文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （301）-- 算法导论22.1 5题

五、有向图$G=(V,E)$的平方图是图$G^{2}=(V,E^{2})$，这里，边$(u,v)∈E^{2}$当且仅当图$G$包含一条最多由两条边构成的从$u$到$v$的路径。请给出一个有效算法来计算图$G$的平方图$G^{2}$。这里图$G$既可以以邻接链表表示，也可以以邻接矩阵表示。请分析算法的运行时间。如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

为了计算有向图$G$的平方图$G^2$，我们可以采用邻接链表或邻接矩阵的方式，但在这里我将给出使用邻接链表表示的算法，因为这种方式在处理稀疏图时通常更高效。

算法步骤

1.初始化：为$G^2$创建一个空的邻接链表表示。

2.遍历所有顶点：对于图$G$中的每个顶点$u$，执行以下步骤：

•遍历$u$的邻接顶点：对于每个邻接顶点$v$，如果$u$到$v$的边存在（即$(u, v) \in E$），则在$G^2$中添加边$(u, v)$（即使它可能已存在）。

•遍历$u$的邻接顶点的邻接顶点：对于每个邻接顶点$v$，再遍历$v$的所有邻接顶点$w$。如果$(v, w) \in E$，则在$G^2$中添加边$(u, w)$（注意检查边是否已存在以避免重复添加）。

3.优化：如果不需要处理重边或自环，可以在添加边到$G^2$之前进行检查。

运行时间分析

假设图$G$有$n$个顶点和$m$条边。

•遍历所有顶点：时间复杂度为$O(n)$。

•对每个顶点，遍历其邻接顶点：对于每个顶点，平均需要$O(d)$时间，其中$d$是该顶点的度。总时间复杂度为$O(\sum_{u \in V} d_u) = O(m)$。

•遍历邻接顶点的邻接顶点：这类似于邻接表的两次遍历，总时间复杂度也是$O(m)$，因为每个边$(u, v)$会在$u$的遍历中被访问一次，并在$v$的遍历中（作为$v$的邻接点）被再次访问。

因此，总的时间复杂度是$O(n + m^2)$，但在大多数情况下（因为图的平均度数远小于$n$），这可以近似为$O(m^2)$，特别是当图比较稠密时。

Go语言实现

下面是一个使用Go语言实现的简单版本：

package main

import"fmt"

typeGraphstruct{

vertices int

edges    map[int][]int

}

func NewGraph(vertices int)*Graph{

return&Graph{

vertices: vertices,

edges:make(map[int][]int),

}

}

func (g *Graph)AddEdge(from, to int){

g.edges[from]=append(g.edges[from], to)

}

func SquareGraph(g *Graph)*Graph{

sqG :=NewGraph(g.vertices)

for u :=0; u < g.vertices; u++{

for _, v :=range g.edges[u]{

sqG.AddEdge(u, v)// 直接边

for _, w :=range g.edges[v]{

sqG.AddEdge(u, w)// 通过v的间接边

}

}

}

return sqG

}

func main(){

g :=NewGraph(4)

g.AddEdge(0,1)

g.AddEdge(1,2)

g.AddEdge(2,3)

g.AddEdge(3,0)

sqG :=SquareGraph(g)

// 打印平方图的邻接表

for u :=0; u < sqG.vertices; u++{

fmt.Printf("Vertex %d: ", u)

for _, v :=range sqG.edges[u]{

fmt.Printf("%d ", v)

}

fmt.Println()

}

}

请注意，上述代码没有处理重边或自环的情况。在实际应用中，你可能需要添加额外的逻辑来处理这些情况。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述讯飞星火：

要计算图$G$的平方图$G^{2}$，我们可以使用Floyd-Warshall算法。Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于计算图中所有顶点对之间的最短路径。在这个问题中，我们需要稍微修改算法，以便它能够处理最多包含两条边的路径。

以下是使用邻接矩阵表示图的Go语言实现：

package main

import(

"fmt"

)

func squareGraph(graph [][]int)[][]int{

n :=len(graph)

squared :=make([][]int, n)

for i :=0; i < n; i++{

squared[i]=make([]int, n)

for j :=0; j < n; j++{

if graph[i][j]==1{

squared[i][j]=1

}else{

squared[i][j]=0

}

}

}

for k :=0; k < n; k++{

for i :=0; i < n; i++{

for j :=0; j < n; j++{

squared[i][j]+= squared[i][k]* squared[k][j]

if squared[i][j]>2{

squared[i][j]=2

}

}

}

}

return squared

}

func main(){

graph :=[][]int{

{0,1,0,0},

{0,0,1,0},

{0,0,0,1},

{1,0,0,0},

}

squared := squareGraph(graph)

for _, row :=range squared {

fmt.Println(row)

