静电透镜∣2021 年国际物理奥赛理论第二题

张宏根1 宋峰2

1. 浙江省杭州学军中学；2. 南开大学物理科学学院

本题研究用于聚焦电子的静电透镜，推导出静电透镜的成像公式。以及考虑实际充电的暂态过程对静电透镜的焦距的修正。

考虑一个半径为R、总电荷量为q 的均匀带电金属环。该金属环是一个厚度为2a (2a ≪R) 的空心环面，该厚度在本题的A、B、C 和E 部分可以忽略。如图1 所示，建立一个直角坐标系，xy 平面与环面重合，z 轴垂直于环面。在A部分和B部分，可能需要使用如下公式(泰勒展开)：

(1 + x)ϵ ≈ 1 + ϵx + (1/2)ϵ (ϵ -1)x2，当| x |≪1

图1 一个半径为R的带电圆环

A.环轴上的静电势(1分)

A.1 计算环轴上z 处的静电势Φ(z) (图1 中的A点)。(0.3分)

A.2 假设z ≪R ，将静电势Φ(z) 展开到z 的最低阶。(0.4分)

A.3 一个电子(质量为m、电荷为-e)被放置在图1 中的A 点( z ≪R )。试求出作用在电子上的力。对所求出的力的表达式进行观察，确定q 的符号，以使得电子能够以振荡的形式运动。运动的电子不影响环上的电荷分布。(0.2分)

A.4 计算上题中电子振荡时对应的谐振子的角速度ω。(0.1分)

B. 环面上的静电势(1.7分)

在B部分中，我们来分析环面(z = 0)r≪R处的静电势Φ(r) (图1 中B点)。静电势Φ(r) 可以展开至r 的最低阶：Φ(r) ≈ q(α + βr2) 。

B.1 求出β的具体表达式。可能会用到前面给出的泰勒展开公式。(1.5分)

B.2 把一个电子放置在B点(如图1，r≪R )。试求出作用在电子上的力。观察电子受力的表达式，确定q 的符号，以使得电子将以简谐振动的形式运动。运动的电子不影响环上的电荷分布。(0.2分)

C.理想静电透镜的焦距：瞬时充电(2.3分)

静电透镜是一种聚焦电子的装置。让我们考虑如下结构：金属环垂直于z 轴放置，如图2 所示。有一个能够产生一维非相对论性电子波包的电子源，产生的电子的动能为E =mv2/2 (v 是电子的速度)，它们在某个可精确控制的时刻离开电子源。金属环在大部分时间都是中性的，但是在电子到环面的距离小于d/2( d ≪R )时(图2 中的阴影区域，被称作“活跃区域”)金属环的电荷变为q。在C部分假设充电和放电的过程是瞬时的，电场也瞬间“填满空间”。可以忽略磁场的影响，而且电子在z 方向的速度恒定。运动的电子不会影响环上的电荷分布。

图2 静电透镜的一个模型

C.1 确定这个透镜的焦距f，结果用B.1 中的常数β和其他已知量表达。假设f ≫d ，且假设在到达“活跃区域”之前电子波包的运动平行于z 轴且r ≪R 。q的符号使得透镜是聚焦的。(1.3分)

实际情况中，电子源被放置在z 轴上距离环中心b>f 处。考虑电子在到达“活跃区域”之前不再平行于z 轴，而是这个点源以相对于z 轴在角度γ ≪1的范围内以不同的角度发射。电子被聚焦在距离环中心距离为c的一点。

C.2 确定c，用B.1 中的常数β和其他已知量表示结果。(0.8分)

C.3 薄透镜的成像公式1/b+ 1/c= 1/f对于静电透镜是否依然成立？通过计算1/b+ 1/c来验证。(0.2分)

D.作为电容器的金属环(3分)

此前考虑的模型是理想化的，因为我们假设金属环是瞬时充电的。因为金属环同时也是一个电容为C的电容器，因此实际的充电过程并不是瞬间完成。在D这个部分，我们将要分析这个电容器的性质，也许会需要如下的积分公式。

D.1 计算金属环的电容，考虑环具有有限的宽度2a，请记住a≪R 。(2分)

当电子到达“活跃区域”，金属环与一个电压为V0的电源相连(如图3)。当电子离开“活跃区域”，金属环接地。接触点的电阻为R0，金属环本身的电阻可以被忽略。

图3 静电透镜的充电过程

D.2 确定金属环上的电荷量作为时间的函数，q(t)，画出这个函数的示意图，t=0 是电子到达环面的时刻。金属环上电荷的绝对值的最大值q0是多少？金属环的电容为C(也就是说计算时不必使用在D.1中电容的实际表达式)。(1分)

提示：图3 中电源的极性仅供参考，实际的极性应当使得透镜能够汇聚电子。

E.更加真实的透镜的焦距：非瞬时充电(2分)

在这个部分，我们将会考虑更加真实的透镜的行为。这里我们将会再次忽略金属环的宽度2a 以及假设电子在到达“活跃区域”之前是和z 轴平行的。但是金属环的充电过程不再是瞬时的。

E.1 确定透镜的焦距f。假设f/v≫R0C ，但是d/v 和R0C是一个数量级的。用B.1 中的常数β和其他已知量表示你的结果。(1.7分)

E.2 在上一问中求出的f 和在C 部分中求出的焦距非常类似，仅仅是表达式中的电荷q 被替换为了qeff。确定qeff的表达式。(0.3分)

赛题背景

静电透镜，顾名思义，是利用静电来实现类似于透镜聚焦功能的装置，类似于光线通过光学透镜实现聚焦一样。静电透镜通过带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像，被广泛应用于电子器件(如阴极射线示波管)和电子显微镜中，将样品发射的电子聚焦并引导至电子分析仪。静电透镜系统可以按照与光学透镜相同的方式设计，因此静电透镜很容易放大或会聚电子。静电透镜也可用于聚焦离子束，例如制作用于照射单个细胞的微束。

本题就是基于静电透镜而出的一道题目，所给出的模型逐层递进，涉及电磁学和光学相关知识，还需要进行一些数学运算。

本题的模型依然是十分理想化的，实际情况下电子的运动将会复杂得多，读者还可进一步地考虑电子z 方向速度的变化以及在活跃区域内r 坐标的变化，以及考虑电子的相对论效应，讨论静电透镜的焦散等等。