深度学习的数学(二):神经元工作的数学表示

编者按:本文节选自图灵程序设计丛书 《深度学习的数学》一书中的部分章节。

前文所述,神经网络是以从神经元抽象出来的数学模型为出发点的。下面,我们将更详细地考察神经元的工作,并将其在数学上抽象化。

整理神经元的工作

人的大脑是由多个神经元互相连接形成网络而构成的。也就是说,一个神经元从其他神经元接收信号,也向其他神经元发出信号。大脑就是根据这个网络上的信号的流动来处理各种各样的信息的。

让我们来更详细地看一下神经元传递信息的结构。如上图所示,神经元是由细胞体、树突、轴突三个主要部分构成的。其他神经元的信号(输入信号)通过树突传递到细胞体(也就是神经元本体)中,细胞体把从其他多个神经元传递进来的输入信号进行合并加工,然后再通过轴突前端的突触传递给别的神经元。

那么,神经元究竟是怎样对输入信号进行合并加工的呢?让我们来看看它的构造。

假设一个神经元从其他多个神经元接收了输入信号,这时如果所接收的信号之和比较小,没有超过这个神经元固有的边界值(称为 阈值),这个神经元的细胞体就会忽略接收到的信号,不做任何反应。

注:对于生命来说,神经元忽略微小的输入信号,这是十分重要的。反之,如果神经元对于任何微小的信号都变得兴奋,神经系统就将“情绪不稳定”。

不过,如果输入信号之和超过神经元固有的边界值(也就是阈值),细胞体就会做出反应,向与轴突连接的其他神经元传递信号,这称为点火。

那么,点火时神经元的输出信号是什么样的呢?有趣的是,信号的大小是固定的。即便从邻近的神经元接收到很大的刺激,或者轴突连接着其他多个神经元,这个神经元也只输出固定大小的信号。点火的输出信号是由 0 或 1 表示的数字信息。

神经元工作的数学表示

让我们整理一下已经考察过的神经元点火的结构。

(i) 来自其他多个神经元的信号之和成为神经元的输入。

(ii) 如果这个信号之和超过神经元固有的阈值,则点火。

(iii) 神经元的输出信号可以用数字信号 0 和 1 来表示。即使有多个输出端,其值也是同一个。

下面让我们用数学方式表示神经元点火的结构。

首先,我们用数学式表示输入信号。由于输入信号是来自相邻神经元的输出信号,所以根据 (iii),输入信号也可以用“有”“无”两种信息表示。因此,用变量 $x$ 表示输入信号时,如下所示。

注:与视细胞直接连接的神经元等个别神经元并不一定如此,因为视细胞的输入是模拟信号。

接下来,我们用数学式表示输出信号。根据 (iii),输出信号可以用表示点火与否的“有”“无”两种信息来表示。因此,用变量 $y$ 表示输出信号时,如下所示。

最后,我们用数学方式来表示点火的判定条件。

从 (i) 和 (ii) 可知,神经元点火与否是根据来自其他神经元的输入信号的和来判定的,但这个求和的方式应该不是简单的求和。例如在网球比赛中,对于来自视觉神经的信号和来自听觉神经的信号,大脑是通过改变权重来处理的。因此,神经元的输入信号应该是考虑了权重的信号之和。用数学语言来表示的话,例如,来自相邻神经元 1、2、3 的输入信号分别为 $x_1$、$x_2$、$x_3$,则神经元的输入信号之和可以如下表示。

$w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)$

式中的 $w_1$、$w_2$、$w_3$ 是输入信号 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 对应的 权重(weight)。

根据 (ii),神经元在信号之和超过阈值时点火,不超过阈值时不点火。于是,利用式 (1),点火条件可以如下表示。

这里,$\theta$ 是该神经元固有的阈值。

例 1 来自两个神经元 1、2 的输入信号分别为变量 $x_1$、$x_2$,权重为 $w_1$、$w_2$,神经元的阈值为 $\theta$。当 $w_1=5$,$w_2=3$,$\theta=4$ 时,考察信号之和 $w_1x_1+w_2x_2$ 的值与表示点火与否的输出信号 $y$ 的值。

输入 $\boldsymbol{x_1} $

输入 $\boldsymbol{x_2} $

和 $\boldsymbol{w_1x_1+w_2x_2} $

点火

输出信号 $\boldsymbol{y}$

0

0

$5\times0+3\times0=0<4$

0

0

1

$5\times0+3\times1=3<4$

0

1

0

$5\times1+3\times0=5\geqslant4$

1

1

1

$5\times1+3\times1=8\geqslant4$

1

点火条件的图形表示

下面我们将表示点火条件的式 (2) 图形化。以神经元的输入信号之和为横轴,神经元的输出信号 $y$ 为纵轴,将式 (2) 用图形表示出来。如下图所示,当信号之和小于 $\theta$ 时,$y$ 取值 0,反之 $y$ 取值 1。

如果用函数式来表示这个图形,就需要用到下面的 单位阶跃函数

$u(z)=\begin{cases}0~~(z<0)\1~~(z\geqslant0)\end{cases}$

单位阶跃函数的图形如下所示。

利用单位阶跃函数 $u(z)$,式 (2) 可以用一个式子表示如下。

点火的式子:$y=u(w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3-\theta)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(3)$

通过下表可以确认式 (3) 和式 (2) 是一样的。

|$\boldsymbol{y}$|$\boldsymbol{w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3} $|$\boldsymbol{z=w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3}-\theta$|$\boldsymbol{u(z)}$| |-|-| |0(无点火)|小于 $\theta$|$z<0$|0| |1(点火)|大于等于 $\theta$|$z\geqslant0$|1|

此外,该表中的 $z$(式 (3) 的阶跃函数的参数)的表达式

$z=w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3-\theta\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(4)$

称为该神经元的 加权输入

备注 $\boldsymbol{w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3}=\theta$ 的处理 有的文献会像下面这样处理式 (2) 的不等号。

在生物上这也许是很大的差异,不过对于接下来的讨论而言是没有问题的。因为我们的主角是 Sigmoid 函数,所以不会发生这样的问题。

图书简介http://www.ituring.com.cn/book/2593

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