数形结合，浅谈几何群论

自从中学时代起，老师们就强调数形结合的重要性。数形结合的思想一直贯穿数学发展的历史，并且在现代数学的低维拓扑理论中再度大放异彩！

在过去数十年间，

维流形的拓扑一直是数学研究的主流方向。瑟斯顿提出了一系列关于

-流形的猜想，指引了这个领域的发展。其中最为基本的是几何化猜想：我们用球面和拓扑环面切割

-流形，得到无法进一步分解的素流形（prime

-manifold），与曲面单值化定理类似，所有的素

-流形可以配备

种标准几何。几何化猜想的最终证明所依赖的思想和工具来自丘成桐先生创立的几何分析学派，即用微分方程的手法来解决几何问题。Hamilton发明了里奇流方法，Perelman用里奇流证明了几何化猜想。瑟斯顿所有猜想中最后被证明的两个分别是虚拟哈肯（virtual Haken）猜想和虚拟纤维化（virtual fiberation）猜想，这里虚拟的意思是有限重覆盖。这两个猜想的最终证明都是基于几何群论的方法，而几何群论则完美地体现了数形结合的思想。

虚拟哈肯猜想

瑟斯顿提出的虚拟哈肯猜想如下：如果

是一个闭的双曲3-流形，那么存在

的一个有限重覆盖

，

包含一张嵌入的不可压缩曲面

，

，这里

是曲面的亏格，

。这里涉及到几个拓扑概念，直观解释如下。如果空间

覆盖

，其投影映射为

，覆盖重数为

，那么对于任意点

，其原像集合为

，并且存在邻域

, 其原像为

，投影映射的限制

是拓扑同胚。映射

是浸入（immersion），如果对一切

，存在邻域

，限制映射

是拓扑同胚，但是整体上像集

可能出现自相交。如果

整体上是单射，那么浸入成为嵌入（embedding）。浸入

的像不可压缩（imcompressible），是说如果曲面上有一条环路

，如果

在

上无法通伦变换缩成一个点，那么

在

上也无法通伦变换缩成一个点。（如果用代数拓扑的语言来说，就是基本群间的同态

是单射）。我们学校的Kahn和Markovic很早就证明了双曲

-流形内部有很多浸入的不可压缩曲面，可以任意接近全测地子流形。因此问题归结为如何找到

-流形的有限重覆盖，使得浸入的曲面提升为嵌入的曲面。

图1. 直观解释虚拟哈肯猜想中浸入到嵌入的提升。

图1直观描述了浸入到嵌入的提升。红色的圆周

通过

浸入到双曲曲面

内，

有自相交点，构成红色的8字形。我们将曲面

沿着绿色和棕色环路切开，复制两个拷贝，然后将绿色和棕色边界交叉粘和，得到曲面

的双重覆盖曲面

，投影映射为

。浸入

被提升为嵌入

，

。这里，

中红色和蓝色环路都是

中的红色8字形的提升，都是嵌入。如果将红色的环路

换成高亏格曲面，双曲曲面

换成双曲

-流形，那么图1描述的就是虚拟哈肯猜想。

浸入到嵌入的提升可以由代数语言来描述，因此虚拟哈肯猜想可以通过代数方法来解释。

从形到数，代数拓扑

经典的代数拓扑是将“形”转换成“数”，用代数来理解拓扑。给定拓扑空间

，我们为其定义多种代数群或者环，例如同调群、通伦群，通过分析这些群的代数结构、代数性质，我们可以探测

的拓扑信息。

最为常见的是基本群（fundamental group）

，这里

是固定的基点。连续映射

被称为是路径。如果

的起点和终点重合，

，那么

被称为是环路。如果

通过同伦形变能够变换成

，那么

和

同伦等价。两个环路的乘积

定义成首尾衔接。如此，所有环路的同伦类构成了

的基本群。对于双曲3-流形

而言，其拓扑信息都反映在基本群

中，Mostow刚性定理断言，两个双曲3-流形同伦等价（基本群同构），则它们等距。

一般的有限生成群可以用所谓的“词群”来描述。群的生成元是一些字母

，字母和字母逆的有限序列组成一个词

，词的首尾衔接构成乘法，空词是单位元。同时有一些词

, 被称为是关系。两个词

,

被称为等价，如果

通过有限步插入或者删除关系词

变换成

。所有词的等价类构成的群被称为是词群，记为

如果没有关系词，则

被称为是自由群（free group）。

很多拓扑概念，都可以翻译成相应的代数概念。假如

是基本群的子群，那么覆盖空间

，满足

(直至同构);反之，给定连通的覆盖空间

，

，

，那么

是

的一个子群

。如果

是正规子群，

，即对于一切元素

，

,那么对应的覆盖

是伽罗华覆盖。覆盖空间的自同胚变换

满足

被称为是甲板变换(Deck Transformation), 所有的甲板变换构成甲板变换群。伽罗华覆盖的甲板变换群等于商群

。由

生成陪集（coset）的个数被称为是

的指标（index），记为

。如果

的指标有限，则其对应的覆盖是有限重覆盖，反之则为无限重覆盖。

从浸入到嵌入的提升可以用子群的可分性概念来描述。子群

是可分的（separable），如果对于一切

，存在有限指标的子群

，包含

但是不包含

, 即

但是

。Peter Scott证明如果曲面的子群