}

}

算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是顶点的数量。这是因为我们需要遍历所有顶点对的组合，并在每个组合上执行一个常数时间的操作。

360智脑：

为了计算图$G$的平方图$G^{2}$，我们可以使用广度优先搜索（BFS）算法。BFS是一种用于图形或树结构的遍历算法，它从一个节点开始，访问所有相邻节点，然后访问这些相邻节点的相邻节点，以此类推。在这个问题中，我们可以对每个节点执行BFS，并在每一步检查是否可以通过最多两条边到达一个新的节点。如果是，我们就将这个新的节点添加到平方图中。

以下是一个使用Go语言实现的算法：

package main

import"fmt"

typeGraphstruct{

vertices int

edges    [][]int

}

func NewGraph(vertices int)*Graph{

return&Graph{

vertices: vertices,

edges:make([][]int, vertices),

}

}

func (g *Graph)AddEdge(u, v int){

g.edges[u]=append(g.edges[u], v)

}

func (g *Graph)Square()*Graph{

square :=NewGraph(g.vertices)

for u :=0; u < g.vertices; u++{

queue :=[]int{u}

visited :=make([]bool, g.vertices)

forlen(queue)>0{

current := queue[0]

queue = queue[1:]

for _, v :=range g.edges[current]{

if!visited[v]{

visited[v]=true

queue =append(queue, v)

// Check if there is a path of at most two edges from u to v

if current != u {

square.AddEdge(u, v)

}

}

}

}

}

return square

}

func (g *Graph)Print(){

for u, neighbors :=range g.edges {

fmt.Printf("%d -> ", u)

for _, v :=range neighbors {

fmt.Printf("%d ", v)

}

fmt.Println()

}

}

func main(){

g :=NewGraph(5)

g.AddEdge(0,1)

g.AddEdge(0,2)

g.AddEdge(1,2)

g.AddEdge(2,0)

g.AddEdge(2,3)

g.AddEdge(3,3)

fmt.Println("Original graph:")

g.Print()

square := g.Square()

fmt.Println("\nSquare graph:")

square.Print()

}

这个算法的时间复杂度是$O(V*(V+E))$，其中$V$是顶点数，$E$是边数。这是因为我们对每个顶点都执行了一次BFS，而每次BFS的时间复杂度是$O(V+E)$。在最坏的情况下，每个顶点都会连接到其他所有顶点，所以总的时间复杂度是$O(V^2)$。如果图是以邻接矩阵表示的，那么时间复杂度仍然是$O(V^2)$，因为我们需要检查每个顶点的所有可能的邻居。

天工：

为了计算图$G$的平方图$G^{2}$，我们可以采用广度优先搜索（BFS）算法。BFS算法可以从一个起始节点开始，探索其所有可达节点，并在探索过程中记录到达每个节点的最短路径长度。在这个问题中，我们需要探索从每个节点出发最多经过两条边的可达节点，因此我们可以在BFS中设置一个计数器来限制路径长度不超过2。

以下是用Go语言实现的算法：

package main

import"fmt"

typeGraphstruct{

vertices int

adjList  [][]int

}

func NewGraph(vertices int)*Graph{

return&Graph{

vertices: vertices,

adjList:make([][]int, vertices),

}

}

func (g *Graph)AddEdge(u, v int){

g.adjList[u]=append(g.adjList[u], v)

}

func (g *Graph)SquareGraph(){

for i :=0; i < g.vertices; i++{

queue :=[]int{i}

visited :=make([]bool, g.vertices)

pathLength :=make([]int, g.vertices)

forlen(queue)>0{

current := queue[0]

queue = queue[1:]

if!visited[current]{

visited[current]=true

for _, neighbor :=range g.adjList[current]{

if pathLength[neighbor]==0|| pathLength[current]+1< pathLength[neighbor]{

pathLength[neighbor]= pathLength[current]+1

if pathLength[neighbor]<=2{

fmt.Printf("(%d, %d)\n", i, neighbor)

