式,计算公式为:
其中Y_t为t下的实际值,S_t为t下加权平均后的值,\beta为权重值。
指数加权平均数在统计学中被称为“指数加权移动平均值”。
我们将指数加权平均公式的一般形式写下来:
观察上述推导得到的计算公式,其中:
如果我们把每个时间点的\theta和衰减指数写成向量形式,则最终指数加权平均结果V_t相当于两者的点乘。将原始数据值与衰减指数点乘,相当于做了指数衰减,随距离越远衰减越厉害(注意到\beta小于1),有如下结论:
当\beta = 0.9时,
展开:
其中,\theta_i指第i天的实际数据。所有\theta前面的系数(不包括0.1)相加起来为1或者接近于1,这些系数被称作偏差修正(Bias Correction)。
根据函数极限的一条定理:
当\beta = 0.9时,可以当作把过去10天的气温指数加权平均作为当日的气温,因为10天后权重已经下降到了当天的1/3左右。同理,当\beta = 0.98时,可以把过去50天的气温指数加权平均作为当日的气温。
因此,在计算当前时刻的平均值时,只需要前一天的平均值和当前时刻的值。
在实际代码中,只需要不断迭代赋值更新v即可:
指数平均加权并不是最精准的计算平均数的方法,你可以直接计算过去10天或50天的平均值来得到更好的估计,但缺点是保存数据需要占用更多内存,执行更加复杂,计算成本更加高昂。
指数加权平均数公式的好处之一在于它只需要一行代码,且占用极少内存,因此效率极高,且节省成本。
当\beta=0.98时,前面提到的气温示例,指数加权平均结果如绿色曲线。但实际上真实曲线如紫色曲线所示:
紫色曲线与绿色曲线的区别是,紫色曲线开始的时候相对较低一些。因为开始时设置v_0 = 0,所以初始值会相对小一些,直到后面受前面的影响渐渐变小,趋于正常。
修正这种问题的方法是进行偏移校正(bias correction),即在每次计算完v_t后,对v_t进行下式处理:
换算到迭代公式中,即有v_t = \frac{\beta v_{t-1} + (1 - \beta)\theta_t}{{1-\beta^t}}。
观察上式:随着t的增大,\beta的t次方趋近于0。因此当t很大的时候,偏差修正几乎没有作用,但是在前期学习可以帮助更好的预测数据。
大家已经了解了指数加权平均,现在我们回到神经网络优化算法,介绍一下动量梯度下降算法,其速度要比传统的梯度下降算法快很多。做法是在每次训练时,计算梯度的指数加权平均数,并利用该值来更新权重W和常数项b。
具体过程为:for l = 1, .. , L
其中,将动量衰减参数\beta设置为0.9是超参数的一个常见且效果不错的选择。当\beta被设置为0时,显然就成了Batch梯度下降法。
我们用下图来对比一下优化算法的优化过程
图中:
当前后梯度方向一致时,动量梯度下降能够加速学习;而前后梯度方向不一致时,动量梯度下降能够抑制震荡。
另外,在10次迭代之后,移动平均已经不再是一个具有偏差的预测。因此实际在使用梯度下降法或者动量梯度下降法时,不会同时进行偏差修正。
补充:在其它文献资料中,动量梯度下降还有另外一种写法:V_{dW}=\beta V_{dW}+dW$``$V_{db}=\beta V_{db}+db即消去了dW和db前的系数(1-\beta)。这样简化了表达式,但是学习因子\alpha相当于变成了\frac{\alpha}{1-\beta},表示\alpha也受\beta的影响。从效果上来说,这种写法也是可以的,但是不够直观,且调参涉及到\alpha,不够方便。所以,实际应用中,推荐第一种动量梯度下降的表达式。
将成本函数想象为一个碗状,从顶部开始运动的小球向下滚,其中dw,db想象成球的加速度;而v_{dw}、v_{db}相当于速度。
小球在向下滚动的过程中,因为加速度的存在速度会变快,但是由于\beta的存在,其值小于1,可以认为是摩擦力,所以球不会无限加速下去。
RMSProp(Root Mean Square Propagation,均方根传播)是另外一种优化梯度下降速度的算法,它在对梯度进行指数加权平均的基础上,引入平方和平方根。具体过程为(省略了l):
其中,\varepsilon是一个实际操作时加上的较小数(例如10^{-8}),为了防止分母太小而导致的数值不稳定。
如图所示,蓝色轨迹代表初始的移动,可以看到在b方向上走得比较陡峭(即db较大),相比起来dw较小,这影响了优化速度。
因此,在采用RMSProp算法后,由于(dw)^2较小、(db)^2较大,进而s_{dw}也会较小、s_{db}也会较大,最终使得\frac{dw}{\sqrt{s_{dw} + \varepsilon}}较大,而\frac{db}{\sqrt{s_{db} + \varepsilon}}较小。后面的更新就会像绿色轨迹一样,明显好于蓝色的更新曲线。RMSProp减小某些维度梯度更新波动较大的情况,使下降速度变得更快。
RMSProp有助于减少抵达最小值路径上的摆动,并允许使用一个更大的学习率\alpha,从而加快算法学习速度。并且,它和Adam优化算法已被证明适用于不同的深度学习网络结构。
注意,\beta也是一个超参数。
对比原始梯度下降与RMSProp算法优化过程,如下图所示(上方为原始梯度下降,下方为RMSProp)
Adam (Adaptive Moment Estimation,自适应矩估计)算法结合了动量梯度下降算法和RMSprop算法,通常有超越二者单独时的效果。具体过程如下(省略了l):
首先进行初始化:
用每一个Mini-Batch计算dW、db,第t次迭代时:
一般使用Adam算法时需要计算偏差修正:
所以,更新W、b时有:
Adam优化算法有很多的超参数,其中
\beta_1、\beta_2、\varepsilon通常不需要调试。
对比原始梯度下降与RMSProp算法优化过程,如下图所示(上方为原始梯度下降,下方为Adam)
减小学习率\alpha也能有效提高神经网络训练速度,这种方法被称为学习率衰减法(learning rate decay)。
学习率衰减就是随着迭代次数增加,学习率\alpha逐渐减小。如下图示例。
① 蓝色折线表示设置一个固定的学习率\alpha
② 绿色折线表示随着时间慢慢减少学习率\alpha的大小
最常用的学习率衰减方法:
其中,decay_rate为衰减率(超参数),epoch_num为将所有的训练样本完整过一遍的次数。
对于较小的模型,也有人会在训练时根据进度手动调小学习率。
在使用梯度下降算法不断减小cost function时,可能会得到局部最优解(local optima)而不是全局最优解(global optima)。
之前我们对局部最优解的理解是形如碗状的凹槽,如图左边所示。但是在神经网络中,local optima的概念发生了变化。准确来说,大部分梯度为零的“最优点”并不是这些凹槽处,而是形如右边所示的马鞍状,称为saddle point。
所以在深度学习损失函数中,梯度为零并不能保证都是convex(极小值),也有可能是concave(极大值)。特别是在神经网络中参数很多的情况下,所有参数梯度为零的点很可能都是右边所示的马鞍状的saddle point,而不是左边那样的local optimum。
类似马鞍状的plateaus会降低神经网络学习速度。Plateaus是梯度接近于零的平缓区域,如图所示。在plateaus上梯度很小,前进缓慢,到达saddle point需要很长时间。到达saddle point后,由于随机扰动,梯度一般能够沿着图中绿色箭头,离开saddle point,继续前进,只是在plateaus上花费了太多时间。
结论: