为什么梯度的负方向是局部下降最快的方向？

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作者：立波哈工大计算机博士

公众号：机器学习算法与自然语言处理

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主要内容：

为什么梯度的负方向是局部下降最快的方向？

刚接触梯度下降这个概念的时候，是在学习机器学习算法的时候，很多训练算法用的就是梯度下降，然后资料和老师们也说朝着梯度的反方向变动，函数值下降最快，但是究其原因的时候，很多人都表达不清楚。所以我整理出自己的理解，从方向导数这个角度把这个结论证明出来，让我们知其然也知其所以然~

一年前从基本的原理证明进行解释，见下：

这次从最优化的角度切入来说明一下：

当我们在某个要优化的函数，这里设为f(x) ,我们在x点处，然后沿方向 v进行移动，到达f(x+v)，图示表示了移动过程：

上图显示了从A点,移动到B点的过程。那么 v方向是什么的时候，局部下降的最快呢？

换成数学语言来说就是， f(x+v)-f(x)的值在 v是什么的时候，达到最大！

下面进行讲解：

则 f(x+v)-f(x)=d f(x)v ,则我们可以得出： d f(x)v 为函数值的变化量，我们要注意的是 d f(x) 和 v 均为向量， d f(x)v 也就是两个向量进行点积，而向量进行点积的最大值，也就是两者共线的时候，也就是说 v 的方向和 d f(x) 方向相同的时候，点积值最大，这个点积值也代表了从A点到B点的上升量。点积说明如下：

而 df(x)正是代表函数值在x处的梯度。前面又说明了v的方向和df(x)方向相同的时候，点积值（变化值）最大，所以说明了梯度方向是函数局部上升最快的方向。也就证明了梯度的负方向是局部下降最快的方向！