NumPy线性代数功能全解析：矩阵运算与方程求解实用指南

NumPy 是线性代数领域中高效的工具。它可以帮助完成矩阵运算和方程求解。本文将介绍 NumPy 中用于线性代数的常用函数。

矩阵乘法

矩阵乘法会根据两个矩阵生成一个新矩阵。具体做法是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列相乘，并将乘积相加，得到新矩阵的对应元素。

# 定义矩阵

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 矩阵乘法

C = np.dot(A, B)

print("矩阵乘法结果:\n", C)

# 输出结果:

# [[19 22]

#  [43 50]]

矩阵求逆

将一个矩阵与其逆矩阵相乘，可以得到单位矩阵。矩阵求逆常用于求解线性方程组。只有方阵且非奇异矩阵才有逆矩阵。

# 定义方阵

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 矩阵求逆

A_inv = np.linalg.inv(A)

print("矩阵的逆:\n", A_inv)

# 输出结果:

# [[-2.   1. ]

#  [ 1.5 -0.5]]

矩阵行列式

矩阵的行列式是由矩阵计算出的一个数值。它可以判断矩阵是否可逆。行列式的计算规则依赖于矩阵的大小。

# 定义方阵

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算行列式

det_A = np.linalg.det(A)

print("矩阵的行列式:", det_A)

# 输出结果: -2.0000000000000004

矩阵迹（Trace）

矩阵的迹是对角线元素之和，仅适用于方阵。迹的值是一个单一的数。

# 定义方阵

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算迹

trace_A = np.trace(A)

print("矩阵的迹:", trace_A)

# 输出结果: 5

矩阵转置

矩阵转置是指将矩阵沿主对角线翻转，将行和列的位置互换。

# 定义矩阵

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

# 计算转置

A_T = np.transpose(A)

print("矩阵的转置:\n", A_T)

# 输出结果:

# [[1 4]

#  [2 5]

#  [3 6]]

特征值与特征向量

特征值表示特征向量在变换中的缩放比例。特征向量在该变换下方向不变。

# 定义方阵

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算特征值和特征向量

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

print("特征值:", eigenvalues)

print("特征向量:\n", eigenvectors)

# 输出结果:

# 特征值: [-0.37228132  5.37228132]

# 特征向量:

# [[-0.82456484 -0.41597356]

#  [ 0.56576746 -0.90937671]]

LU 分解

LU 分解将一个矩阵分解为下三角矩阵（L）和上三角矩阵（U）的乘积。常用于求解线性最小二乘问题和特征值问题。

import numpy as np

from scipy.linalg import lu

# 定义矩阵

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# LU分解

P, L, U = lu(A)

# 显示结果

print("LU分解结果:")

print("P矩阵:\n", P)

print("L矩阵:\n", L)

print("U矩阵:\n", U)

# 输出结果:

# P矩阵:

# [[0. 1. 0.]

#  [0. 0. 1.]

#  [1. 0. 0.]]

# L矩阵:

# [[ 1.          0.          0.        ]

#  [ 0.33333333  1.          0.        ]

#  [ 0.66666667 -0.5         1.        ]]

# U矩阵:

# [[ 7.          8.          9.        ]

#  [ 0.          0.33333333  0.66666667]

#  [ 0.          0.          0.        ]]

QR分解

QR 分解将一个矩阵分解为正交矩阵（Q）和上三角矩阵（R）。常用于最小二乘法和特征值计算。

import numpy as np

from scipy.linalg import qr

# 定义矩阵

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# QR分解

Q, R = qr(A)

# 显示结果

print("QR分解结果:")

print("Q矩阵:\n", Q)

print("R矩阵:\n", R)

# 输出结果:

# Q矩阵:

# [[-0.26726124 -0.78583024  0.55708601]

#  [-0.53452248 -0.08675134 -0.83125484]

#  [-0.80178373  0.6172134   0.08122978]]

# R矩阵:

# [[-7.41619849 -8.48528137 -9.55445709]

#  [ 0.         -0.90453403 -1.80906806]

#  [ 0.          0.          0.        ]]

奇异值分解（SVD）

SVD 将一个矩阵分解为三个矩阵：U、Σ 和 V*。U 和 V* 是正交矩阵，Σ 是对角矩阵。SVD 在数据降维和线性系统求解等领域有广泛应用。

import numpy as np

from scipy.linalg import svd

# 定义矩阵

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 奇异值分解

U, s, Vh = svd(A)

# 显示结果

print("SVD分解结果:")

print("U矩阵:\n", U)

print("奇异值:\n", s)

print("Vh矩阵:\n", Vh)

# 输出结果:

# U矩阵:

# [[-0.21483724  0.88723069  0.40824829]

#  [-0.52058739  0.24964395 -0.61237224]

#  [-0.82633755 -0.38794279  0.61237224]]

# 奇异值:

# [16.84810335  1.06836951  0.        ]

# Vh矩阵:

# [[-0.47967118 -0.57236779 -0.66506439]

#  [ 0.77669099  0.07568647 -0.62531812]

#  [-0.40824829  0.81649658 -0.40824829]]

线性方程组的直接解法

直接求解线性方程组，计算出使方程组所有等式成立的变量值。每个方程代表一条直线，解为这些直线的交点。

# 定义矩阵A和向量B

A = np.array([[3, 1], [1, 2]])

B = np.array([9, 8])

# 求解线性方程组 Ax = B

x = np.linalg.solve(A, B)

print("线性方程组的解:", x)

# 输出结果: [2. 3.]

最小二乘拟合

最小二乘拟合用于寻找与数据点最匹配的解，最小化实际值与预测值的平方差。

# 定义矩阵A和向量B

A = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3]])

B = np.array([1, 2, 2])

# 求解最小二乘问题

x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, B, rcond=None)

print("最小二乘解:", x)

print("残差:", residuals)

print("矩阵秩:", rank)

print("奇异值:", s)

# 输出结果:

# 最小二乘解: [0.66666667 0.5]

# 残差: [0.33333333]

# 矩阵秩: 2

# 奇异值: [4.07914333 0.60049122]

矩阵范数

矩阵范数用于衡量一个矩阵的“大小”，常用于数值稳定性分析和矩阵分析。

# 定义矩阵

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算各种范数

frobenius_norm = np.linalg.norm(A, 'fro')

one_norm = np.linalg.norm(A, 1)

infinity_norm = np.linalg.norm(A, np.inf)

print("Frobenius范数:", frobenius_norm)

print("1-范数:", one_norm)

print("无穷范数:", infinity_norm)

# 输出结果:

# Frobenius范数: 5.477225575051661

# 1-范数: 6.0

# 无穷范数: 7.0

条件数

矩阵的条件数衡量输入变化对解的敏感性。条件数高表示解可能不稳定。

# 定义矩阵

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算条件数

condition_number = np.linalg.cond(A)

print("条件数:", condition_number)

# 输出结果: 14.933034373659268

矩阵秩

矩阵的秩是指其线性无关的行或列的数量，反映了矩阵所能覆盖的向量空间的维度。

# 定义矩阵

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算矩阵秩

rank_A = np.linalg.matrix_rank(A)

print("矩阵秩:", rank_A)

# 输出结果: 2

总结

NumPy 简化了矩阵运算和线性方程组求解等任务。你可以在官方网站了解更多关于这些 NumPy 函数的详细信息。