工业机器人，在建模采集动力学参数中，怎样提升其参数辨识的价值

在动力学的前馈控制、拖动示教等柔顺控制中机器人需要获取精确的外力以平衡末端力和位置的关系中，对机器人的动力学模型的精确建模提出了很高的要求。

通过动力学建模过程构建的动力学方程难以完全描述机器人的动态性能，必须对动力学方程中的部分参数进行辨识，包括连杆运动学参数、连杆质量、质心坐标以及惯性参数等，连杆运动学参数一般由厂商给出，而其他参数与连杆的质量分布有关，无法直接得到。

根据辨识得到的动力学参数，可以建立精准的模型机器人动力学模型计算接触力，从而实现末端的柔顺控制。

目前机器人的动力学参数辨识仍处于不断发展的阶段，其原因在于动力学模型与待辨识参数的复杂性。

一般来说，机器人独立驱动的关节数越多，参数辨识过程的复杂度就越高，而且在此过程中经常会涉及到高维矩阵的求逆、QR分解等数学问题。

在线参数辨识过程中，这对计算机的运算速度与计算能力都提出了很高的要求，所以深入探讨动力学参数辨识的方法及其优化算法在实际应用中有着重要的意义。

通过建立珞石XB4工业机器人的动力学模型，并采集机器人真机在运行中的真实数据，以探究珞石XB4工业机器人的参数辨识方法，如何提升机器人参数辨识的实用价值呢？

?——【·机器人运动学和动力学模型建立·】——?

运动学模型建立：对串联型机器人结构进行建模是主要是建立起机械臂连杆与连杆之间关系的描述。

基于改进DH参数进行建模，所应用到的主要是连杆长度ai-1、连杆偏距d?、连杆扭转角ai-1与关节偏转角θi四个运动学参量，上述参数可以由厂家的工程图中得到，经建模后得到的连杆坐标系如图1所示。

改进DH参数表如表1所示：

当用牛顿-欧拉法对操作臂进行分析时，对考虑连杆质量分布的机器人关节动力学方程进行修正，引入关节的摩擦力与伺服电动机的惯量，最终得到的动力学方程为：

线性结构τf的摩擦力可以用以下形式表达：

经过惯量坐标系描述的变换后，需要辨识的单关节标准参数集可以表示为：

其中Ixxi,lyyi,Izzi表示连杆惯量相对于关节轴的惯性矩；Ixyi,Ixzirlyzi表示连杆惯量相对于关节轴的惯性积；mxi,myi,mzi表示连杆质心相对于关节轴坐标系的位移；Ji表示关节轴处伺服电机的惯量:fvifci分别表示关节轴处的粘滞摩擦系数与库伦摩擦系数。

可见对于工业机器人单个关节来说，其需要辨识的参数多达13个，珞石XB4机器人为六关节机器人，其所需要辨识的参数共有78个。

动力学方程可以转换为如下的线型形式：

其中P=[p1,Pz,…,p6]T，p?为标准参数集，可以看出P表示所有需要辨识的动力学参数，矩阵大小为13x6;W(q,q,q)为468x78的矩阵，是关于机械臂各关节位置q、速度g、加速度q的非线性函数，利用QR分解找到一组相互独立的动力学参数集合，即最小参数集。

其中PB为最小参数集，W为剔除线性相关列后的满秩回归矩阵。矩阵W(q,q,q)经QR分解后可写成如下形式：

其中Q是468x78的矩阵，R是78x78的上三角矩阵。

若R矩阵的某一对角线元素R的值为零或很接近零，则可以判断W矩阵对应列i为线性相关列，这些列对应的P中的参数是不可辨识的或与是与其他参数的线性组合。

将这些无关列整理到矩阵W2中，并将剩下的独立列向量整理到矩阵W中，可以将原回归矩阵写成如下形式：

其中P与W相对应，其中的动力学参数可以辨识且相互独立;P?则代表无法辨识或与其他参数线性相关的动力学参数。

由于W2中的列向量与W中的列向量线性相关，W中的所有列向量是独立的，则有：

易得出R2矩阵中的列与R1矩阵也有线性相关的关系：

对动力学方程进一步化简可以得到：

设P?=P1+k*P?记作最小参数集，其中的每一个参数都对关节的动力学方程有独立的影响。根据最小二乘估计，有

?——【·激励轨迹设计·】——?

