深度学习之DNN与前向传播算法

深度神经网络(Deep Neural Networks, 以下简称DNN)是深度学习的基础,而要理解DNN,首先我们要理解DNN模型,下面我们就对DNN的模型与前向传播算法做一个总结。

从感知机到神经网络

在感知机原理小结中,我们介绍过感知机的模型,它是一个有若干输入和一个输出的模型,如下图:

输出和输入之间学习到一个线性关系,得到中间输出结果:

接着是一个神经元激活函数:

从而得到我们想要的输出结果1或者-1。

这个模型只能用于二元分类,且无法学习比较复杂的非线性模型,因此在工业界无法使用。而神经网络则在感知机的模型上做了扩展,总结下主要有三点:

1)加入了隐藏层,隐藏层可以有多层,增强模型的表达能力,如下图实例,当然增加了这么多隐藏层模型的复杂度也增加了好多。

2)输出层的神经元也可以不止一个输出,可以有多个输出,这样模型可以灵活的应用于分类回归,以及其他的机器学习领域比如降维和聚类等。多个神经元输出的输出层对应的一个实例如下图,输出层现在有4个神经元了。

3) 对激活函数做扩展,感知机的激活函数是sign(z),虽然简单但是处理能力有限,因此神经网络中一般使用的其他的激活函数,比如我们在逻辑回归里面使用过的Sigmoid函数,即:

还有后来出现的tanx, softmax,和ReLU等。通过使用不同的激活函数,神经网络的表达能力进一步增强。对于各种常用的激活函数,我们在后面再专门讲。

DNN的基本结构

上一节我们了解了神经网络基于感知机的扩展,而DNN可以理解为有很多隐藏层的神经网络。这个很多其实也没有什么度量标准, 多层神经网络和深度神经网络DNN其实也是指的一个东西,当然,DNN有时也叫做多层感知机(Multi-Layer perceptron,MLP), 名字实在是多。后面我们讲到的神经网络都默认为DNN。

从DNN按不同层的位置划分,DNN内部的神经网络层可以分为三类,输入层,隐藏层和输出层,如下图示例,一般来说第一层是输出层,最后一层是输出层,而中间的层数都是隐藏层。

层与层之间是全连接的,也就是说,第i层的任意一个神经元一定与第i+1层的任意一个神经元相连。虽然DNN看起来很复杂,但是从小的局部模型来说,还是和感知机一样,即一个线性关系z=∑wixi+b加上一个激活函数σ(z)。

由于DNN层数多,则我们的线性关系系数w和偏倚b的数量也就是很多了。具体的参数在DNN是如何定义的呢?

首先我们来看看线性关系系数w的定义。以下图一个三层的DNN为例,第二层的第4个神经元到第三层的第2个神经元的线性系数定义为w243。上标3代表线性系数w所在的层数,而下标对应的是输出的第三层索引2和输入的第二层索引4。你也许会问,为什么不是w423, 而是w243呢?这主要是为了便于模型用于矩阵表示运算,如果是w243而每次进行矩阵运算是wTx+b,需要进行转置。将输出的索引放在前面的话,则线性运算不用转置,即直接为wx+b。总结下,第l−1层的第k个神经元到第l层的第j个神经元的线性系数定义为wjkl。注意,输入层是没有w参数的。

再来看看偏倚b的定义。还是以这个三层的DNN为例,第二层的第三个神经元对应的偏倚定义为b32。其中,上标2代表所在的层数,下标3代表偏倚所在的神经元的索引。同样的道理,第三个的第一个神经元的偏倚应该表示为b13。同样的,输入层是没有偏倚参数b的。

DNN前向传播算法数学原理

在上一节,我们已经介绍了DNN各层线性关系系数w,偏倚b的定义。假设我们选择的激活函数是σ(z),隐藏层和输出层的输出值为a,则对于下图的三层DNN,利用和感知机一样的思路,我们可以利用上一层的输出计算下一层的输出,也就是所谓的DNN前向传播算法。

对于第二层的的输出,我们有:

将上面的例子一般化,假设第l−1层共有m个神经元,则对于第l层的第j个神经元的输出ajl,我们有:

从上面可以看出,使用代数法一个个的表示输出比较复杂,而如果使用矩阵法则比较的简洁。假设第l−1层共有m个神经元,而第l层共有n个神经元,则第l层的线性系数w组成了一个n×m的矩阵Wl, 第l层的偏倚b组成了一个n×1的向量bl , 第l−1层的的输出a组成了一个m×1的向量al−1,第l层的的未激活前线性输出z组成了一个n×1的向量zl, 第l层的的输出a组成了一个n×1的向量al。则用矩阵法表示,第l层的输出为:

小结

有了上一节的数学推导,DNN的前向传播算法也就不难了。所谓的DNN的前向传播算法也就是利用我们的若干个权重系数矩阵W,偏倚向量b来和输入值向量x进行一系列线性运算和激活运算,从输入层开始,一层层的向后计算,一直到运算到输出层,得到输出结果为值。

输入: 总层数L,所有隐藏层和输出层对应的矩阵W,偏倚向量b,输入值向量x

输出:输出层的输出aL

1) 初始化a1=x

2) for l=2 to L, 计算:

最后的结果即为输出aL。

单独看DNN前向传播算法,似乎没有什么大用处,而且这一大堆的矩阵W,偏倚向量b对应的参数怎么获得呢?怎么得到最优的矩阵W,偏倚向量b呢?这个我们在讲DNN的反向传播算法时再讲。而理解反向传播算法的前提就是理解DNN的模型与前向传播算法。这也是我们这一篇先讲的原因。

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