没有傅里叶变换的世界，你造吗？

通识科学|图像处理

关键词：傅里叶变换 降噪 压缩 传输

好不容易找到一个座位坐下自习，旁边同学一直在碎碎念背单词。

辛苦了一天晚上终于可以好好休息了，可是寝室室友的打呼声交杂着磨牙声久久不能“离开”。

KTV里唱歌正high，一个重要的电话打来，你不得不接。

这些场景是不是很熟悉呢？面对这样的场景，你是不是很想要有悟空一筋斗十万八千里的本领，瞬间移动到一个安静的环境?

这也就想想！

那有没有什么“神器”可以达到去除周围噪声的功能呢？

唉，别说还真有，这个神器就是——傅里叶变换。

什么是傅里叶变换

傅里叶变换由法国数学家傅里叶最早提出。

傅里叶到底有多厉害呢？

恩格斯把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔的辩证法相结合，他曾说：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗。

由此，可看出傅里叶在数学上的研究成果非同一般。

傅里叶指出对于一个给定的函数，它总能用不同频率w的正弦和余弦函数的加权和来表示，这个加权和的权函数记为P(w)。这就是傅里叶变换的理论基础。（权，即系数，加权，即乘以系数。一个简单的例子，期末成绩由20%平时成绩、50%的期末考试成绩、30%的期中考试成绩构成，就是一种加权和的运算。）

绿色线就是前两个图加权后的结果啦

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这种关系类似于棱镜可以把太阳光分解成不同颜色的光谱，也可以把五颜六色的光谱重新合成，并还原成光线。

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“神器”如何发挥作用

傅里叶变换是如何去除噪声的？

同傅里叶变换的理论一样，所有的声音都由一定的频谱和能量组成,如果找到一种声音,其频谱与所要消除的噪声完全一样,而相位刚好相反(相差180°),再通过两者的反相叠加,理论上就可以将这噪声完全抵消掉。降噪耳机也就是这样来的……

安置于耳机内的微型麦克风采集耳朵能听到的环境中的中低频噪声，将噪声信号传至降噪电路，降噪电路进行实时运算，在降噪电路处理完成后，产生的信号通过扬声器发生与噪声相位相反、振幅相同的声波。最后，在耳机播放音乐的同时加入和外界噪声“相反”的声波,从而将噪声抵消。

生活中的傅里叶变换

降噪也只是“神器”傅里叶变换众多运用中的一个。

基于傅里叶变换的理论基础，还有了信号的压缩、传输。

一个常见的例子是：在网上听音乐，无论是在线还是本地音乐都需要傅里叶变换公式。

音频制作后，需要压缩传输，如果把录制时所有的音频都上传会因为文件大而传输慢，但实际上我们的下载或在线听歌速度很快……

这就是傅里叶变换在发挥神力，它将人几乎察觉不到的和高于人听觉上限的频率部分去除，从而达到节省存储空间的目的。

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把整首歌曲分成成千上万个小部分，再从中截去不重要的频率，留下重要的频率，最后被耳朵听到的音轨里只剩下那些被留下来的最重要的频率（音调）。这样处理过后，文件的大小只有原始文件的十分之一，而我们也很难分辨压缩后的音频和原始音频的区别，这样既保证了音质又有利于传输。

位图中分为很多像素点，每个像素点都具有独立的色彩和位置属性，每一个像素点经过傅里叶变换，将JPG文件中高频部分留下来，也就是一张图片中对比强烈、色彩鲜明的那些细节。大部分人眼睛都不能分辨出色彩中很细微的变化，所以即使丢弃一部分也是很难察觉的。图片文件压缩过程就是低频率部分丢失的过程。

所以JPG是一种有损压缩。显然，这样的坏处是：由于位图中像素独立，所以压缩之后，相邻的像素之间的差别会比较大，出现斑驳的感觉。

斑驳感 图片来源于网络

虽然傅里叶变换这个名词听起来是陌生的，但是，生活中听音乐、浏览网页图片、降噪耳机都离不开它。

然而傅里叶变换的运用，绝不限于此！

经傅里叶变换处理的图片

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它不仅可以进行图像的压缩，在图像处理的广阔天地里，图像的去噪、增强以及图像特征提取都有傅里叶变换在发挥神力。

深入了解傅里叶变换，请关注我们后续的文章！

参考文献

[1]http://gizmodo.com/digital-music-couldnt-exist-without-the-fourier-transfo-1699155287

[2] （美）博格斯（Boggess，A），（美），马科维奇（Narcowich,F.J.）小波与傅里叶分析基础：（第二版）；芮国胜，康建译.北京:电子工业出版社，2012.02

[3]韩国民,李世杰.浅谈主动降噪耳机技术[J].数字技术与应用,2014,(1):215-215.