Java数据结构和算法(六)——前缀、中缀、后缀表达式

  前面我们介绍了三种数据结构,第一种数组主要用作数据存储,但是后面的两种栈和队列我们说主要作为程序功能实现的辅助工具,其中在介绍栈时我们知道栈可以用来做单词逆序,匹配关键字符等等,那它还有别的什么功能吗?以及数据结构与本篇博客的主题前缀、中缀、后缀表达式有什么关系呢?

1、人如何解析算术表达式

  如何解析算术表达式?或者换种说法,遇到某个算术表达式,我们是如何计算的:

①、求值 3+4-5

  这个表达式,我们在看到3+4后都不能直接计算3+4的值,知道看到4后面的 - 号,因为减号的优先级和前面的加号一样,所以可以计算3+4的值了,如果4后面是 * 或者 /,那么就要在乘除过后才能做加法操作,比如:

②、求值 3+4*5

  这个不能先求3+4的值,因为4后面的*运算级别比前面的+高。通过这两个表达式的说明,我们可以总结解析表达式的时候遵循的几条规则:

①、从左到右读取算式。

  ②、已经读到了可以计算值的两个操作数和一个操作符时,可以计算,并用计算结果代替那两个操作数和一个操作符。

  ③、继续这个过程,从左到右,能算就算,直到表达式的结尾。

2、计算机如何解析算术表达式

  对于前面的表达式 3+4-5,我们人是有思维能力的,能根据操作符的位置,以及操作符的优先级别能算出该表达式的结果。但是计算机怎么算?

  计算机必须要向前(从左到右)来读取操作数和操作符,等到读取足够的信息来执行一个运算时,找到两个操作数和一个操作符进行运算,有时候如果后面是更高级别的操作符或者括号时,就必须推迟运算,必须要解析到后面级别高的运算,然后回头来执行前面的运算。我们发现这个过程是极其繁琐的,而计算机是一个机器,只认识高低电平,想要完成一个简单表达式的计算,我们可能要设计出很复杂的逻辑电路来控制计算过程,那更不用说很复杂的算术表达式,所以这样来解析算术表达式是不合理的,那么我们应该采取什么办法呢?

  请大家先看看什么是前缀表达式,中缀表达式,后缀表达式:这三种表达式其实就是算术表达式的三种写法,以 3+4-5为例

  ①、前缀表达式:操作符在操作数的前面,比如 +-543

  ②、中缀表达式:操作符在操作数的中间,这也是人类最容易识别的算术表达式 3+4-5

  ③、后缀表达式:操作符在操作数的后面,比如 34+5-

  上面我们讲的人是如何解析算术表达式的,也就是解析中缀表达式,这是人最容易识别的,但是计算机不容易识别,计算机容易识别的是前缀表达式和后缀表达式,将中缀表达式转换为前缀表达式或者后缀表达式之后,计算机能很快计算出表达式的值,那么中缀表达式是如何转换为前缀表达式和后缀表达式,以及计算机是如何解析前缀表达式和后缀表达式来得到结果的呢?

3、后缀表达式

  后缀表达式,指的是不包含括号,运算符放在两个运算对象的后面,所有的计算按运算符出现的顺序,严格从左向右进行(不再考虑运算符的优先规则)。

  由于后缀表达式的运算符在两个操作数的后面,那么计算机在解析后缀表达式的时候,只需要从左向右扫描,也就是只需要向前扫描,而不用回头扫描,遇到运算符就将运算符放在前面两个操作符的中间(这里先不考虑乘方类似的单目运算),一直运算到最右边的运算符,那么就得出运算结果了。既然后缀表达式这么好,那么问题来了:

  ①、如何将中缀表达式转换为后缀表达式?

  对于这个问题,转换的规则如下:

  一、先自定义一个栈

package com.ys.poland;

public class MyCharStack {
	private char[] array;
	private int maxSize;
	private int top;
	
	public MyCharStack(int size){
		this.maxSize = size;
		array = new char[size];
		top = -1;
	}
	
	//压入数据
	public void push(char value){
		if(top < maxSize-1){
			array[++top] = value;
		}
	}
	
	//弹出栈顶数据
	public char pop(){
		return array[top--];
	}
	
	//访问栈顶数据
	public char peek(){
		return array[top];
	}
	
	//查看指定位置的元素
	public char peekN(int n){
		return array[n];
	}
	
	//为了便于后面分解展示栈中的内容,我们增加了一个遍历栈的方法(实际上栈只能访问栈顶元素的)
	public void displayStack(){
		System.out.print("Stack(bottom-->top):");
		for(int i = 0 ; i < top+1; i++){
			System.out.print(peekN(i));
			System.out.print(' ');
		}
		System.out.println("");
	}
	
