数学建模三剑客 MSN

作者:许向武

前言

不管是不是巴萨的球迷,只要你喜欢足球,就一定听说过梅西(Messi)、苏亚雷斯(Suarez)和内马尔(Neymar)这个MSN组合。在众多的数学建模辅助工具中,也有一个犀利无比的MSN组合,他们就是python麾下大名鼎鼎的 Matplotlib + Scipy + Numpy三剑客。

本文是我整理的MSN学习笔记,有些理解可能比较肤浅,甚至是错误的。如果因此误导了某位看官,在工作中造成重大失误或损失,我顶多只能赔偿一顿饭——还得是我们楼下的十元盒饭。特此声明。

文中代码均从我的这台时不时出点问题、闹个情绪的Yoga 3 pro上复制而来,这意味着所有的代码均可在下面的运行环境中顺利运行:

pyhton 2.7.8

numpy 1.11.1

scipy 0.16.1

matplotlib 1.5.1

三剑客之Numpy

numpy是一个开源的python科学计算库,包含了很多实用的数学函数,涵盖线性代数、傅里叶变换和随机数生成等功能。最初的numpy其实是scipy的一部分,后来才从scipy中分离出来。

numpy不是python的标准库,需要单独安装。假定你的运行环境已经安装了python包管理工具pip,numpy的安装就非常简单:

pip install numpy

数组对象

ndarray是多维数组对象,也是numpy最核心的对象。在numpy中,数组的维度(dimensions)叫做轴(axes),轴的个数叫做秩(rank)。通常,一个numpy数组的所有元素都是同一种类型的数据,而这些数据的存储和数组的形式无关。

下面的例子,创建了一个三维的数组(在导入numpy时,一般都简写成np)。

import numpyasnp

a=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])

数据类型

numpy支持的数据类型主要有布尔型(bool)、整型(integrate)、浮点型(float)和复数型(complex),每一种数据类型根据占用内存的字节数又分为多个不同的子类型。常见的数据类型见下表。

创建数组

构造复杂数组

很多时候,我们需要从简单的数据结构,构造出复杂的数组。例如,用一维的数据生成二维格点。

重复数组: tile

一维数组网格化: meshgrid

指定范围和分割方式的网格化: mgrid

上面的例子中用到了虚数。构造虚数的方法如下:

>>>complex(2,5)

(2+5j)

数组的属性

numpy的数组对象除了一些常规的属性外,也有几个类似转置、扁平迭代器等看起来更像是方法的属性。扁平迭代器也许是遍历多维数组的一个简明方法,下面的代码给出了一个例子。

改变数组维度

numpy数组的存储顺序和数组的维度是不相干的,因此改变数组的维度是非常便捷的操作,除resize()外,这一类操作不会改变所操作的数组本身的存储顺序。

索引和切片

对于一维数组的索引和切片,numpy和python的list一样,甚至更灵活。

假设有一栋2层楼,每层楼内的房间都是3排4列,那我们可以用一个三维数组来保存每个房间的居住人数(当然,也可以是房间面积等其他数值信息)。

数组合并

数组合并除了下面介绍的水平合并、垂直合并、深度合并外,还有行合并、列合并,以及concatenate()等方式。假如你比我还懒,那就只了解前三种方法吧,足够用了。

数组拆分

拆分是合并的逆过程,概念是一样的,但稍微有一点不同:

数组运算

数组和常数的四则运算,是数组的每一个元素分别和常数运算;数组和数组的四则运算则是两个数组对应元素的运算(两个数组有相同的shape,否则抛出异常)。

特别提示:如果想对数组内符合特定条件的元素做特殊处理,下面的代码也许有用。

数组方法和常用函数

数组对象本身提供了计算算数平均值、求最大最小值等内置方法,numpy也提供了很多实用的函数。为了缩减篇幅,下面的代码仅以一维数组为例,展示了这些方法和函数用法。事实上,大多数情况下这些方法和函数对于多维数组同样有效,只有少数例外,比如compress函数。

矩阵对象

matrix是矩阵对象,继承自ndarray类型,因此含有ndarray的所有数据属性和方法。不过,当你把矩阵对象当数组操作时,需要注意以下几点:

matrix对象总是二维的,即使是展平(ravel函数)操作或是成员选择,返回值也是二维的

matrix对象和ndarray对象混合的运算总是返回matrix对象

创建矩阵

matrix对象可以使用一个Matlab风格的字符串来创建(以空格分隔列,以分号分隔行的字符串),也可以用数组来创建。

矩阵的特有属性

矩阵有几个特有的属性使得计算更加容易,这些属性有:

