数据结构与算法(4)——优先队列和堆

前言:题图无关,接下来开始简单学习学习优先队列和堆的相关数据结构的知识;

前序文章:

数据结构与算法(1)——数组与链表(https://www.jianshu.com/p/7b93b3570875)

数据结构与算法(2)——栈和队列(https://www.jianshu.com/p/5087c751cb42)

数据结构与算法(3)——树(二叉、二叉搜索树)(https://www.jianshu.com/p/4ef1f50d45b5)

什么是优先队列?

听这个名字就能知道,优先队列也是一种队列,只不过不同的是,优先队列的出队顺序是按照优先级来的;在有些情况下,可能需要找到元素集合中的最小或者最大元素,可以利用优先队列ADT来完成操作,优先队列ADT是一种数据结构,它支持插入和删除最小值操作(返回并删除最小元素)或删除最大值操作(返回并删除最大元素);

这些操作等价于队列的和操作,区别在于,对于优先队列,元素进入队列的顺序可能与其被操作的顺序不同,作业调度是优先队列的一个应用实例,它根据优先级的高低而不是先到先服务的方式来进行调度;

如果最小键值元素拥有最高的优先级,那么这种优先队列叫作升序优先队列(即总是先删除最小的元素),类似的,如果最大键值元素拥有最高的优先级,那么这种优先队列叫作降序优先队列(即总是先删除最大的元素);由于这两种类型时对称的,所以只需要关注其中一种,如升序优先队列;

优先队列ADT

下面操作组成了优先队列的一个ADT;

1.优先队列的主要操作

优先队列是元素的容器,每个元素有一个相关的键值;

:插入键值为key的数据到优先队列中,元素以其key进行排序;

:删除并返回最小/最大键值的元素;

:返回最小/最大剑指的元素,但不删除它;

2.优先队列的辅助操作

:返回优先队列中键值为第k个最小/最大的元素;

:返回优先队列中的元素个数;

:基于键值的优先级将优先队列中的元素进行排序;

优先队列的应用

数据压缩:赫夫曼编码算法;

最短路径算法:Dijkstra算法;

最小生成树算法:Prim算法;

事件驱动仿真:顾客排队算法;

选择问题:查找第k个最小元素;

等等等等….

优先队列的实现比较

堆和二叉堆

什么是堆

堆是一颗具有特定性质的二叉树,堆的基本要求就是堆中所有结点的值必须大于或等于(或小于或等于)其孩子结点的值,这也称为堆的性质;堆还有另一个性质,就是当 h > 0 时,所有叶子结点都处于第 h 或 h - 1 层(其中 h 为树的高度,完全二叉树),也就是说,堆应该是一颗完全二叉树;

在下面的例子中,左边的树为堆(每个元素都大于其孩子结点的值),而右边的树不是堆(因为5大于其孩子结点2)

二叉堆

在二叉堆中,每个结点最多有两个孩子结点,在实际应用中,二叉堆已经足够满足需求,因此接下来主要讨论二叉最小堆和二叉最大堆;

堆的表示:在描述堆的操作前,首先来看堆是怎样表示的,一种可能的方法就是使用数组,因为堆在形式上是一颗完全二叉树,用数组来存储它不会浪费任何空间,例如下图:

用数组来表示堆不仅不会浪费空间还具有一定的优势:

每个结点的左孩子为下标i的2倍:;每个结点的右孩子为下标i的2倍加1:

每个结点的父亲结点为下标的二分之一:,注意这里是整数除,2和3除以2都为1,大家可以验证一下;

注意:这里是把下标为0的地方空出来了的,主要是为了方便理解,如果0不空出来只需要在计算的时候把i值往右偏移一个位置就行了(也就是加1,大家可以试试,下面的演示也采取这样的方式);

二叉堆的相关操作

堆的基本结构

向堆中添加元素和Sift Up

当插入一个元素到堆中时,它可能不满足堆的性质,在这种情况下,需要调整堆中元素的位置使之重新变成堆,这个过程称为堆化(heapifying);在最大堆中,要堆化一个元素,需要找到它的父亲结点,如果不满足堆的基本性质则交换两个元素的位置,重复该过程直到每个结点都满足堆的性质为止,下面我们来模拟一下这个过程:

下面我们在该堆中插入一个新的元素26:

我们通过索引(上面的公式)可以很容易地找到新插入元素的父亲结点,然后比较它们的大小,如果新元素更大则交换两个元素的位置,这个操作就相当于把该元素上浮了一下:

重复该操作直到26到了一个满足堆条件的位置,此时就完成了插入的操作:

对应的代码如下:

取出堆中的最大元素和Sift Down

如果理解了上述的过程,那么取出堆中的最大元素(堆顶元素)将变得容易,不过这里运用到一个小技巧,就是用最后一个元素替换掉栈顶元素,然后把最后一个元素删除掉,这样一来元素的总个数也满足条件,然后只需要把栈顶元素依次往下调整就好了,这个操作就叫做Sift Down(下沉):

用最后元素替换掉栈顶元素,然后删除最后一个元素:

然后比较其孩子结点的大小:

如果不满足堆的条件,那么就跟孩子结点中较大的一个交换位置:

重复该步骤,直到16到达合适的位置:

完成取出最大元素的操作:

对应的代码如下:

Replace 和 Heapify

Replace这个操作其实就是取出堆中最大的元素之后再新插入一个元素,常规的做法是取出最大元素之后,再利用上面的插入新元素的操作对堆进行Sift Up操作,但是这里有一个小技巧就是直接使用新元素替换掉堆顶元素,之后再进行Sift Down操作,这样就把两次O(logn)的操作变成了一次O(logn):

Heapify翻译过来就是堆化的意思,就是将任意数组整理成堆的形状,通常的做法是遍历数组从0开始添加创建一个新的堆,但是这里存在一个小技巧就是把当前数组就看做是一个完全二叉树,然后从最后一个非叶子结点开始进行Sift Down操作就可以了,最后一个非叶子结点也很好找,就是最后一个结点的父亲结点,大家可以验证一下:

从22这个节点开始,依次开始Sift Down操作:

重复该过程直到堆顶元素:

完成堆化操作:

将n个元素逐个插入到一个空堆中,算法复杂度是O(nlogn),而heapify的过程,算法复杂度为O(n),这是有一个质的飞跃的,下面是代码:

基于堆的优先队列

首先我们的队列仍然需要继承我们之前将队列时候声明的哪个接口,然后实现这个接口中的方法就可以了,之类简单写一下:

Java中的PriorityQueue

在Java中也实现了自己的优先队列,与我们自己写的不同之处在于,Java中内置的为最小堆,然后就是一些函数名不一样,底层还是维护了一个Object类型的数组,大家可以戳戳看有什么不同,另外如果想要把最小堆变成最大堆可以给PriorityQueue传入自己的比较器,例如:

简单总结

今天算是很有收获的一天,因为这两种数据结构都是自己特别不熟悉的,特别是在刷了一些LeetCode相关题目之后,对这两种数据有了很不一样的认识,特别是堆的应用,这是一种特别适合用来找第k小/大的特殊的数据结构,并且在Java中居然有直接的实现,这可太棒了,而且今天的效率还算挺高的,满足;

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  • 原文链接https://kuaibao.qq.com/s/20180712G1JO0Z00?refer=cp_1026
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