最小二乘回归的Python实现

写在前面

我们构建了非常强大的私募基金数据库，并基于这个数据库，衍生出了FOF Easy数据可视化终端和FOF Power组合基金管理系统，涉及到非常多复杂的模型及算法。在背后支撑着的，是我们可爱又有实力的研发同志们，他们大多有着非常深厚的金融统计背景。因此，私募云通将在接下来一段时间内，推出《用Python玩转统计模型》系列，用最通俗易懂的语言带你走进统计模型的世界。

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什么是OLS回归？

回归分析是实现从数据到价值的不二法门。

它主要包括线性回归、0-1回归、定序回归、计数回归，以及生存回归五种类型。

我们来讨论最基础的情况——一元线性回归。它有如下数学模型：

其中，a 为截距，b为模型的回归系数，ε为误差项。

a和 b 是模型的参数。我们的目标就是选择合适的参数，让这一线性模型最好地拟合观测值。

最常见的拟合方法是最小二乘法，即OLS回归。它时刻关注着实际测量数据，以及拟合直线上的相应估计值，目的是使二者之间的残差有最小的平方和。即：

为了使残差的平方和最小，我们只需要分别对a、b求偏导，然后令偏导数等于0。立即推出a、b值：

总之，OLS回归的原理是，当预测值和实际值距离的平方和最小时，我们就选定模型中的参数。

OLS模型能反映出最真实的关系吗？

答案是否定的。

但是由于它的计算成本低，并且相比复杂模型更容易解释，因此OLS回归被广泛地接受。

模型估计出来后，我们要回答的问题是——这个模型对因变量的解释力如何。

R²是“在这个回归关系当中，因变量的变异能被自变量解释的比例”。它的值越接近1，说明回归直线对观测值的拟合程度越好。

P 值是用来判定假设检验结果的另一个参数。它是指统计概要与实际观测数据相同的概率，如果P值很小，说明原假设情况发生的概率很小。但偏偏这个小概率事件出现了，这时，根据小概率原理，我们就有理由拒绝原假设。总之，P值越小，表明该模型越可信。一般情况下，P值小于0.05，我们就认为结果显著，通过了5%的显著性检验。

利用Python实现OLS回归

数据简介

我们以鹏华资产-清水源(JR000001)为例，对该基金近两年的周频复权累计净值收益率关于沪深300指数和中证500指数的收益率进行简单的ols回归。

OLS实证

1）从MYSQL读取数据

2）调取样本基金的复权累计净值数据

3）数据处理和计算

4）建立OLS回归模型

OLS回归结果分析

OLS的回归结果如下：

其中x1和x2分别代表沪深300和中证500指数的收益率，左下coef的一列就是计算出的回归系数。从上表（右上角）可以看出，R2值达到了0.839，表示我们的回归关系可以解释因变量83%以上的变异，该回归模型对观测值的拟合程度较好。

上图中P值显示，中证500收益率的系数显著；但沪深300收益率的系数并不显著，没有通过5%的显著性检验。

总结

OLS回归在计算成本等方面占有一定优势，但有时不太具有说服力。例如，模型可能存在异方差性。这时我们如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，就会产生一系列不良的后果，如：参数估计量非有效、变量的显著性检验失去意义、模型的预测失效等。

所以，在本文中我们首先进行简单的ols回归。在后续报告中，私募云通小伙伴继续带您用python玩转各种统计模型，敬请期待。