为了更加准确地辨识被控对象的各项参数，一个理想的激励轨迹往往发挥着重要的作用。

在设计激励轨迹的过程中需要考虑的因素有很多，主要有采集样本数量是否能充分反映动力学性能、轨迹抗加速度冲击能力以及抗环境噪声能力等问题。

总的来说，机器人动力学参数辨识中的激励轨迹设计可以分为两个部分：激励轨迹形式的选择与激励轨迹参数的优化。

对于所研究的珞石XB4机器人来说，可以设计其运动轨迹为：

激励轨迹优化问题应该满足的约束条件为：

激励轨迹参数优化的目标函数：对于机器人激励轨迹优化问题来说已经有很多评价指标，例如基于回归矩阵的条件数、基于Fisher信息矩阵的逆的对数行列式等评价指标。

Fisher信息矩阵从参数估计的角度给出评价指标，条件数从数值计算的角度给出评价指标，取两种方法各自的优势，将二者结合到一起来设计优化目标函数。

由于Fisher信息矩阵的逆等价于模型参数误差的协方差矩阵，所以采用协方差矩阵来代替Fisher信息矩阵。

已知协方差矩阵的行列式可以用来衡量待辨识参数最大概率密度区域的体积，所以参数估计的不确定性可以用协方差矩阵行列式的值来表征。

对于本文的机器人动力学参数辨识问题来说，此处的协方差矩阵表示为Σ?1B，优化目标为最小化不确定性：

对于一个n阶非奇异矩阵A，它的条件数定义为：

对于机器人的激励轨迹来说，条件数的意义在于可以用其来评估外界扰动对惯性参数估计结果的影响。

通过最小化条件数，可以使傅里叶级数激励轨迹对于外界干扰更加稳定，优化目标函数为：

在设计激励轨迹时，既期望动力学参数估计的误差尽可能小，又期望激励轨迹对于外界干扰的稳定性较强，故可以设计优化的目标函数为：

结合所设计的优化目标函数，可以将激励轨迹的优化问题总结为：

通过Matlabfmincon函数计算激励轨迹参数，其调用格式为：

[opt_x,opt_fval]=fmincon(@Optimaltrajectory_object_fun,opt_x0,AA,bb,Aeq,beq);

激励轨迹如图2所示。

?——【·动力学参数辨识实验与验证·】——?

信号获取与滤波：在实际工业现场中，往往会存在着各种设备之间相互的电磁干扰。

工业机器人在运行过程中，通过传感器、驱动器以及控制器所采集的信号也由于设备与装备误差的影响而产生随机干噪声。

在所研究的珞石XB4工业机器人动力学实验中，机器人实际运行过程中采样得到的关节角度值的曲线比较平滑，而关节力矩值则表现出非常大的噪声。

下图3给出了机器人运行过程中采集的六个关节的原始力矩数值与滤波后力矩数值对比，从图中可以看出原始力矩数据中的高频信号例如尖峰值等经Butterworth滤波器进行平滑处理后已经被剔除掉，同时平滑处理后的力矩数值仍能够很好地保持原始数据的变化趋势。

参数辨识与结果分析在真机上运行激励轨迹采集关节角度数据与关节力矩数据时，我们使采样点的个数N=200。

将采集得到的关节角度数据与求导后的关节力矩数据代入式(5)，可以得到测量数据的最小回归矩阵(,,)，该矩阵的每一个分块矩阵对应的是每一个采样数据点所对应的最小回归矩阵，(,,)，如式(24)所示。

对应采样所得的力矩值矩阵为：

运用加权最小二乘法辨识得到最小参数集，再利用式(11)还原成78个原始参数，见表2所示。

辨识参数验证：从图4中可以看出，通过最小二乘法求得的最小参数集来建模计算关节力矩，与实际关节力矩曲线基本吻合，动力学辨识能够达到很好的效果。

为了更好地衡量辨识出的最小参数集的准确程度，需要量化建模后的力矩与真机数据采集到的力矩之间的误差。

采用平方和误差计算方法来衡量二者的差距，即：

将真机采集到的数据进行滤波后与模型计算得到的力矩根据式(20)求误差，所得到的误差为:

从相对误差曲线可以看出，该模型的计算值与实际值的误差在合理的范围内，且动态参数辨识模型较为理想，该模型具有一定的实用价值。

?——【·结语·】——?

六自由度关节型工业机器人珞石XB4的动力学参数辨识问题并进行了相关实验，主要内容包括:

利用牛顿-欧拉方法完成对机器人动力学方程的建模，并建立了一种加入电机转动惯量的关节摩擦力模型。

将连杆惯量的质心描述转换到关节轴描述，并将动力学方程线性化得到理论动力学参数集与回归矩阵。

通过QR分解方法剔除对动力学辨识没有贡献的参数，得到动力学模型的最小参数集与最小回归矩阵。

利用有限项傅里叶级数作为激励轨迹，给出了基于最小化条件数和最小化Fisher信息矩阵行列式的激励轨迹参数优化准则，并利MATLAB自带的优化器进行优化求解。

采集机器人实际运行过程中的关节角度数据和关节力矩数据，利用Butterworth滤波器对原始数据进行处理。

利用最小二乘法求解动力学参数的最小数据集，并使用测试轨迹对辨识后的动力学参数进行验证，进行关节力矩误差分析对比。