奇异值分解 SVD 的数学解释

奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是一种矩阵分解(Matrix Decomposition)的方法。除此之外,矩阵分解还有很多方法,例如特征分解(Eigendecomposition)、LU分解(LU decomposition)、QR分解(QR decomposition)和极分解(Polar decomposition)等。这篇文章主要说下奇异值分解,这个方法在机器学习的一些算法里占有重要地位。

相关概念

参考自维基百科。

  • 正交矩阵:若一个方阵其行与列皆为正交的单位向量,则该矩阵为正交矩阵,且该矩阵的转置和其逆相等。两个向量正交的意思是两个向量的内积为 0
  • 正定矩阵:如果对于所有的非零实系数向量 zz,都有 zTAz>0z^TAz>0,则称矩阵 AA 是正定的。正定矩阵的行列式必然大于 0, 所有特征值也必然 > 0。相对应的,半正定矩阵的行列式必然 ≥ 0。

定义

下面引用 SVD 在维基百科中的定义

In linear algebra, the singular value decomposition (SVD) is a factorization of a real or complex matrix. It is the generalization of the eigendecomposition of a positive semidefinite normal matrix (for example, a symmetric matrix with positive eigenvalues) to any m×n m\times n matrix via an extension of polar decomposition.

也就是说 SVD 是线代中对于实数矩阵和复数矩阵的分解,将特征分解从 半正定矩阵 推广到任意 m×n m\times n 矩阵。

注意:本篇文章内如未作说明矩阵均指实数矩阵。

求解

举例

假设

那么可以计算得到

接下来就是求这个矩阵的特征值和特征向量了

Numpy 实现

Python 中可以使用 numpy 包的 linalg.svd() 来求解 SVD。

import numpy as np

A = np.array([[2, 4], [1, 3], [0, 0], [0, 0]])
print(np.linalg.svd(A))

输出

(array([[-0.81741556, -0.57604844,  0.        ,  0.        ],
        [-0.57604844,  0.81741556,  0.        ,  0.        ],
        [ 0.        ,  0.        ,  1.        ,  0.        ],
        [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  1.        ]]),
 array([ 5.4649857 ,  0.36596619]),
 array([[-0.40455358, -0.9145143 ],
        [-0.9145143 ,  0.40455358]]))

END

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