重温数据结构:二叉树的常见方法及三种遍历方式 Java 实现

树的分类有很多种,但基本都是 二叉树 的衍生,今天来学习下二叉树。

什么是二叉树 Binary Tree

先来个定义:

二叉树是有限个节点的集合,这个集合可以是空集,也可以是一个根节点和至多两个子二叉树组成的集合,其中一颗树叫做根的左子树,另一棵叫做根的右子树。

简单地说,二叉树是每个节点至多有两个子树的树,下面的家谱就是一个形象的二叉树:

二叉树的定义是一个递归的定义,其中值得注意的是左右子树的概念,因为有左、右之分,下面两棵树并不是同样的二叉树:

两种特殊的二叉树

有两种特殊的二叉树:

  • 满二叉树
  • 完全二叉树

满二叉树

在上文 树及 Java 实现 中我们介绍了 树的高度 的定义,而这里 满二叉树 的定义是:

如果一棵树的高度为 k,且拥有 2^k-1 个节点,则称之为 满二叉树。

什么意思呢?

就是说,每个节点要么必须有两棵子树,要么没有子树。

完全二叉树

完全二叉树是一种特殊的二叉树,满足以下要求:

  1. 所有叶子节点都出现在 k 或者 k-1 层,而且从 1 到 k-1 层必须达到最大节点数;
  2. 第 k 层可是不是慢的,但是第 k 层的所有节点必须集中在最左边。

简单地说, 就是叶子节点都必须在最后一层或者倒数第二层,而且必须在左边。任何一个节点都不能没有左子树却有右子树。

满二叉树 和 完全二叉树 的对比图

来一张图对比下两者:

二叉树的实现

二叉树的实现比普通树简单,因为它最多只有两个节点嘛。

用 递归节点实现法/左右链表示法 表示一个二叉树节点

public class BinaryTreeNode {
    /*
     * 一个二叉树包括 数据、左右孩子 三部分
     */
    private int mData;
    private BinaryTreeNode mLeftChild;
    private BinaryTreeNode mRightChild;

    public BinaryTreeNode(int data, BinaryTreeNode leftChild, BinaryTreeNode rightChild) {
        mData = data;
        mLeftChild = leftChild;
        mRightChild = rightChild;
    }

    public int getData() {
        return mData;
    }

    public void setData(int data) {
        mData = data;
    }

    public BinaryTreeNode getLeftChild() {
        return mLeftChild;
    }

    public void setLeftChild(BinaryTreeNode leftChild) {
        mLeftChild = leftChild;
    }

    public BinaryTreeNode getRightChild() {
        return mRightChild;
    }

    public void setRightChild(BinaryTreeNode rightChild) {
        mRightChild = rightChild;
    }
}

用这种实现方式表示的节点创建的树,结构如右图所示:

用 数组下标表示法 表示一个节点

public class BinaryTreeArrayNode {
    /**
     * 数组实现,保存的不是 左右子树的引用,而是数组下标
     */
    private int mData;
    private int mLeftChild;
    private int mRightChild;

    public int getData() {
        return mData;
    }

    public void setData(int data) {
        mData = data;
    }

    public int getLeftChild() {
        return mLeftChild;
    }

    public void setLeftChild(int leftChild) {
        mLeftChild = leftChild;
    }

    public int getRightChild() {
        return mRightChild;
    }

    public void setRightChild(int rightChild) {
        mRightChild = rightChild;
    }
}

一般使用左右链表示的节点来构造二叉树。

二叉树的主要方法

有了节点后接下来开始构造一个二叉树,二叉树的主要方法有:

  • 创建
  • 添加元素
  • 删除元素
  • 清空
  • 遍历
  • 获得树的高度
  • 获得树的节点数
  • 返回某个节点的父亲节点

1.二叉树的创建

创建一个二叉树很简单,只需要有一个 二叉根节点,然后提供设置根节点的方法即可:

public class BinaryTree {
    private BinaryTreeNode mRoot;   //根节点

    public BinaryTree() {
    }

    public BinaryTree(BinaryTreeNode root) {
        mRoot = root;
    }

    public BinaryTreeNode getRoot() {
        return mRoot;
    }

    public void setRoot(BinaryTreeNode root) {
        mRoot = root;
    }
}       

2.二叉树的添加元素

由于二叉树有左右子树之分,所以添加元素时也分为两种情况:添加为左子树还是右子树:

 public void insertAsLeftChild(BinaryTreeNode child){
        checkTreeEmpty();
        mRoot.setLeftChild(child);
    }

    public void insertAsRightChild(BinaryTreeNode child){
        checkTreeEmpty();
        mRoot.setRightChild(child);
    }

    private void checkTreeEmpty() {
        if (mRoot == null){
            throw new IllegalStateException("Can't insert to a null tree! Did you forget set value for root?");
        }
    }

在每次插入前都会检查 根节点是否为空,如果是就抛出异常(跟 Android 源码学的嘿嘿)。

3.二叉树的删除元素

删除某个元素很简单,只需要把自己设为 null。

但是为了避免浪费无用的内存,方便 GC 及时回收,我们还需要遍历这个元素的左右子树,挨个设为空:

public void deleteNode(BinaryTreeNode node){
    checkTreeEmpty();
    if (node == null){  //递归出口
        return;
    }
    deleteNode(node.getLeftChild());
    deleteNode(node.getRightChild());
    node = null;
}

