今天给大家分享一下如何在资源紧张,算力较低的单片机上实现三角函数的算法。
之前发过一篇关于的文章,这个是公司平台上的一个数学运算库,里面封装了很多高效的数学运算方法。
例如在不具备浮点运算器的定点处理器使用定点运算,以前写过一篇Q格式的文章,有简单介绍过这些知识。
那么问题来了,有一个读者朋友的硬件平台无法使用,但是他要进行一些三角函数的运算,那么该如何自己动手实现呢?
下面我们来简单介绍一下整体的思路吧,因为硬件平台的资源比较紧张;
RAM比较少;
ROM比较少;
CPU处理速度比较慢;
所以这里比较常用的方法就是通过空间换时间,预先将,的值存储到数组中,需要用的时候,访问数组就可以得到具体的数据。这也就是我们经常会提到的查表法。
下面我们来详细介绍一下。
正弦表
这个正弦函数表达式是这样的,
具体如下图所示;
正弦波
首先我们来简单分析一下这个波形:
在蓝色框内是一整个周期的波形;
在红色框内是四分之一个周期的波形;
其实不难发现,我们只要表示出这四分之一个波形的数据,其余剩下的波形都可以通过换算表示出来。
这样做就大大节省了查表法所需要的空间。
下面我们来介绍一下具体如何实现;
首先我们得搞清楚一个点,就是量纲,统一用归一化的形式来做。
y的范围是 ;
x的范围是,当然,x的范围也是没问题的,下面会继续介绍;
而在实际的程序中,我们是无法这样去做的,这些数值我们期望通过整形类型去访问,所以我们要做到几点:
尽量避免使用浮点运算;
尽量避免除法;
尽量避免乘法;
所以这里有必要先了解一下Q格式,用左移和右移去代替乘法和除法,提高运算效率;
对于X轴的数据,于是可以将细分成 128 ,256,512或者 1024 等等;
这里我们先细分成1024等份,正如前面提到的,只需要选择前四分之一周期的内容即可;
打印的输出结果如下:
浮点类型的正弦表
这里我们可以简单取几个特殊点验证一下,发现整体还是可以接受的;
matlab输出的波形
下一步就是将浮点数据y转化为格式哈,
最终输出结果如下所示;
Q格式正弦表源码部分
下面这部分代码是参考的中的一个实例,下面我们会依次分析每个部分的作用,整体的代码具体如下所示;
由于输入的是格式,所以这里可以简单画个图;下面是角度从的示意图,如下所示;
角度值
这里注意,负数是以补码形式进行保存的,正数的补码等于他本身;
负数的补码是除了符号位外,其他位取反,然后加上1;
所以可以算一下 表示;
表示 ;
因为Q格式中有无符号的范围和带符号的范围,所以这里的充分利用这个的数据,并且兼容了传入参数可以是有符号或者是无符号,这里比较绕,先看下面这张图片;
有符号和无符号 对比
上图中;
左边是有符号,右边是无符号数;
两个圆形分别表示和的数值范围;
左边绿色框内的波形相对应,橙色框内的波形相对应;
这里有几点我们要注意一下,无论是有符号和无符号,他们的周期都是相同的;
有符号整数 int16 :-32768 ~ 32765 ,
无符号整数 uint16 :0 ~ 65535,
所以这两者都使用 65536个数来表示正弦的一个周期,也就是 2π。
这里是比较关键的地方,因此对于 0x8000 这个关键点,有符号和无符号所表示的数值是不同的;
有符号整数 int16 :0x8000 表示为 -32768;
无符号整数 uint16 :0x8000 表示为 32768;
因此这他们刚好相差了一个周期 65536,所以表示的正弦数值y是相同的,正如上图中蓝色箭头和所示。
内部实现
由于有符号整数 int16 的最高位是符号位,所以这里我们先把它转化成无符号整形;
前面用 类型是为了防止数据溢出,这里加上,相当于对正弦波平移了半个周期,所以在下面y和x的映射关系需要根据实际情况来修改;
因为前面提高过正弦表的四分之一是256个数据,所以整个正弦周期应该是 1024 个细分数据,那也就是2的10次,就需要 10 bit;
的数据范围是 ;
的数据范围是 ;
为了获取有效的高数据,对数据右移 ,具体如下所示;
所以,我们又可以得到以下这个数据的范围 ,
因此我们在程序中引入四个掩码,作为正弦波形落在哪个象限的标识位,这样也避免了使用除法运算,提高了效率,具体如下所示;
其中,表示 ,以此类推;
那为什么是这个映射关系呢?
0~90°不应该是从 吗?这里我们再简单解释一下;
前面有一个这样的操作,具体如下;
这里的加上,相当于加了一个,正弦波形向左移动了半个周期;因此整体的映射关系要和原始的数据对应起来,具体如下所示;
最后,既然我们已经知道波形在哪个象限了,就可以根据当前象限和我们正弦表的关系来得到新的波形,这里有中心对称,关于y轴对称,简单做一下变换就可以得到正弦值和余弦值;
总结
本文简单介绍了正余弦函数的实现,参考了ST的中算法,做了简单的分析,其中需要了解一部分Q格式进行定点运算的知识。本文可能存在错误和纰漏,请大家指出。如果大家有更好的方法,欢迎在下方讨论。
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