矩阵乘法

对ndarray对象而言,星号是按元素相乘,dot()函数则当作矩阵相乘。对于matrix对象来说,星号和dot()函数都是矩阵相乘。特别的,对于一维数组,dot()函数实现的是向量点乘(结果是标量),但星号实现的却不是差乘。

线性代数模块

numpy.linalg 是numpy的线性代数模块,可以用来解决逆矩阵、特征值、线性方程组以及行列式等问题。

计算逆矩阵

尽管matrix对象本身有逆矩阵的属性,但用numpy.linalg模块求解矩阵的逆,也是非常简单的。

计算行列式

如何计算行列式,我早已经不记得了,但手工计算行列式的痛苦,我依然记忆犹新。现在好了,你在手机上都可以用numpy轻松搞定(前提是你的手机上安装了python + numpy)。

m=np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')

2.0

计算特征值和特征向量

截至目前,我的工作和特征值、特征向量还有没任何关联。记录这一节,纯粹是为了我女儿,她正在读数学专业。

求解线性方程组

有线性方程组如下:

x – 2y + z = 0

2y -8z = 8

-4x + 5y + 9z = -9

求解过程如下:

三剑客之Matplotlib

matplotlib 是python最著名的绘图库,它提供了一整套和Matlab相似的命令API,十分适合交互式地进行制图。而且也可以方便地将它作为绘图控件,嵌入GUI应用程序中。matplotlib 可以绘制多种形式的图形包括普通的线图,直方图,饼图,散点图以及误差线图等;可以比较方便的定制图形的各种属性比如图线的类型,颜色,粗细,字体的大小等;它能够很好地支持一部分 TeX 排版命令,可以比较美观地显示图形中的数学公式。

pyplot介绍

Matplotlib 包含了几十个不同的模块, 如 matlab、mathtext、finance、dates 等,而 pyplot 则是我们最常用的绘图模块,这也是本文介绍的重点。

中文显示问题的解决方案

有很多方法可以解决此问题,但下面的方法恐怕是最简单的解决方案了(我只在windows平台上测试过,其他平台请看官自测)。

绘制最简单的图形

>>>import numpyasnp

>>>importmatplotlib.pyplotasplt

>>>x=np.arange(,2*np.pi,0.01)

>>>y=np.sin(x)

>>>plt.plot(x,y)

>>>plt.show()

设置标题、坐标轴名称、坐标轴范围

如果你在python的shell中运行下面的代码,而shell的默认编码又不是utf-8的话,中文可能仍然会显示为乱码。你可以尝试着把 u’正弦曲线’ 写成 ‘正弦曲线’.decode(‘gbk’)或者‘正弦曲线’.decode(‘utf-8’)

设置点和线的样式、宽度、颜色

plt.plot函数的调用形式如下:

plot(x,y,color='green',linestyle='dashed',linewidth=1,marker='o',markerfacecolor='blue',markersize=6)

plot(x,y,c='g',ls='--',lw=1,marker='o',mfc='blue',ms=6)

color指定线的颜色,可简写为“c”。颜色的选项为:

蓝色: ‘b’ (blue)

绿色: ‘g’ (green)

红色: ‘r’ (red)

墨绿: ‘c’ (cyan)

洋红: ‘m’ (magenta)

黄色: ‘y’ (yellow)

黑色: ‘k’ (black)

白色: ‘w’ (white)

灰度表示: e.g. 0.75 ([0,1]内任意浮点数)

RGB表示法: e.g. ‘#2F4F4F’ 或 (0.18, 0.31, 0.31)

linestyle指定线型,可简写为“ls”。线型的选项为:

实线: ‘-’ (solid line)

虚线: ‘–’ (dashed line)

虚点线: ‘-.’ (dash-dot line)

点线: ‘:’ (dotted line)

无: ”或’ ‘或’None’

linewidth指定线宽,可简写为“lw”。

marker描述数据点的形状

点线: ‘.’

点线: ‘o’

加号: ‘+

叉号: ‘x’

上三角: ‘^’

上三角: ‘v’

markerfacecolor指定数据点标记的表面颜色,可 简写为“ mfc”。

markersize指定数据点标记的大小,可 简写为“ ms”。

文本标注和图例

我们分别使用不同的线型、颜色来绘制以10、e、2为基的一组幂函数曲线,演示文本标注和图例的使用。

在绘制图例时,loc用于指定图例的位置,可用的选项有:

best

upper right

upper left

lower left

lower right

绘制多轴图

在介绍如何将多幅子图绘制在同一画板的同时,顺便演示如何绘制直线和矩形。我们可以使用subplot函数快速绘制有多个轴的图表。subplot函数的调用形式如下:

subplot(numRows, numCols, plotNum)

subplot将整个绘图区域等分为numRows行 * numCols列个子区域,然后按照从左到右,从上到下的顺序对每个子区域进行编号,左上的子区域的编号为1。如果numRows,numCols和plotNum这三个数都小于10的话,可以把它们缩写为一个整数,例如subplot(323)和subplot(3,2,3)是相同的。subplot在plotNum指定的区域中创建一个轴对象。如果新创建的轴和之前创建的轴重叠的话,之前的轴将被删除。