4.二叉树的清空

二叉树的清空其实就是特殊的删除元素–删除根节点,因此很简单:

public void clear(){
    if (mRoot != null){
        deleteNode(mRoot);
    }
}

5.获得二叉树的高度

二叉树中,树的高度是 各个节点度的最大值。

因此获得树的高度需要递归获取所有节点的高度,然后取最大值。

   /**
     * 获取树的高度 ,特殊的获得节点高度
     * @return
     */
    public int getTreeHeight(){
        return getHeight(mRoot);
    }
    /**
     * 获得指定节点的度
     * @param node
     * @return
     */
    public int getHeight(BinaryTreeNode node){
        if (node == null){      //递归出口
            return 0;
        }
        int leftChildHeight = getHeight(node.getLeftChild());
        int rightChildHeight = getHeight(node.getRightChild());

        int max = Math.max(leftChildHeight, rightChildHeight);

        return max + 1; //加上自己本身
    }

6.获得二叉树的节点数

获得二叉树的节点数,需要遍历所有子树,然后加上总和。

public int getSize(){
    return getChildSize(mRoot);
}

/**
 * 获得指定节点的子节点个数
 * @param node
 * @return
 */
public int getChildSize(BinaryTreeNode node){
    if (node == null){
        return 0;
    }
    int leftChildSize = getChildSize(node.getLeftChild());
    int rightChildSize = getChildSize(node.getRightChild());

    return leftChildSize + rightChildSize + 1;
}

7.获得某个节点的父亲节点

由于我们使用左右子树表示的节点,不含有父亲节点引用,因此有时候可能也需要一个方法,返回二叉树中,指定节点的父亲节点。

需要从顶向下遍历各个子树,若该子树的根节点的孩子就是目标节点,返回该节点,否则递归遍历它的左右子树:

/**
 * 获得指定节点的父亲节点
 * @param node
 * @return
 */
public BinaryTreeNode getParent(BinaryTreeNode node) {
    if (mRoot == null || mRoot == node) {   //如果是空树,或者这个节点就是根节点,返回空
        return null;
    } else {
        return getParent(mRoot, node);  //否则递归查找 父亲节点
    }
}

/**
 * 递归对比 节点的孩子节点 与 指定节点 是否一致
 *
 * @param subTree 子二叉树根节点
 * @param node    指定节点
 * @return
 */
public BinaryTreeNode getParent(BinaryTreeNode subTree, BinaryTreeNode node) {
    if (subTree == null) {       //如果子树为空,则没有父亲节点,递归出口 1
        return null;
    }
    //正好这个根节点的左右孩子之一与目标节点一致
    if (subTree.getLeftChild() == node || subTree.getRightChild() == node) {    //递归出口 2
        return subTree;
    }
    //需要遍历这个节点的左右子树
    BinaryTreeNode parent;
    if ((parent = getParent(subTree.getLeftChild(), node)) != null) { //左子树节点就是指定节点,返回
        return parent;
    } else {
        return getParent(subTree.getRightChild(), node);    //从右子树找找看
    }

}

二叉树的遍历

二叉树的遍历单独介绍,是因为太重要了!以前考试就老考这个。

前面的那些操作可以发现,二叉树的递归数据结构使得很多操作都可以使用递归进行。

而二叉树的遍历其实也是个 递归遍历的过程,使得每个节点被访问且仅访问一次。

根据不同的场景中,根节点、左右子树遍历的顺序,二叉树的遍历分为三种:

  • 先序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历

这里先序、中序、后序指的是 根节点相对左右子树的遍历顺序。

先序遍历

即根节点在左右子树之前遍历:

  • 先访问根节点
  • 再先序遍历左子树
  • 再先序遍历右子树
  • 退出

代码:

/**
 * 先序遍历
 * @param node
 */
public void iterateFirstOrder(BinaryTreeNode node){
    if (node == null){
        return;
    }
    operate(node);
    iterateFirstOrder(node.getLeftChild());
    iterateFirstOrder(node.getRightChild());
}

/**
 * 模拟操作
 * @param node
 */
public void operate(BinaryTreeNode node){
    if (node == null){
        return;
    }
    System.out.println(node.getData());
}

中序遍历

遍历顺序:

  • 先中序遍历左子树
  • 再访问根节点
  • 再中序遍历右子树
  • 退出

代码:

/**
 * 中序遍历
 * @param node
 */
public void iterateMediumOrder(BinaryTreeNode node){
    if (node == null){
        return;
    }
    iterateMediumOrder(node.getLeftChild());
    operate(node);
    iterateMediumOrder(node.getRightChild());
}

后序遍历

即根节点在左右子树之后遍历:

  • 先后序遍历左子树
  • 再后序遍历右子树
  • 最后访问根节点
  • 退出

代码:

/**
 * 后序遍历
 * @param node
 */
public void iterateLastOrder(BinaryTreeNode node){
    if (node == null){
        return;
    }
    iterateLastOrder(node.getLeftChild());
    iterateLastOrder(node.getRightChild());
    operate(node);
}

遍历小结

可以看到,三种遍历方式的区别就在于递归的先后。

以上图为例,三种遍历结果:

先序遍历: 1 2 4 5 7 3 6

中序遍历: 4 2 7 5 1 3 6

后序遍历: 4 7 5 2 6 3 1

总结

这篇文章介绍了 数据结构中的二叉树的基本概念,常用操作以及三种遍历方式。

其中三种遍历方式一般在面试中可能会考察,给你两种遍历结果,让你画出实际的二叉树结构。只要掌握三种遍历方式的区别,即可解答。

一道笔试题

二叉树遍历

题目描述

给定一棵二叉树的前序遍历和中序遍历,求其后序遍历(提示:给定前序遍历与中序遍历能够唯一确定后序遍历)。

输入:

两个字符串,其长度n均小于等于26。 第一行为前序遍历,第二行为中序遍历。 二叉树中的结点名称以大写字母表示:A,B,C….最多26个结点。

输出: 输入样例可能有多组,对于每组测试样例, 输出一行,为后序遍历的字符串。

样例输入:

FDXEAG XDEFAG

样例输出是多少呢?

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