}

}

if pathLength[neighbor]==1&& pathLength[current]<2{

for _, nextNeighbor :=range g.adjList[neighbor]{

if pathLength[nextNeighbor]==0|| pathLength[current]+1< pathLength[nextNeighbor]{

pathLength[nextNeighbor]= pathLength[current]+1

if pathLength[nextNeighbor]<=2{

fmt.Printf("(%d, %d)\n", i, nextNeighbor)

}

}

}

}

}

for _, neighbor :=range g.adjList[current]{

if!visited[neighbor]{

queue =append(queue, neighbor)

}

}

}

}

}

}

func main(){

g :=NewGraph(5)

g.AddEdge(0,1)

g.AddEdge(0,3)

g.AddEdge(1,2)

g.AddEdge(2,3)

g.AddEdge(3,4)

g.SquareGraph()

}

这个算法的运行时间主要取决于BFS的遍历过程。在最坏的情况下，我们需要遍历图中所有的节点和边。因此，如果图$G$有$V$个节点和$E$条边，那么算法的总时间复杂度将是$O(V*(V+E))$，因为对于每个节点，我们可能需要遍历它的所有邻居以及邻居的邻居。

请注意，这个实现假设输入图是无向图，并且没有自环或重复边。如果图是有向的或有自环，算法需要相应地调整。此外，输出的边集$E^{2}$并不是一个图的表示，而是一个边的集合，用于说明哪些节点之间可以通过最多两条边相连。如果需要构建实际的平方图，可以将这些边添加到一个新的图结构中。

chatgpt：

要计算图G的平方图G^2，可以使用以下算法：

1. 初始化平方图G^2为空图。

2. 对于图G中的每个顶点v：

• 对于u的每个邻居w：

• 如果存在边(u, w)，则将边(v, w)添加到平方图G^2中。

• 对于v的每个邻居u：

3. 返回平方图G^2。

该算法的运行时间取决于输入图G的表示形式。如果以邻接链表表示，那么需要遍历所有顶点和它们的邻居，并检查是否存在路径。因此，时间复杂度为O(|V| * |E| * |E|)，其中|V|是顶点数目，|E|是边数目。

如果以邻接矩阵表示，需要遍历所有顶点，并在矩阵中进行相应操作来判断是否存在路径。因此，时间复杂度为O(|V|^3)，其中|V|是顶点数目。

下面是一个用Go语言实现该算法的示例代码：

package main

import(

"fmt"

)

func squareGraph(G [][]bool)[][]bool{

V :=len(G)

G2 :=make([][]bool, V)

for i :=range G {

G2[i]=make([]bool, V)

}

for v :=0; v < V; v++{

for u :=0; u < V; u++{

if G[v][u]{

for w :=0; w < V; w++{

if G[u][w]{

G2[v][w]=true

}

}

}

}

}

return G2

}

func main(){

G :=[][]bool{

{false,true,false,true},

{false,false,true,false},

{true,false,false,true},

{false,false,false,false},

}

G2 := squareGraph(G)

fmt.Println("Graph G^2:")

for _, row :=range G2 {

fmt.Println(row)

}

}

这个代码示例中，我们假设图G用邻接矩阵表示，其中true表示两个顶点之间存在边。函数squareGraph实现了计算平方图G^2的逻辑。

希望对你有所帮助！

kimi：

计算有向图的平方图可以通过以下步骤实现：

1.初始化：创建一个新的图G^2，其顶点集与原图G相同，边集为空。

2.遍历顶点：对于图G中的每个顶点u，执行以下步骤。

3.遍历邻接顶点：对于u的每个邻接顶点v，执行以下步骤。

4.遍历v的邻接顶点：对于v的每个邻接顶点w，如果w不是u，则在G^2中添加一条从u到w的边。

5.返回结果：完成上述步骤后，G^2即为G的平方图。

算法分析

•时间复杂度：如果图G有n个顶点和m条边，那么算法的时间复杂度为O(n * m)。这是因为我们需要对每个顶点的每个邻接顶点进行遍历，并且对于每个邻接顶点，我们还需要遍历其邻接顶点。

•空间复杂度：取决于存储边集E^2所需的空间，最坏情况下，如果G是完全图，则空间复杂度为O(n^2)。

Go语言实现

以下是使用Go语言实现的代码示例：

package main

import"fmt"

