为了让你写对“二分查找”，我作了首诗

作者：labuladong

大家好，欢迎来到 Crossin的编程教室 ！

先给大家讲个笑话乐呵一下：

有一天阿东到图书馆借了 N 本书，出图书馆的时候，警报响了，于是保安把阿东拦下，要检查一下哪本书没有登记出借。阿东正准备把每一本书在报警器下过一下，以找出引发警报的书，但是保安露出不屑的眼神：你连二分查找都不会吗？于是保安把书分成两堆，让第一堆过一下报警器，报警器响；于是再把这堆书分成两堆…… 最终，检测了 logN 次之后，保安成功的找到了那本引起警报的书，露出了得意和嘲讽的笑容。于是阿东背着剩下的书走了。

……

从此，图书馆丢了 N - 1 本书。

二分查找不简单，Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）都说二分查找：思路很简单，细节是魔鬼。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿，但是二分查找真正的坑根本就不是那个细节问题，而是在于到底要给加一还是减一，while 里到底用还是。

你要是没有正确理解这些细节，写二分肯定就是玄学编程，有没有 bug 只能靠菩萨保佑。我特意写了一首诗来歌颂该算法，概括本文的主要内容，建议保存：

你等会看完本文再回来读读，就有味道了。

本文就来探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。

以问答的形式，分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。

（注：本文演示代码为C++，但作为算法讲解来说，几乎不影响Python学习者的阅读。如对其中语法有疑问，可在留言中提出）

零、二分查找框架

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。

其中标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

另外声明一下，计算 mid 时需要防止溢出，代码中就和的结果相同，但是有效防止了和太大直接相加导致溢出。

一、寻找一个数（基本的二分搜索）

这个场景是最简单的，肯能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

1、为什么 while 循环的条件中是 ？

答：因为初始化的赋值是，即最后一个元素的索引，而不是。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间，后者相当于左闭右开区间，因为索引大小为是越界的。

我们这个算法中使用的是前者两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

的终止条件是，写成区间的形式就是，或者带个具体的数字进去，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

的终止条件是，写成区间的形式就是，或者带个具体的数字进去，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然，如果你非要用也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

2、为什么，？我看有的代码是或者，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。

刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即。那么当我们发现索引不是要找的时，下一步应该去搜索哪里呢？

当然是去搜索或者对不对？因为已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

3、此算法有什么缺陷？

答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组，为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到的左侧边界，即索引 1，或者我想得到的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

二、寻找左侧边界的二分搜索

以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：

1、为什么 while 中是而不是?

答：用相同的方法分析，因为而不是。因此每次循环的「搜索区间」是左闭右开。

终止的条件是，此时搜索区间为空，所以可以正确终止。

PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：刚才的不是吗，为啥这里非要写成使得「搜索区间」变成左闭右开呢？

因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后看到这类代码可以理解。其实你非要用两端都闭的写法反而更简单，我会在后面写相关的代码，把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来，你耐心往后看就行了。

2、为什么没有返回 -1 的操作？如果中不存在这个值，怎么办？

答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：

对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：中小于 2 的元素有 1 个。

比如对于有序数组,，算法会返回 0，含义是：中小于 1 的元素有 0 个。

再比如说，算法会返回 4，含义是：中小于 8 的元素有 4 个。

综上可以看出，函数的返回值（即变量的值）取值区间是闭区间，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

3、为什么，？和之前的算法不一样？

答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是左闭右开，所以当被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉分割成两个区间，即或。

4、为什么该算法能够搜索左侧边界？

答：关键在于对于这种情况的处理：

可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界，在区间中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

5、为什么返回而不是？

答：都是一样的，因为 while 终止的条件是。

6、能不能想办法把变成，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：

因为你非要让搜索区间两端都闭，所以应该初始化为，while 的终止条件应该是，也就是其中应该用：

因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以和的更新逻辑如下：

由于 while 的退出条件是，所以当比中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：

因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：

至此，整个算法就写完了，完整代码如下：

这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。

三、寻找右侧边界的二分查找

类似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜索左侧边界不同，已标注：

1、为什么这个算法能够找到右侧边界？

答：类似地，关键点还是这里：

当时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

2、为什么最后返回而不像左侧边界的函数，返回？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回才对。

答：首先，while 循环的终止条件是，所以和是一样的，你非要体现右侧的特点，返回好了。

至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：

因为我们对的更新必须是，就是说 while 循环结束时，一定不等于了，而可能是。

至于为什么的更新必须是，同左侧边界搜索，就不再赘述。

3、为什么没有返回 -1 的操作？如果中不存在这个值，怎么办？

答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是，就是说的取值范围是，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：

4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。

答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了：

当比所有元素都小时，会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：

至此，搜索右侧边界的二分查找的两种写法也完成了，其实将「搜索区间」统一成两端都闭反而更容易记忆，你说是吧？

四、逻辑统一

来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：

第一个，最基本的二分查找算法：

第二个，寻找左侧边界的二分查找：

第三个，寻找右侧边界的二分查找：

对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」，我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭，便于记忆，只要修改两处即可变化出三种写法：

如果以上内容你都能理解，那么恭喜你，二分查找算法的细节不过如此。

通过本文，你学会了：

1、分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。

2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。

3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在时做修改即可，搜索右侧时需要减一。

4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改条件处的代码和返回的逻辑即可，推荐拿小本本记下，作为二分搜索模板。

现在可以去把我做的诗多读几遍，体会体会其中的味道，加深理解，哈哈哈！