机器学习从入门到XX（三）：分类器和逻辑回归

分类问题

问题的一种实现方式是，使用，对于所有的预测结果，以某个值作为分界。比如小于0.5意味着0，大于0.5意味着1。然而，这种方法不够好，因为分类问题并不能用线性方程表示。

逻辑回归

假设函数

为了推导分类问题的假设函数。我们可以先忽略y其实是离散值这个事实，尝试使用线性回归模型来预测y。所不同的是，我们试图将y限制在如下范围：

决策边界

观察上面公式，不难发现

是一条将y分割成两部分的线，一边是0，一边是1。决策边界由假设函数决定。

例如：

如上图，由

再比如：

观察上图的假设函数，不难发现这是个半径为1的圆形组成的决策边界，圆内部的(X1,X2)将使得y=0，反之，圆外部的(x1,x2)将使得y=1。

因此，假设函数形成了决策边界，不同的输入被假设函数落入不同的区域，从而得到分类的结果。所以，分类问题也是回归问题，只不过回归的结果是一组离散的值，并且我们采用上面的logistic函数来实现，因此，这种回归方法称为逻辑回归(logistic regression)。

代价函数

与线性回归一样，为了得到最优的假设函数，我需要先定义代价函数来衡量分类器的精度。但是我们不能直接使用线性回归中的代价函数，因为这会产生很多局部最优解，从而难以得到全局最优解，我们称这种函数为non-convex函数（convex这个术语在中文翻译中可能歧义，所以这里不做翻译）。下图展示了non-convex和convex的区别：

针对逻辑回归问题，定义如下的代价函数：

通过这样代价函数设计，我们可以保证代价函数是函数。

逻辑回归梯度的下降

上一节，我们定义了逻辑回归的代价函数，但是这个函数被分成了两部分：

为了方便进行算法设计，需要将两部分合二为一：

其他算法

，，算法可以用来代替梯度下降算法，因为这些算法在寻找最优的过程中往往更高效和精确。我们无需自己编写这些算法实现，而是直接使用现成的库，因为这些库在实现上已经做过高度优化和大量测试了。octave也支持这些算法。

从中我们发现，在使用时，我们无需手动设定学习速率参数。

下面是一个例子：

多级分类

上面我们讨论的分类问题最终的预测结果非0即1，也就是说，只有两种分类可能。在许多实际的问题中，分类结果有多种可能。例如：

将邮件分为工作、朋友、家庭等类

将天气分为晴天、阴天、雨天、下雪天

由于，我们可以把问题分割成个二值分类问题，每个二值分类问题计算当前预测的y属于其中一个分类的概率。

这种方式也叫，例如下面一个3级分类问题：

首先可以创建一个二值分类器，计算样本为三角形和非三角形的概率；然后创建一个二值分类器，计算样本为长方形和非长方形的概率；然后创建一个二值分类器，计算样本为叉和非叉的概率；最后将这三个分类其中概率最大的作为结果。每次我们考察其中一个分类，跟其他分类的概率，从而把多级问题转化为多个二值化分类器。

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