在

中可分，那么

虚拟哈肯。

图2. 子群可分性与虚拟哈肯的直观解释。

图2直观解释了为什么子群可分性等价于虚拟哈肯性。浸入

将低维流形

映入到高维流形

中，像

有自相交点

。过自相交点

存在一条绿色环路

，

不是环路，因此

假设对应子群

的覆盖空间是

，那么

, 元素

不在

内，因此环路

提升到

内成为非封闭的路径。但是指标

为无穷，因此

无穷重覆盖

。如果

可分，则存在有限指标的子群

包含

，不包含

。

是对应

的有限重覆盖空间，绿色的

提升到

中成为路径。由

的任意性，

在

中的像不再自相交，

嵌入在

中。

可以证明Kahn和Markovic找到的曲面对应的子群是拟凸的（quasi-convex），因此，虚拟哈肯猜想的证明归结为如何证明双曲

-流形基本群的拟凸子群是可分的。由此，我们将拓扑问题（形）转化为代数问题（数）。

从数到形，几何群论

双曲

-流形

的所有拓扑信息都隐藏在基本群

中，但是通过纯代数方法来发掘基本群的内在结构依然是极其困难的。几何群论的思想是为抽象群

找到一个拓扑空间

（复形 complex），使得

的基本群等于

，通过用组合的方法来分析

，从而得到

的代数性质。本来我们希望理解双曲

-流形

的拓扑信息，我们将其转换为抽象群

的代数信息，然后又构造了复形

，通过

的拓扑（组合）信息来理解

的代数信息，那么，我们是否又回到了原始出发点，一切都徒劳无功呢？这正是问题的关键所在：复形

只和

通伦等价（而非同胚等价），结构简单很多，也非常容易理解，从而极大地简化了问题。这样我们通过形（

-流形

）变成了数(基本群

)又通过数（抽象群

）回到了形（复形

），从而达到了否定之否定，螺旋上升。

图3. 有限生成自由群对应的复形。

原始的想法起源于1982年Stalling关于自由群的研究，他发明的Stalling折叠已经成为几何群论中的经典算法。我们考察最为简单的二元自由群

，即所有由两个字母生成的有限长度词构成的群。我们构造一个图(Graph)来表达

，双叶玫瑰

，它只有一个顶点

为基点，每个字母（生成元）对应一个花瓣，即起止于基点的定向环路，

和

，如图3右帧所示。任意一个词都代表玫瑰中的一条环路，反之依然。例如词

对应着环路如下：我们从基点出发，绕着

正向走两圈，再沿着

逆向走一圈，回到原点。给定子群

, 我们来构造Stalling图

如下：

有一个红色的基点，每个生成词对应一个花瓣，每个花瓣是一条环路，由定向弧首尾衔接而成，每条定向弧有一个字符，对应着

的生成元

或者

。例如花瓣环路

由3段定向弧组成，附带的字符为

，并且a弧的定向与环路的定向相反。定向弧之间，添加黑色顶点。我们再构造映射

，红色基点映到红色基点，黑色顶点也映射到红色基点，每段带字符的定向弧，映射到带有同样字符的花瓣。那么

就是

到

的包含同态。但是，

是单射而

并不是单射，例如

从红色基点出发，有

条定向弧都带有标记

，它们都映射到

的

花瓣。

图4. Stalling折叠。

如图4所示，图

可以通过Stalling折叠方法进行化简，使得简化后的图到

的映射成为单射。我们可以从简化的Stalling图上用图论的方法得到关于群

的很多信息。例如，我们来计算

的秩(rank)，即最少生成元的个数。构造

的生成树

，

，

包含唯一的环路

，那么这些环路构成

的基底，即

的生成元。我们看到

的生成元为

，

的秩为

。我们说

是全拓扑度，如果对于每个顶点

，

的每个生成元

，都有一条进入

的定向弧和一条离开

的定向弧对应着

。如果

是全拓扑度的，那么

是

的覆盖空间，覆盖重数等于

的顶点个数，即

。如果

不是全拓扑度的，那么

具有无穷指标

。

图5. 典范完备化，构造有限重的覆盖空间。

图5显示了另外一个例子。右侧显示了自由群

的Stalling图，中间是某个子群

的Stalling图

，右侧箭头代表单射

，对应着包含同态

。

并非是全拓扑度的，因此

并不是

的覆盖空间。通过所谓的典范完备化操作，我们可以为

添加一些边，使之成为全拓扑度，得到一个有限指标的覆盖空间

，

。对于

的每个花瓣

，我们计算

的原像

，考察每个连通分支，如果连通分支是一条环路，什么都不做；如果连通分支是一条弧，则添加一条从终点指向起点的定向弧，带有标记

；如果连通分支是一个顶点，则添加一条环路，，带有标记

。图4左帧显示了典范完备化的结果，红色的边为添加的边。那么

是

的有限重覆盖。

由此，我们得到了著名的Marshall Hall定理：自由群的有限生成子群是可分的。更为具体的，令

,

是自由群

的元素，

是

的子群，其生成元为

，假设

。那么存在有限指标子群

，使得

,

，

, 并且

基底的子集构成