	//判断栈是否为空
	public boolean isEmpty(){
		return (top == -1);
	}
	
	//判断栈是否满了
	public boolean isFull(){
		return (top == maxSize-1);
	}

}

  二、前缀表达式转换为后缀表达式

package com.ys.poland;

public class InfixToSuffix {
	private MyCharStack s1;//定义运算符栈
	private MyCharStack s2;//定义存储结果栈
	private String input;
	
	//默认构造方法,参数为输入的中缀表达式
	public InfixToSuffix(String in){
		input = in;
		s1 = new MyCharStack(input.length());
		s2 = new MyCharStack(input.length());
	}
	//中缀表达式转换为后缀表达式,将结果存储在栈中返回,逆序显示即后缀表达式
	public MyCharStack doTrans(){
		for(int j = 0 ; j < input.length() ; j++){
			System.out.print("s1栈元素为:");
			s1.displayStack();
			System.out.print("s2栈元素为:");
			s2.displayStack();
			char ch = input.charAt(j);
			System.out.println("当前解析的字符:"+ch);
			switch (ch) {
			case '+':
			case '-':
				gotOper(ch,1);
				break;
			case '*':
			case '/':
				gotOper(ch,2);
				break;
			case '(':
				s1.push(ch);//如果当前字符是'(',则将其入栈
				break;
			case ')':
				gotParen(ch);
				break;
			default:
				//1、如果当前解析的字符是操作数,则直接压入s2
				//2、
				s2.push(ch);
				break;
			}//end switch
		}//end for
		
		while(!s1.isEmpty()){
			s2.push(s1.pop());
		}
		return s2;
	}
	
	public void gotOper(char opThis,int prec1){
		while(!s1.isEmpty()){
			char opTop = s1.pop();
			if(opTop == '('){//如果栈顶是'(',直接将操作符压入s1
				s1.push(opTop);
				break;
			}else{
				int prec2;
				if(opTop == '+' || opTop == '-'){
					prec2 = 1;
				}else{
					prec2 = 2;
				}
				if(prec2 < prec1){//如果当前运算符比s1栈顶运算符优先级高,则将运算符压入s1
					s1.push(opTop);
					break;
				}else{//如果当前运算符与栈顶运算符相同或者小于优先级别,那么将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中
					//并且要再次再次转到while循环中与 s1 中新的栈顶运算符相比较;
					s2.push(opTop);
				}
			}
			
		}//end while
		//如果s1为空,则直接将当前解析的运算符压入s1
		s1.push(opThis);
	}
	
	//当前字符是 ')' 时,如果栈顶是'(',则将这一对括号丢弃,否则依次弹出s1栈顶的字符,压入s2,直到遇到'('
	public void gotParen(char ch){
		while(!s1.isEmpty()){
			char chx = s1.pop();
			if(chx == '('){
				break;
			}else{
				s2.push(chx);
			}
		}
	}

}

  三、测试

@Test
public void testInfixToSuffix(){
	String input;
	System.out.println("Enter infix:");
	Scanner scanner = new Scanner(System.in);
	input = scanner.nextLine();
	InfixToSuffix in = new InfixToSuffix(input);
	MyCharStack my = in.doTrans();
	my.displayStack();
}

  四、结果

   五、分析

  ②、计算机如何实现后缀表达式的运算?

package com.ys.poland;

public class CalSuffix {
	private MyIntStack stack;
	private String input;
	
	public CalSuffix(String input){
		this.input = input;
		stack = new MyIntStack(input.length());
		
	}
	
	public int doCalc(){
		int num1,num2,result;
		for(int i = 0 ; i < input.length() ; i++){
			char c = input.charAt(i);
			if(c >= '0' && c <= '9'){
				stack.push((int)(c-'0'));//如果是数字,直接压入栈中
			}else{
				num2 = stack.pop();//注意先出来的为第二个操作数
				num1 = stack.pop();
				switch (c) {
				case '+':
					result = num1+num2;
					break;
				case '-':
					result = num1-num2;
					break;
				case '*':
					result = num1*num2;
					break;
				case '/':
					result = num1/num2;
					break;
				default:
					result = 0;
					break;
				}//end switch
				
				stack.push(result);
			}//end else
		}//end for
		result = stack.pop();
		return result;
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		//中缀表达式:1*(2+3)-5/(2+3) = 4
		//后缀表达式:123+*123+/-
		CalSuffix cs = new CalSuffix("123+*523+/-");
		System.out.println(cs.doCalc()); //4
	}

}

4、前缀表达式

  前缀表达式,指的是不包含括号,运算符放在两个运算对象的前面,严格从右向左进行(不再考虑运算符的优先规则),所有的计算按运算符出现的顺序。

  注意:后缀表达式是从左向右解析,而前缀表达式是从右向左解析。

  ①、如何将中缀表达式转换为前缀表达式?

  ②、计算机如何实现前缀表达式的运算?

参考文档:http://blog.csdn.net/antineutrino/article/details/6763722/  

参考书籍:《Java数据结构和算法》  

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