R语言贝叶斯Poisson泊松-正态分布模型分析职业足球比赛进球数

我们介绍贝叶斯分析，这个例子是关于职业足球比赛的进球数。

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模型

首先，我们认为职业足球比赛的进球数来自分布，其中θ是平均进球数。现在假设我们用一位足球专家的意见来得出足球比赛的平均进球数，即参数θ，我们得到：。

我们想知道什么？

在这种情况下，我们想知道θ的后验分布是什么样子的，这个分布的平均值是什么。为了做到这一点，我们将在三种情况下分析：

我们有1个观察值x=1，来自分布为的总体。

我们有3个观测值x=c(1,3,5)，来自一个具有分布的总体。

我们有10个观测值x=c(5,4,3,4,3,2,7,2,4,5)，来自一个具有分布的总体。

理论方法

在这里，我想告诉你贝叶斯分析是如何分析的。首先，我们有一个来自具有未知参数θ的泊松分布的人口的似然函数。

我们知道参数θ的先验分布p(θ)是由以下公式给出的。

最后，θ的后验分布为。

其中常数C的计算方法如下。

而后验分布E(θ|x)的平均值由以下公式给出。

计算方法

在这里，你将学习如何在R中使用蒙特卡洛模拟来回答上面提出的问题。对于这三种情况，你将遵循以下步骤。

1. 定义数据

首先，你需要根据方案定义数据。

2. 计算常数C

现在使用蒙特卡洛模拟来计算积分。为此，有必要从先验分布中产生N=10000个值θi，并在似然函数中评估它们。最后，为了得到C，这些值被平均化。R中的代码如下。

3. 寻找后验分布

计算完C后，你可以得到后验分布，如下所示。

4. 计算后验分布的平均数

最后你可以使用蒙特卡洛模拟计算积分来获得后验分布的平均值。

结果

如前所述，上面介绍的代码用于所有三种情况，唯一根据情况变化的是x。在这一节中，我们将为每种情况展示一张图，其中包含θ的先验和后验分布、后验分布的平均值（蓝色虚线）和观测值（粉红色的点）。

第一种情况

第二种情况

第三种情况

结论

从结果中我们可以得出这样的结论：当我们有很少的观测数据时，如图1和图2，由于缺乏样本证据，后验分布将倾向于类似于先验分布。相反，当我们有大量的观测数据时，如图3，后验分布将偏离先验分布，因为数据将有更大的影响。

我希望你喜欢这篇文章并了解贝叶斯统计。我鼓励你用其他分布运行这个程序。