的基底。我们构造

的Stalling图

，用Stalling折叠进行简化。我们在

添加路径代表

，

，然后用正则完备化将其转换成

，那么

是有限重的覆盖空间，包含

，

，但是不包含

。另外，

的生成树

也是

的生成树，

的生成元也是

的生成元。

综上所述，几何群论的方法就是为抽象群

及其子群

构造拓扑空间

和

，然后用Stalling折叠方法简化

，再用典范完备化得到有限重覆盖空间

。本质上是用组合方法来证明代数性质，例如子群的可分性。

虚拟哈肯猜想证明的思路

图6. 立方复形与超平面（左侧）；Salveti 复形（右侧）。

虚拟哈肯猜想的证明也是依循这一途径。Wise给出了证明的纲领，经过很多数学家数十年的艰苦努力，最终由Agol完成证明。在这个框架下，Stalling图都被推广成所谓的立方复形（cube complex）。如图6所示，所谓立方复形就是有限个不同维度的立方（

）粘贴而成的复形。可以看成是在图（graph）上粘贴一些正方形，立方体等等。在虚拟哈肯猜想证明的框架中，曲面

由四边形网格来表示，双曲

-流形

由六面体网格来表示。同时这些剖分需要排除病态情形，被称为是特殊（special）立方复形。特殊立方复形可以保证它们之间的映射比较规则，即所谓的局部等距(local isometry),例如浸入

被表示为立方复形间的局部等距。

图7. Wise提出的虚拟哈肯猜想证明的纲领。

如图7所示，Wise用低维复形来解释证明的思路：复形

浸入到平方复形

中，

，

中每条有向边上都有不同风格的箭头，既表示方向也表示标识符号；

中的一条边映到

中带有同样风格箭头的边，并且定向保持一致。我们看到

将

中红色的两个顶点映射到

中红色的一个顶点，因此

不是嵌入，而是浸入。我们希望构造

的一个有限重的覆盖，使得

嵌入在其中，图中左上角的四方复形

就是答案。构造过程如下：标准立方体

中有

个子立方

,将某个坐标固定成

所得的截面。这些截面构成的子立方复形被称为是一个超平面（hyperplane）。首先我们计算

的所有超平面（hyperplane）。这些超平面构成所谓的超平面复形

，每个顶点代表一张超平面，每条边代表两张超平面相交。

代表了一个直角Artin群（Right Angled Artin Group）

：

中的每一个顶点对应着

的一个生成元，

中的每一条边

对应着

的一个关系

。构造

的Salveti复形

，Salveti复形的基本群等于

,

。如图6右侧所示，

只有一个顶点，每条环路都代表

中的一个顶点，（

中的一张超平面）；

中的一个

-完全子图(

-clique,

中的一个

-立方）对应着

中的一个

-立方。我们构造从

到

的局部等距映射

，

将

的所有顶点都映射到

的唯一顶点；

中的一条边

与超平面

横截相交，

对应

中的一条花瓣

，

将

映射到

；

中的

-立方

中有

个超平面相交于一点，设这些超平面为

，

中有一个

-立方

粘贴在花瓣

之上，

将

映射到

上。如果映射

和

的复合

是局部等距，那么我们用Stalling折叠和典范完备化可以构造

的有限重覆盖

，使得

嵌入在

之中。

给定局部等距

和

，我们构造立方复形

和局部等距

和

，使得上图可交换，如此得到范畴理论中的拉回图（pullback diagram）。由拉回图理论，我们得到

是

和

的纤维积（fiber product）

它的基本群是两个因子基本群的交集

由构造方法，

嵌入在

中，

；同时

有限重覆盖

。

在虚拟哈肯猜想的证明中，

是双曲

-流形，

是Kahn-Markovic发现的不可压缩的浸入曲面，

是双曲3-流形的有限重覆盖，将浸入曲面展开成嵌入曲面。这里

，

都表示成为立方复形，即四边形网格和六面体网格的推广。这些立方复形是特殊的，即排除病态情形。 在几何群论中，双曲

-流形

和曲面

并不预先给定，需要由抽象的群

来构造。这时，Sageev用

的Caley-图来取代

，Galey-图与

粗糙等距；用拟凸子群来取代

，依然可以构造通伦等价的立方复形。立方复形中的超平面相交关系保留了

-流形内部浸入曲面的相交关系，RAAG群与自由群

类似，其中子群的可分性保证了有限重覆盖的存在性。

小结

我们看到代数拓扑从“形”到“数”，将拓扑空间用基本群来描述，拓扑性质被翻译成代数性质；几何群论从“数”到“形”，将抽象群用立方复形来描述，将代数性质翻译成组合特性，从而可以用算法来验证。数形结合的思想，解决了瑟斯顿

-流形拓扑理论中的最后猜想。数学再次经历了否定之否定，螺旋上升的历史规律。几何群论必将为工程应用带来巨大的飞跃！

【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。