主成分分析降维(MNIST数据集)

今天看了用主成分分析简化数据,就顺便用MNIST数据集做了下实验,想直观地看一下效果,并通过完成这个小demo深入理解下原理。

我发现“是什么、能做什么、怎么用、效果是什么、原理是什么、优缺点是什么”这样的思路能让我更好地接受一个新知识,之所以把原理放在效果后面,是因为我比较喜欢先看看它的作用,可视化意义之后能提起我对一个知识的兴趣,加深对它意义的理解,后面看数学原理会容易,所以整篇文章就以这样的思路组织整理。

主成分分析是什么

主成分分析(Principal Component Analysis,PCA),一种降维方法,在PCA中,数据从原来的坐标系转换到了新的坐标系,新坐标系由数据本身决定,在新坐标系中,第一个坐标轴选择的是原始数据中方差最大的方向,第二个坐标轴选择的是和第一个坐标轴正交且具有最大方差的方向。该过程一直重复,重复次数为原始数据中特征的数目。我们会发现,大部分方差都包含在最前面的几个新坐标轴中。因此,我们可以忽略余下的坐标轴,即对数据进行了降维处理。

初看这段话感觉是抽象的。方差大意味着什么?方差是衡量源数据和期望值相差的度量值,方差越大,数据差别越大。选择方差最大的方向,就是选择数据差别最大的方向。重复特征数目次,就是说找第一个特征(第一维)方差最大的方向(即覆盖数据点最多的一条直线),做第一个轴,正交且最大方差方向做第二个轴,在此基础上再看第二个特征(第二维),找方差最大方向做第一个轴,正交且最大方差方向做第二个轴,依次类推。这样执行后会发现前几个坐标轴已经差不多囊括所有大差异了,剩下的就不要了,所以实现了降维。

上面从理论上讲了主成分分析和它是如何一步一步实现降维的,有一个感性认识。

主成分分析能做什么

降维,在多个指标中只取重要的几个指标,能使复杂问题简单化,就像说话说重点一样。

主成分分析怎么用

要做的事就是使用tensorflow里的MNIST数据集,取前100张图片中所有的手写数字7图片,对他们进行主成分分析,输出经过降维反变换回去的图片,对比差异,看看降维后的效果。

引入MNIST数据集、numpy和PIL的Image

import tensorflow.examples.tutorials.mnist.input_data as input_data import numpy as np from PIL import Image

获得MNIST数据集的所有图片和标签

mnist = input_data.read_data_sets("MNIST_data/", one_hot=False) 
imgs = mnist.train.images 
labels = mnist.train.labels

这里可以看看imgs和labels的type和shape,对于一个python初学者来说总是想搞清楚各个变量的类型和长相。

print(type(imgs))             # <type 'numpy.ndarray'>
print(type(labels))           # <type 'numpy.ndarray'>
print(imgs.shape)             # (55000, 784)
print(labels.shape)           # (55000,)

取前1000张图片里的100个数字7

origin_7_imgs = [] for i in range(1000):    
if labels[i] == 7 and len(origin_7_imgs) < 100:        
origin_7_imgs.append(imgs[i])

看看shape

print(np.array(origin_7_imgs).shape) # (100, 784)

把10张图片排成2x5的表格

由于一张图片是一个784维的一维数组,变成我们想看的图片就需要把它reshape成28x28的二维数组,然后再用Image里的方法,把它拼成一张2x5的大图。

由于tensorflow中MNIST都是灰度图(L),所以shape是(55000,784),每张图的dtype是float32,如果是彩色图(RGB),shape可能是(55000,784,3),图的dtype是uint8,从array转到Image需要用下面的方法:

def array_to_img(array): array=array*255 new_img=Image.fromarray(array.astype(np.uint8)) return new_img

