机器学习在统计套利中的应用

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1. 简介

在投资领域，统计套利通常是指利用数学模型捕捉定价的无效性从而获利的过程。基本的假设是，价格将向历史平均回归。最常用且最简单的统计套利例子就是配对交易。如果股票P和Q属于同一行业或具有相似的特性，我们预期这两只股票的回报是相互跟踪的。因此，如果Pt和Qt分别代表相应的价格时间序列，我们对系统建模如下

其中Xt表示一个均值回复的Ornstein-Uhlenbeck随机过程。

在我们感兴趣的许多例子中，漂移项α相比Xt的波动非常小，因此经常被直接忽略。模型显示了一个反向投资策略，当Xt很小的时候，我们可以做多一美元的股票P同时做空β美元的股票Q；反过来，如果Xt很大的时候，我们可以空股票P同时多股票Q。

这种类型的配对交易机会取决于相似资产对的存在，因此是有限的。在这里，我们对配对交易进行自然延伸，称为指数套利。我们开发的交易系统试图捕捉目标资产与合成人造资产之间的差异。目标资产为伦敦证券交易所上市的iShares FTSE/MACQ；合成人造资产由一个数据流表示，来自于被认为与目标流相关的大量解释流数据集的线性组合。在我们的例子中，我们使用富时100指数的100只股票价格数据来复制目标资产。

我们首先对100只成分股做线性回归，选取的时间窗口为2009年4月到9月的101个交易日。通过主成分分析提取关键因素后，我们对模型进行校准，并将时间窗口切小到60天。使用的是每只股票的收盘价。这里的重点是将股票价格数据分解为系统性部分和非系统性部分，并对非系统性部分进行统计建模。我们同时使用线性回归和支持向量回归，并收集分解后的残余项。最后，我们对残差项建立自回归模型，研究均值回复特征，从而对目标资产生成交易信号。

2. 线性回归

我们选取2009年4月28日至9月18日共计101天的数据。我们选择这个时间段的原因是，给定100个特征变量，我们至少需要101个观察变量来训练线性回归模型中的101个参数。为了避免参数的过度拟合，我们只使用101个训练例子。

Pt表示目标资产，Qit表示第i只股票在时间t的数据。线性模型可以表示如下，

在Matlab中实现普通最小二乘法算法，我们得到参数θ和训练误差，即残差。

图1：100只成分股线性回归的残差

从图1中，我们看到，实证误差是可以接受的。然而，当我们用训练集以外的30个样本测试这个线性模型时，推广误差远非令人满意，如图2所示。这意味着我们正面临着过度拟合的问题，即使我们使用了可能的最小的训练集。造成这个问题的主要原因还是参数过多。因此，我们采用主成分分析法来降低模型的维度。

图2: 30天检测数据上的推广误差

3. 主成分分析（PCA）

现在，我们使用PCA来分析100只股票。相关矩阵的估计窗口为101天。位于频谱图顶端的特征值与其余大部分具有明显的差异。通过查看图3中相关矩阵的特征值，问题就变得很明显。显然，前20个特征值几乎显示了矩阵的所有信息。

图3：相关矩阵的特征值

现在，我们应用验证规则来寻找，到底使用多少个主成分能让我们得到最小的推广误差。考虑到模型维度的降低，我们重置窗口大小到60天以避免过度拟合的问题。对前20大主成分60天训练集的数据建立多元线性回归模型，我们发现，前12大主成分在30天测试数据上得到的推广误差最小。样本外残差如图4所示。

图4：前12大主成分在30天样本外数据上测试的推广误差

我们快速回顾这12大主成分在60天训练集上的实证误差。从图5中我们可以看到，残差从数量级上来说不如图1令人满意，但是它成功解释了在使用100只成分股时的残差趋势。因此，通过使用PCA降低模型的维度，我们可以避免参数的过度拟合。接下来，我们将利用样本内主成分回归后的残差生成交易信号。

图5：前12大主成分在60天训练集数据上的实证误差

4. 支持向量回归（SVR）

我们对通过主成分分析（PCA）得到的12个特征属性使用支持向量回归（SVR），采用高斯内核并用经验决定内核的宽度、成本和ε（松弛变量）参数。在用Matlab工具箱实现后，从图6和图7的训练误差图和测试误差图中，我们并没有看到这种方法起到了任何改善作用。这里的主要问题是，需要确定合适的SVR参数。

图6：对12大主成分在60天训练集上使用SVR得到的实证误差

图7：对12大主成分在30天测试集上使用SVR得到的实证误差

5. 均值回复过程

我们想要对目标资产的价格进行建模，如此以致得到衡量系统偏离程度的漂移项所占的比例，以及向整体行业水平均值回复的价格波动。当观察到价格波动显著偏离均衡时，我们构建一个交易策略。对股票引入一个参数均值回复模型，Ornstein-Uhlembeck过程，

dX(t)被认为一个平稳随机过程的增量，对价格中没有反映在行业中的非系统性波动进行建模，即前一部分中主成分线性回归的残差。注意，增量dX(t)的无条件期望值为0，条件期望值等于

条件期望值，即预期日收益的预测值，正负取决于（m-X(t)）的符号。

这个过程是平稳的，可以通过一阶自回归模型进行估计。我们使用时间长度为60天的残差，并假设这个参数在整个窗口中是恒定的。事实上，模型显示如下，

其中，

因此，我们得到

6. 生成信号

我们定义一个标量，称为s-score，

s-score度量的是合成残差与单位标准差均衡之间的距离，即在我们的模型中，给定股票距离理论均衡值的距离。根据该领域的实证研究，我们基于均值回复的基础信号为

（1）当s < -1.25时，买入iShare FTSE；

（2）当s > 1.25时，卖出iShare FTSE；

（3）当s < 0.75时，平掉iShare FTSE的空头仓位；

（3）当s > -0.75时，平掉iShare FTSE的多头仓位；

基本逻辑是，只有当s-score远离均衡，且只有当我们认为我们检测到满足协整关系的残差出现异常变动时，才会开仓，然后当s-score接近水平0时平仓，因为我们预计大多数股票大部分时间是接近平衡的。因此，我们的交易规则是检测股票的大波动进行交易，并假设这个波动最终将回归平均。图8显示了在训练集中的60天里产生的信号。

图8: 60天里的交易信号

7. 总结

我们注意到在建立线性回归时，PCA有效地帮助了在100个特征属性中进行降维，从而摆脱过度拟合的问题。然而，我们看到，为了有效使用支持向量回归，关于学习SVR参数的技术还有待开发。我们看到，在测试数据（60天数据）上，当数值低的时候买入iShare FTSE，在数据高时卖出iShare FTSE，是具有盈利能力的。另一方面，在未来，非系统性因子可能表现出不规律性，可能导致指数系统性表现不佳或者显著优于PCA选择出来的重要因子，这可能会严重损害我们方法的有效性。为了实现一个系统的方法，持续学习可能是一个值得尝试的办法，根据最新信息更新我们的特征集。