人工智能AI（4）：线性代数之行列式

行列式是数学中的一个函数，将一个的矩阵映射到一个标量，记作。

1 维基百科定义

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。

一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下：

其中，Sn是集合{ 1, 2, ...,n}上置换的全体，即集合{ 1, 2, ...,n}到自身上的一一映射（双射）的全体；

2阶矩阵的行列式：

3阶矩阵的行列式：

计算行列式的可以按照如下图去理解。

（以上来自维基百科）

2 知乎定义

理论上比较难得懂，缺少一点只管的感受？那我们继续看看知乎上的解释。

1，行列式是针对一个的矩阵而言的。表示一个维空间到维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成维空间中的一个新立方体。

2，原来立方体有一个体积，新的立方体也有一个体积。

3，行列式是一个数对不对？这个数其实就是，结束了。

就这么简单？没错，就这么简单。

所以说：行列式的本质就是一句话：行列式就是线性变换的放大率！

理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质：道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！

你先进行一个变换，再进行一个变换，放大两次的放大率，就是式子左边。你把“先进行变换，再进行变换”定义作一个新的变换，叫做，新变换的放大律就是式子右边。然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像：“ 你经过股票投资，把1块钱放大3被变成了3块钱，然后经过实业投资，把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少？”3 *5 = 15。翻译成线性代数的表达就是：

这还不够！我来解锁新的体验哈~

行列式其实就是线性变换的放大率，所以你理解了：那么很自然，你很轻松就理解了：

，因为

同时你也必须很快能理解了

因为再自然不过了啊，试想是什么意思呢？不就是线性变换把之前说的维立方体给拍扁了啊？！这就是《三体》中的”降维打击”有木有！！！如来神掌有木有！！！直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

请注意我们这里说的体积都是针对维空间而言的，就表示新的立方体在维空间体积为0，但是可能在维还是有体积的，只是在维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是妥妥的0。

所以凡是的矩阵都是耍流氓，因为这样的变换以后就再也回不去了，降维打击是致命性的。这样的矩阵必然是没有逆矩阵的。这就是物理意义和图象思维对理解数学概念的重要性。

（以上来自知乎童哲，链接：https://www.zhihu.com/question/36966326/answer/70687817）

3 行列式与二元线性方程组

假设有如下二元一次方程组

利用消元法求解以及求解：

转换成行列式形式如下：

可以参考1中2阶行列式的求值公式。

小作业：使用行列式解以下线性方程组