// 定义图的顶点和边

typeGraphstruct{

adjList [][]int// 邻接链表表示

n       int// 顶点数量

}

// 创建图

func NewGraph(n int)*Graph{

return&Graph{

adjList:make([][]int, n),

n:       n,

}

}

// 添加边

func (g *Graph)AddEdge(u, v int){

g.adjList[u]=append(g.adjList[u], v)

}

// 计算平方图

func (g *Graph)SquareGraph()*Graph{

square :=NewGraph(g.n)

for u :=0; u < g.n; u++{

for _, v :=range g.adjList[u]{

for _, w :=range g.adjList[v]{

if u != w {

square.AddEdge(u, w)

}

}

}

}

return square

}

// 打印图

func (g *Graph)Print(){

for u :=0; u < g.n; u++{

fmt.Printf("Vertex %d: ", u)

for _, v :=range g.adjList[u]{

fmt.Printf("%d ", v)

}

fmt.Println()

}

}

func main(){

// 示例：创建一个图并计算其平方图

g :=NewGraph(5)

g.AddEdge(0,1)

g.AddEdge(0,2)

g.AddEdge(1,3)

g.AddEdge(2,3)

g.AddEdge(3,4)

fmt.Println("Original Graph:")

g.Print()

squareGraph := g.SquareGraph()

fmt.Println("Square Graph:")

squareGraph.Print()

}

请注意，这个实现假设图是无向的，因为Go语言的切片是可变长的，这使得邻接链表的实现变得简单。如果图是有向的，那么在添加边时需要确保只添加单向的边。此外，上述代码没有进行错误检查，实际使用时可能需要添加相应的逻辑。

混元：

为了计算有向图$G=(V,E)$的平方图$G^{2}=(V,E^{2})$，我们可以使用广度优先搜索（BFS）或深度优先搜索（DFS）的方法来找出所有最多由两条边构成的从$u$到$v$的路径。在这里，我将提供一个基于邻接表表示的算法，并使用BFS来实现。

算法步骤

1. 初始化一个空的邻接表E2来存储平方图的边。

2. 遍历原图$G$的每个节点$u$。

3. 对于每个节点$u$，使用BFS搜索所有从$u$出发到达其他节点的路径，最多只考虑两条边。

4. 在BFS过程中，记录每个节点的邻居节点，并在找到两条边的路径时更新E2。

5. 完成BFS后，将所有找到的边添加到E2中。

6. 返回平方图G2。

时间复杂度分析

• BFS的时间复杂度通常是$O(|V|+|E|)$，其中$|V|$是顶点数，$|E|$是边数。

• 但是，由于我们需要检查每条边是否参与形成至多两边的路径，时间复杂度可能会更高。在最坏的情况下，我们可能需要检查每条边两次（一次作为路径的第一条边，一次作为第二条边），这会导致时间复杂度为$O(|V||E|)$。

Go语言实现

package main

import(

"fmt"

)

// AdjacencyList 表示图的邻接表

typeAdjacencyListmap[int][]int

// squareGraph 计算图的平方图

func squareGraph(graph AdjacencyList)AdjacencyList{

E2 :=make(AdjacencyList)// 初始化平方图的邻接表

visited :=make(map[int]bool)// 用于BFS的访问标记

var bfs func(u int, depth int)

bfs =func(u int, depth int){

if depth >1{

return

}

visited[u]=true

for _, v :=range graph[u]{

if!visited[v]{

bfs(v, depth+1)

if _, exists := E2[u];!exists {

E2[u]=[]int{}

}

E2[u]=append(E2[u], v)

}

}

}

for u :=range graph {

if!visited[u]{

bfs(u,0)

}

}

return E2

}

func main(){

// 示例图的邻接表

graph :=AdjacencyList{

0:{1},

1:{2},

2:{0,3},

3:{3},

}

// 计算平方图

square := squareGraph(graph)

// 打印平方图的邻接表

for u, neighbors :=range square {

fmt.Printf("%d -> %v\n", u, neighbors)

}

}

这段代码定义了一个AdjacencyList类型来表示图的邻接表，并实现了一个squareGraph函数来计算平方图。在main函数中，我们创建了一个示例图的邻接表，并调用squareGraph函数来计算其平方图，然后打印结果。

请注意，这个算法假设图中没有自环和重边。如果图中存在自环或重边，算法需要进行相应的调整来处理这些情况。