作者:labuladong
大家好,欢迎来到 Crossin的编程教室 !
先给大家讲个笑话乐呵一下:
有一天阿东到图书馆借了 N 本书,出图书馆的时候,警报响了,于是保安把阿东拦下,要检查一下哪本书没有登记出借。阿东正准备把每一本书在报警器下过一下,以找出引发警报的书,但是保安露出不屑的眼神:你连二分查找都不会吗?于是保安把书分成两堆,让第一堆过一下报警器,报警器响;于是再把这堆书分成两堆…… 最终,检测了 logN 次之后,保安成功的找到了那本引起警报的书,露出了得意和嘲讽的笑容。于是阿东背着剩下的书走了。
……
从此,图书馆丢了 N - 1 本书。
二分查找不简单,Knuth 大佬(发明 KMP 算法的那位)都说二分查找:思路很简单,细节是魔鬼。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿,但是二分查找真正的坑根本就不是那个细节问题,而是在于到底要给加一还是减一,while 里到底用还是。
你要是没有正确理解这些细节,写二分肯定就是玄学编程,有没有 bug 只能靠菩萨保佑。我特意写了一首诗来歌颂该算法,概括本文的主要内容,建议保存:
你等会看完本文再回来读读,就有味道了。
本文就来探究几个最常用的二分查找场景:寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且,我们就是要深入细节,比如不等号是否应该带等号,mid 是否应该加一等等。
以问答的形式,分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因,保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。
(注:本文演示代码为C++,但作为算法讲解来说,几乎不影响Python学习者的阅读。如对其中语法有疑问,可在留言中提出)
零、二分查找框架
分析二分查找的一个技巧是:不要出现 else,而是把所有情况用 else if 写清楚,这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if,旨在讲清楚,读者理解后可自行简化。
其中标记的部分,就是可能出现细节问题的地方,当你见到一个二分查找的代码时,首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。
另外声明一下,计算 mid 时需要防止溢出,代码中就和的结果相同,但是有效防止了和太大直接相加导致溢出。
一、寻找一个数(基本的二分搜索)
这个场景是最简单的,肯能也是大家最熟悉的,即搜索一个数,如果存在,返回其索引,否则返回 -1。
1、为什么 while 循环的条件中是 ?
答:因为初始化的赋值是,即最后一个元素的索引,而不是。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中,区别是:前者相当于两端都闭区间,后者相当于左闭右开区间,因为索引大小为是越界的。
我们这个算法中使用的是前者两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。
什么时候应该停止搜索呢?当然,找到了目标值的时候可以终止:
但如果没找到,就需要 while 循环终止,然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止?搜索区间为空的时候应该终止,意味着你没得找了,就等于没找到嘛。
的终止条件是,写成区间的形式就是,或者带个具体的数字进去,可见这时候区间为空,因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的,直接返回 -1 即可。
的终止条件是,写成区间的形式就是,或者带个具体的数字进去,这时候区间非空,还有一个数 2,但此时 while 循环终止了。也就是说这区间被漏掉了,索引 2 没有被搜索,如果这时候直接返回 -1 就是错误的。
当然,如果你非要用也可以,我们已经知道了出错的原因,就打个补丁好了:
2、为什么,?我看有的代码是或者,没有这些加加减减,到底怎么回事,怎么判断?
答:这也是二分查找的一个难点,不过只要你能理解前面的内容,就能够很容易判断。
刚才明确了「搜索区间」这个概念,而且本算法的搜索区间是两端都闭的,即。那么当我们发现索引不是要找的时,下一步应该去搜索哪里呢?
当然是去搜索或者对不对?因为已经搜索过,应该从搜索区间中去除。
3、此算法有什么缺陷?
答:至此,你应该已经掌握了该算法的所有细节,以及这样处理的原因。但是,这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组,为 2,此算法返回的索引是 2,没错。但是如果我想得到的左侧边界,即索引 1,或者我想得到的右侧边界,即索引 3,这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见,你也许会说,找到一个 target,然后向左或向右线性搜索不行吗?可以,但是不好,因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。
二、寻找左侧边界的二分搜索
以下是最常见的代码形式,其中的标记是需要注意的细节:
1、为什么 while 中是而不是?
答:用相同的方法分析,因为而不是。因此每次循环的「搜索区间」是左闭右开。
终止的条件是,此时搜索区间为空,所以可以正确终止。
PS:这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别,也是很多读者问的:刚才的不是吗,为啥这里非要写成使得「搜索区间」变成左闭右开呢?
