import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
#实现简单的阶跃函数
def step_function0(x):
    if x > 0:
        return 1
    else:
        return 0

def step_function1(x):
    y = x >0
    return y.astype(np.int)

def step_function(x):
    return np.array(x > 0, dtype=np.int)

x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = step_function(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-0.1, 1.1) # 指定y轴的范围
plt.show()

#sigmoid函数
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

yy = sigmoid(x)
plt.plot(x,yy)
plt.ylim(-0.1,1.1)
plt.show()

plt.plot(x,y,linestyle = "--",label="step")
plt.plot(x,yy,label="sigmoid")
plt.show()

可以看出，感知机中神经元之间流动的是0或1的二元信号，而神经网络中流动的是连续的实数值信号。

简单总结如下：

sigmoid函数具有平滑性。
两个函数结构均是“输入小时，输出接近0或为0，随着输入增大，输出趋向于1或变为1”，也就是说，当输入信号为重要信息时，阶跃函数和sigmoid函数都会输出较大的值；当输入信号为不重要的信息时，两者都输出较小的值。
不管输入信号多大多小，输出信号值范围在0-1之间。
两者均为非线性函数。

神经网络的激活函数必须使用非线性函数。若使用线性函数，加神经网络是没有意义的。线性函数的问题是不管如何加深层数，总是存在与之等效的“无隐藏层的神经网络”。

举例：若将线性函数

作为激活函数，把

的运算对应3层神经网络，这个运算会进行

的乘法运算，但是同样的处理可以由

这一次的乘法运算（即没有隐藏层的神经网络）来表示。注意这里

。

ReLU函数

在神经网络的发展史上，sigmoid函数很早就开始使用了，而最近则主要使用ReLU(Rectified Linear Unit)函数。

ReLU函数是一个非常简单的函数。ReLU函数在输入大于0时，直接输出该值；在输入小于0时，输出0。ReLU函数可以表示为下面的式子：

#ReLU函数实现
def relu(x):
    return np.maximum(0,x)

y3 = relu(x)
plt.plot(x,y3)
plt.show()

多维数组的运算

# 一维数组
import numpy as np
A = np.array([1, 2, 3, 4])
print(A)

[1 2 3 4]

np.ndim(A)#获取数组维数

1

A.shape#获取数组的形状

(4,)

A.shape[0]#其结果是个元组（tuple）

4

# 二维数组,也是矩阵
B = np.array([[1,2], [3,4], [5,6]])
print(B)

[[1 2] [3 4] [5 6]]

np.ndim(B)

2

B.shape

(3, 2)

# 矩阵乘法
C = np.array([[1,2],[3,4]])
C.shape

(2, 2)

D = np.array([[5,6],[7,8]])
D.shape

(2, 2)

np.dot(C,D)#乘积为点积

array([[19, 22], [43, 50]])

np.dot(D,C)#绝大部分矩阵不满足乘法交换律

array([[23, 34], [31, 46]])

神经网络的内积

使用NumPy矩阵实现神经网络。

# 使用NumPy矩阵实现神经网络
X=np.array([1,2])
X.shape

(2,)

W=np.array([[1,3,5],[2,4,6]])
print(W)

[[1 3 5] [2 4 6]]

W.shape

(2, 3)

YY=np.dot(X,W)
print(YY)

[ 5 11 17]

3层神经网络的实现

神经网络的运算可以作为矩阵运算打包进行。

任何前一层的偏置神经元“1”都只有一个。偏置权重的数量取决于后一层的神经元的数量（不包括后一层的偏置神经元“1”）。

# 多维数组实现A(1)=XW(1)+B
# 输入层到第1层的信号传递
X=np.array([1.0, 0.5])
W1=np.array([[0.1,0.3,0.5],[0.2,0.4,0.6]])
B1=np.array([0.1,0.2,0.3])

print(W1.shape)
print(X.shape)
print(B1.shape)

(2, 3) (2,) (3,)

A1=np.dot(X,W1)+B1
#观察第1层中激活函数的计算过程,激活函数使用sigmoid
Z1=sigmoid(A1)
print(A1)
print(Z1)

[0.3 0.7 1.1] [0.57444252 0.66818777 0.75026011]

#第1层到第2层的信号传递
W2=np.array([[0.1,0.4],[0.2,0.5],[0.3,0.6]])
B2=np.array([0.1,0.2])

print(Z1.shape)
print(W2.shape)
print(B2.shape)
A2=np.dot(Z1,W2) + B2
Z2=sigmoid(A2)

(3,) (3, 2) (2,)

#第2层到输出层的信号传递
#定义输出层的激活函数为恒等函数
def identity_function(x):
    return x

W3=np.array([[0.1,0.3],[0.2,0.4]])
B3=np.array([0.1,0.2])
A3=np.dot(Z2,W3)+B3
Y=identity_function(A3)
print(Y)

[0.31682708 0.69627909]

输出层所用的激活函数，要根据求解问题的性质决定。一般地，回归问题可以使用恒等函数，二元分类问题可以使用sigmoid函数，多元分类问题可以使用softmax函数。