三剑客之Scipy

前面已经说过,最初的numpy其实是scipy的一部分,后来才从scipy中分离出来。scipy函数库在numpy库的基础上增加了众多的数学、科学以及工程计算中常用的库函数。例如线性代数、常微分方程数值求解、信号处理、图像处理、稀疏矩阵等等。由于其涉及的领域众多,我之于scipy,就像盲人摸大象,只能是摸到哪儿算哪儿。

插值

一维插值和二维插值,是我最常用的scipy的功能之一,也是最容易上手的。

一维插值和样条插值

下面的例子清楚地展示了线性插值和样条插值之后的数据形态。

将原始数据以及线性插值和样条插值之后的数据绘制在一起,效果会比较明显:

代码如下:

特别说明:样条插值附带了很多默认参数,下面是简单的说明。详情请自行搜索。

# 参数s用来确定平滑点数,通常是m-SQRT(2m),m是曲线点数。如果在插值中不需要平滑应该设定s=0。splrep()输出的是一个3元素的元胞数组(t,c,k),其中t是曲线点,c是计算出来的系数,k是样条阶数,通常是3阶,但可以通过k改变。

# 其中的der是进行样条计算是需要实际计算到的阶数,必须满足条件der

拟合

在工作中,我们常常需要在图中描绘某些实际数据观察的同时,使用一个曲线来拟合这些实际数据。所谓拟合,就是找出符合数据变化趋势的曲线方程,或者直接绘制出拟合曲线。

使用numpy.polyfit拟合

下面这段代码,基于Numpy模块,可以直接绘制出拟合曲线,但我无法得到曲线方程(尽管输出了一堆曲线参数)。这是一个值得继续深入研究的问题。

3个拟合结果显示在下图中。

scipy提供的拟合,貌似需要先确定带参数的曲线方程,然后由scipy求解方程,返回曲线参数。我们还是以上面的一组数据为例使用scipy拟合曲线。

可以看出,曲线近似正弦函数。构建函数y=a*sin(x*pi/6+b)+c,使用scipy的optimize.curve_fit函数求出a、b、c的值:

求解非线性方程(组)

在数学建模中,需要对一些稀奇古怪的方程(组)求解,Matlab自然是首选,但Matlab不是免费的,scipy则为我们提供了免费的午餐!scipy.optimize库中的fsolve函数可以用来对非线性方程(组)进行求解。它的基本调用形式如下:

fsolve(func, x0)

func(x)是计算方程组误差的函数,它的参数x是一个矢量,表示方程组的各个未知数的一组可能解,func返回将x代入方程组之后得到的误差;x0为未知数矢量的初始值。

我们先来求解一个简单的方程:sin(x)−cos(x)=0.2

>>>fromscipy.optimize importfsolve

>>>import numpyasnp

>>>deff(A):

x=float(A[])

return[np.sin(x)-np.cos(x)-0.2]

>>>result=fsolve(f,[1])

>>>printresult

>>>printf(result)

哈哈,易如反掌!再来一个方程组:

4x2−2sin(yz)=0

5y+3=0

yz−1.5=0

图像处理

在scipy.misc模块中,有一个函数可以载入Lena图像——这副图像是被用作图像处理的经典示范图像。我只是简单展示一下在该图像上的几个操作。

载入Lena图像,并显示灰度图像

应用中值滤波扫描信号的每一个数据点,并替换为相邻数据点的中值

旋转图像

应用Prewitt滤波器(基于图像强度的梯度计算)

后记

这篇博文自2016年9月初动笔,断断续续写了5个多月。延宕这么久,除了自身懒惰的原因外,主要是因为MSN这个主题涉及的内容太过繁杂,又极其晦涩,无论怎么努力,总怕挂一漏万、贻笑大方。

现在好了,终于写完了。倘若哪位看官发现了谬误,请自行修改,顺便通知我一声;若因此文受益而想约饭、约酒,请发邮件至:

【关于作者】

许向武:山东远思信息科技有限公司CEO,网名牧码人,齐国土著,太公之后。少小离家,独闯江湖,后归隐于华不注山。素以敲击键盘为业,偶尔游戏于各网络对局室,擅长送财送分,深为众棋友所喜闻乐见。

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