因为对于搜索左右侧边界的二分查找,这种写法比较普遍,我就拿这种写法举例了,保证你以后看到这类代码可以理解。其实你非要用两端都闭的写法反而更简单,我会在后面写相关的代码,把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来,你耐心往后看就行了。
2、为什么没有返回 -1 的操作?如果中不存在这个值,怎么办?
答:因为要一步一步来,先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义:
对于这个数组,算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读:中小于 2 的元素有 1 个。
比如对于有序数组,,算法会返回 0,含义是:中小于 1 的元素有 0 个。
再比如说,算法会返回 4,含义是:中小于 8 的元素有 4 个。
综上可以看出,函数的返回值(即变量的值)取值区间是闭区间,所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1:
3、为什么,?和之前的算法不一样?
答:这个很好解释,因为我们的「搜索区间」是左闭右开,所以当被检测之后,下一步的搜索区间应该去掉分割成两个区间,即或。
4、为什么该算法能够搜索左侧边界?
答:关键在于对于这种情况的处理:
可见,找到 target 时不要立即返回,而是缩小「搜索区间」的上界,在区间中继续搜索,即不断向左收缩,达到锁定左侧边界的目的。
5、为什么返回而不是?
答:都是一样的,因为 while 终止的条件是。
6、能不能想办法把变成,也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」?这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。
答:当然可以,只要你明白了「搜索区间」这个概念,就能有效避免漏掉元素,随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改:
因为你非要让搜索区间两端都闭,所以应该初始化为,while 的终止条件应该是,也就是其中应该用:
因为搜索区间是两端都闭的,且现在是搜索左侧边界,所以和的更新逻辑如下:
由于 while 的退出条件是,所以当比中所有元素都大时,会存在以下情况使得索引越界:
因此,最后返回结果的代码应该检查越界情况:
至此,整个算法就写完了,完整代码如下:
这样就和第一种二分搜索算法统一了,都是两端都闭的「搜索区间」,而且最后返回的也是变量的值。只要把住二分搜索的逻辑,两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。
三、寻找右侧边界的二分查找
类似寻找左侧边界的算法,这里也会提供两种写法,还是先写常见的左闭右开的写法,只有两处和搜索左侧边界不同,已标注:
1、为什么这个算法能够找到右侧边界?
答:类似地,关键点还是这里:
当时,不要立即返回,而是增大「搜索区间」的下界,使得区间不断向右收缩,达到锁定右侧边界的目的。
2、为什么最后返回而不像左侧边界的函数,返回?而且我觉得这里既然是搜索右侧边界,应该返回才对。
答:首先,while 循环的终止条件是,所以和是一样的,你非要体现右侧的特点,返回好了。
至于为什么要减一,这是搜索右侧边界的一个特殊点,关键在这个条件判断:
因为我们对的更新必须是,就是说 while 循环结束时,一定不等于了,而可能是。
至于为什么的更新必须是,同左侧边界搜索,就不再赘述。
3、为什么没有返回 -1 的操作?如果中不存在这个值,怎么办?
答:类似之前的左侧边界搜索,因为 while 的终止条件是,就是说的取值范围是,所以可以添加两行代码,正确地返回 -1:
4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢?这样这三个写法就完全统一了,以后就可以闭着眼睛写出来了。
答:当然可以,类似搜索左侧边界的统一写法,其实只要改两个地方就行了:
当比所有元素都小时,会被减到 -1,所以需要在最后防止越界:
至此,搜索右侧边界的二分查找的两种写法也完成了,其实将「搜索区间」统一成两端都闭反而更容易记忆,你说是吧?
四、逻辑统一
来梳理一下这些细节差异的因果逻辑:
第一个,最基本的二分查找算法:
第二个,寻找左侧边界的二分查找:
第三个,寻找右侧边界的二分查找:
对于寻找左右边界的二分搜索,常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」,我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭,便于记忆,只要修改两处即可变化出三种写法:
如果以上内容你都能理解,那么恭喜你,二分查找算法的细节不过如此。
通过本文,你学会了:
1、分析二分查找代码时,不要出现 else,全部展开成 else if 方便理解。
2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件,如果存在漏掉的元素,记得在最后检查。
3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界,只要在时做修改即可,搜索右侧时需要减一。
4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭,好记,只要稍改条件处的代码和返回的逻辑即可,推荐拿小本本记下,作为二分搜索模板。
现在可以去把我做的诗多读几遍,体会体会其中的味道,加深理解,哈哈哈!
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