R语言使用Metropolis-Hastings采样算法自适应贝叶斯估计与可视化

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1）定义模型（即概率先验）。在此示例中，让我们构建一个简单的线性回归模型（对数）。

a

b

sd_e

if(sd_e

log_likelihood

先验：

epsilon

prior_a

prior_b

prior_epsilon

现在让我们模拟一些数据以进行运行测试：

x

y

2）Metro Hastings 完成所有工作。

MH(li_func=li_reg,pars=c(0,1,1),

3）您可以使用plotMH（）查看所有模型参数的后验

plot(mcmc)

绘制所有参数之间的相关性。

4）输出后验置信区间。

BCI

#              0.025    0.975

# a       -5.3345970 6.841016

# b        0.4216079 1.690075

# epsilon  3.8863393 6.660037

接下来，我想提供一种直观的方法来可视化此算法运行的情况。

主要思想是从分布中抽取样本。积分很重要，贝叶斯定理本身：

P（θ| D）= P（D |θ）P（θ）/ P（D）

其中P（D）是观察数据的无条件概率。由于这不依赖于推断的模型（θ）参数，因此P（D）是归一化常数。

因此，我们有一个非归一化的概率密度函数，我们希望通过随机抽样来估计。对于复杂的模型而言，随机抽样本身的过程通常很困难，因此，我们使用马尔可夫链来探索分布。我们需要一个链，如果运行时间足够长，它将作为目标分布的随机样本整体。我们构建的马尔可夫链的这种特性称为遍历性。Metropolis-Hastings算法是构建这种链的一种方法。

步骤：

在参数空间k_X中选择一些起点

选择一个候选点k_Y〜N（k_X，σ）。这通常称为提议分布。

移至候选点的概率为：min（π（k_Y）/π（K_X），1）

重复。

以下代码通过简单的正态目标分布演示了此过程。

###     Metropolis-Hastings 可视化                #######

k_X = seed; ##将k_X设置为种子位置

for(i in 1:iter)

{

track

k_Y = rnorm(1,k_X,prop_sd) ##候选点

## -- 绘制链的核密度估计

lines(density(track,adjust=1.5),col='red',lwd=2)

## -- 绘制链

plot(track,1:i,xlim=plot_range,main='',type='l',ylab='Trace')

## -- 绘制目标分布和提议分布

curve(dnorm(x,k_X,prop_sd),col='black',add=TRUE)

abline(v=k_X,lwd=2)

## 接受概率为a_X_Y

if (log(runif(1))

points(k_Y,0,pch=19,col='green',cex=2)

## 调整提议

if(i>100)

prop_sd=sd(track[floor(i/2):i])

该算法实现中的一个普遍问题是σ的选择。当σ接近目标分布的标准偏差时，将发生有效混合（链收敛到目标分布）。当我们不知道这个值时。我们可以允许σ根据到目前为止的链历史记录进行调整。在上面的示例中，将σ更新为链中某些先验点的标准偏差值。

输出为多页pdf，可以滚动浏览。

顶部显示了目标分布（蓝色虚线）和通过MCMC样本对目标进行的核平滑估计。第二面板显示了链的轨迹，底部显示了算法本身的步骤。

注意：请注意，前100次左右的迭代是目标分布的较差表示。在实践中，我们将“预烧”该链的前n个迭代-通常是前100-1000个。