线性代数、矩阵、与图像处理的例子

最近在做相移法的实验，了解了一些图像方面的知识。另还有同学给小编抱怨说线性代数学了好像没什么用。仰天一声笑，真是sometimes naive...

这里小编简单举一个例子，引出一下线性代数的在日常中的作用，对的！你无时无刻不在用它！

上镇号之宝图！

别问我为什么这么爱这张图！劳资就是喜欢！

为了接下来处理的方便，我们将它转化为灰度格式：

进入正题

科普一下图像的存储，这张图片尺寸是640*640，也就是有409600个像素点，每个像素点需要用一个数字来表示它的灰度（由于是黑白图片，只需要灰度就够了）一个浮点数所需的存储空间是8bit，也就是1byte,所以整张图片存储需要409600/1024=400KB

假设小编的电脑上我的爷爷祖传给我的，存储容量只有50KB？？what??那我要怎样存下这张图片呢？

对！聪明的你也许猜对了，我要压缩！

先说一个思想，由于整个图片是640*640的像素点组成，每个像素点用一个数字来代表它的颜色。那么我们其实可以将这张图片看做一个640*640的矩阵。或者可以说，图片就是矩阵！

跟我一起念：

万物基于线性代数！

假定你们都已经学过特征值分解或者是奇异值分解（不会的话就装作自己会了）。奇异值分解实际上就是特征值分解的推广。

如上图，将A奇异值分解，得到A=SVD,S与D都是矩阵，V为对角矩阵，其中的s1,s2...代表列向量，d1,d2...代表行向量。v1,v2...代表奇异值。

也可以将上式改写为：

此式就叫做奇异值分解。比如在本图中，n就等于640.事实上，一张图片奇异值分解后将v1到v_n从大到小排列后，后面的奇异值已经变得非常小了，对整张图片的贡献不大，或者我们可以将它叫做噪声。（其实图片降噪也是这么做的）所以我们可以直接扔去后面这些很小的奇异值。

比如对于这张图片，一共有640个奇异值，我们保留仅前50个。那么我们现在来计算一下需要的存储空间有多大。首先是50个奇异值，然后每个奇异值对应两个奇异向量s,d，故一共需要的空间为50+50*640+50*640=64050byte，也就是62KB。整整比原来的400KB小了六倍！！

那么可能有同学会怀疑我们真的能直接扔去后面550个奇异值？话不多说，看下效果：

这就是仅仅保留50个奇异值得到的图片！但是发现图片清晰度明显不如原图，这就是所谓的图像压缩会使得图片变模糊。

如果我们保留前100个奇异值，大小会比60KB稍大一点，但清晰度会上升，如下图：

肉眼上来说，你可能已经分辨不出来这张图与原图的差异了，但是他的大小也仅为125KB，比原图还是少了三分之一。

当然图像压缩的算法有很多种，这里只是介绍了其中的一种，可以发现线性代数其实在生活中无处不在，最后贴上本次实验matlab的代码（代码不长，应该很容易看懂吧）：

THE END