代码实现小结

# 3层网络实现案例，把权重记为大写字母W1，其他的偏置或中间结果等用小写字母表示
def init_network():
    network = {}
    network['W1'] = np.array([[0.1,0.3,0.5],[0.2,0.4,0.6]])
    network['b1'] = np.array([0.1,0.2,0.3])
    network['W2'] = np.array([[0.1,0.4],[0.2,0.5],[0.3,0.6]])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
    network['W3'] = np.array([[0.1,0.3],[0.2,0.4]])
    network['b3'] = np.array([0.1,0.2])
    
    return network

def forward(network, x):
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']
    
    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, W3) + b3
    y = identity_function(a3)
    
    return y

network = init_network()
x = np.array([1.0, 0.5])
y = forward(network, x)
print(y)

[0.31682708 0.69627909]

这里定义了init_network()和forward()函数。init_network()函数会进行权重和偏置的初始化，并将它们保存在字典变量network中。这个字典变量中保存了每一层所需的参数(权重和偏置)。forward()函数中则封装了将输入信号转换为输出信号的处理过程。

输出层的设计

神经网络可以用在分类问题和回归问题上，不过需要根据情况改变输出层的激活函数。一般而言，回归问题用恒等函数，分类问题用softrmax函数。

恒等函数和softmax函数

恒等函数会讲输入按原样输出，对于输入的信息，不加以任何改动地直接输出。

分类问题中使用的softmax函数可以用下面式子表示：

其中，

。上式表示假设输出层共有

个神经元，计算k个神经元

的输出。softmax函数的分子是输入信号

的指数函数，分母是所有输入信号的指数函数的和。

从式中可看出，输出层的各个神经元都受到所有输入信号的影响。

实现softmax函数：

#实现softmax函数
a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])
exp_a = np.exp(a) #指数函数
print(exp_a)
sum_exp_a = np.sum(exp_a) #指数函数的和
print(sum_exp_a)
y = exp_a / sum_exp_a
print(y)

[ 1.34985881 18.17414537 54.59815003] 74.1221542101633 [0.01821127 0.24519181 0.73659691]

# 定义softmax函数。供以后使用(初始版)
def softmax1(a):
    exp_a = np.exp(a)
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    
    return y

实现softmax函数时的注意事项

softmax实现需要注意溢出问题，因为softmax函数内有

的指数运算，会使数值变得很大。因此，softmax函数的实现可以按如下式改进：

在进行softmax的指数函数的运算时，加上或者减去某个常数并不会改变开运算的结果。这里的

可以使用任何值，但是为了防止溢出，一般会使用输入信号中的最大值。如下例：

# 演示计算溢出情况与解决
a = np.array([1010, 1000, 990])
np.exp(a) / np.sum(np.exp(a)) #softmax,并未正确被计算，报错

/opt/conda/lib/python3.6/site-packages/ipykernel_launcher.py:3: RuntimeWarning: overflow encountered in exp This is separate from the ipykernel package so we can avoid doing imports until /opt/conda/lib/python3.6/site-packages/ipykernel_launcher.py:3: RuntimeWarning: invalid value encountered in true_divide This is separate from the ipykernel package so we can avoid doing imports until array([nan, nan, nan])

c = np.max(a) #1010
a - c
np.exp(a - c) / np.sum(np.exp(a - c))

array([9.99954600e-01, 4.53978686e-05, 2.06106005e-09])

# 定义softmax函数。供以后使用(正式用版)
def softmax(a):
    c = np.max(a)
    exp_a = np.exp(a - c)#溢出对策
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    
    return y

softmax函数的特征

softmax函数的输出是0.0到1.0之间的实数。并且，softmax函数的输出值的总和是1.输出总和为1是softmax函数的一个重要特质，这个特质让softmax函数的输出解释为“概率”。通过softmax函数，我们可以用概率的（统计的）方法处理问题。

# 可解释为“概率”的softmax函数
a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])
y = softmax(a)
print(y)
np.sum(y)

[0.01821127 0.24519181 0.73659691] 1.0

上例中，从概率的结果来看，可以说“因为第2个元素的概率最高，所以答案是第2个类别”。而且，还可以回答“74%的概率是第2个类别，有25%的概率是第1个类别，有1%的概率是第0个类别”。

这里需要注意，即使使用了softmax函数，各个元素之间的大小关系也不会改变。这是因为指数函数是单调递增函数。

一般而言，神经网络只把输出值最大的神经元所对应的类别作为识别结果。并且，即使使用softmax函数，输出值最大的神经元的位置也不会改变。因此，神经网络在进行分类时，输出层的softmax函数可以省略。在实际问题中，由于指数函数的运算需要一定的计算机运算量，因此输出层的softmax函数一般会直接省略。

求解机器学习问题的步骤可以分为“学习”和“推理”两个阶段。首先，在学习阶段进行模型的学习（指使用训练数据、自动调整参数的过程），然后，在推理阶段，用学到的模型对未知的数据进行推理（分类）。如前所述，推理阶段一般会省略输出层的softmax函数。在输出层使用softmax函数是因为它和神经网络的学习有关系。

输出层的神经元数量

输出层的神经元数量需要根据待解决的问题来决定。对于分类问题，输出层的神经元数量一般设定为类别的数量。

《深度学习入门》学习笔记

技术角 | 深度学习之《深度学习入门》学习笔记（三）神经网络

sigmoid函数

ReLU函数

神经网络的内积

代码实现小结

恒等函数和softmax函数

实现softmax函数时的注意事项

softmax函数的特征

输出层的神经元数量

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