拼图

def comb_imgs(origin_imgs, col, row, each_width, each_height, new_type): new_img = Image.new(new_type, (col* each_width, row* each_height)) for i in range(len(origin_imgs)): each_img = array_to_img(np.array(origin_imgs[i]).reshape(each_width, each_width)) # 第二个参数为每次粘贴起始点的横纵坐标。在本例中,分别为(0,0)(28,0)(28*2,0)依次类推,第二行是(0,28)(28,28),(28*2,28)类推 new_img.paste(each_img, ((i % col) * each_width, (i / col) * each_width)) returnnew_img

效果图

ten_origin_7_imgs=comb_imgs(origin_7_imgs, 10, 10, 28, 28, 'L') ten_origin_7_imgs.show()

数字7原图

实现主成分分析算法(详细代码解析在文章后面的原理部分)

def pca(data_mat, top_n_feat=99999999): """ 主成分分析: 输入:矩阵data_mat ,其中该矩阵中存储训练数据,每一行为一条训练数据 保留前n个特征top_n_feat,默认全保留 返回:降维后的数据集和原始数据被重构后的矩阵(即降维后反变换回矩阵)

""" # 获取数据条数和每条的维数 num_data,dim = data_mat.shape print(num_data) # 100 print(dim) # 784 # 数据中心化,即指变量减去它的均值 mean_vals = data_mat.mean(axis=0) #shape:(784,) mean_removed = data_mat - mean_vals # shape:(100, 784) # 计算协方差矩阵(Find covariance matrix) cov_mat = np.cov(mean_removed, rowvar=0) # shape:(784, 784) # 计算特征值(Find eigenvalues and eigenvectors) eig_vals, eig_vects = linalg.eig(mat(cov_mat)) # 计算特征值和特征向量,shape分别为(784,)和(784, 784) eig_val_index = argsort(eig_vals) # 对特征值进行从小到大排序,argsort返回的是索引,即下标 eig_val_index = eig_val_index[:-(top_n_feat + 1) : -1] # 最大的前top_n_feat个特征的索引 # 取前top_n_feat个特征后重构的特征向量矩阵reorganize eig vects, # shape为(784, top_n_feat),top_n_feat最大为特征总数 reg_eig_vects = eig_vects[:, eig_val_index] # 将数据转到新空间 low_d_data_mat = mean_removed * reg_eig_vects # shape: (100, top_n_feat), top_n_feat最大为特征总数 recon_mat = (low_d_data_mat * reg_eig_vects.T) + mean_vals # 根据前几个特征向量重构回去的矩阵,shape:(100, 784)

return low_d_data_mat, recon_mat

调用PCA进行降维

low_d_feat_for_7_imgs, recon_mat_for_7_imgs = pca(np.array(origin_7_imgs), 1) # 只取最重要的1个特征 print(low_d_feat_for_7_imgs.shape) # (100, 1) print(recon_mat_for_7_imgs.shape) # (100, 784)

看降维后只用1个特征向量重构的效果图

low_d_img = comb_imgs(recon_mat_for_7_imgs, 10, 10, 28, 28, 'L') low_d_img.show()

数字7降维后的图

主成分分析效果是什么

降维前后对比图

不难发现降维后数字7长得规则多了,或许降维后再用tensorflow入门教程的softmax进行分类accuracy会更高。

主成分分析的原理是什么

前面转坐标轴从理论上考虑,这里主要从数学的角度考虑。

第一个主成分是数据差异最大(方差最大)的方向,第二个主成分是数据差异次大且与第一个主成分正交的方向。通过数据集的协方差矩阵及其特征值分析,就能求得这些主成分的值。

统计学中的几个概念

平均值

这个最为熟悉最不容易忘记,描述样本集合的中间点。

标准差

描述样本集合中各个点到平均值的距离。

方差

标准差的平方。

协方差

方差是用来描述一维数据的,协方差用来描述二维数据,用来描述两个随机变量之间的关系,如果是正值,则说明两变量正相关,负值,说明负相关,0,说明不相关,即相互独立。

从公式可以看出协方差的一些性质: 1、cov(X, X) = var(X) 2、cov(X,Y) = cov(Y, X)

协方差矩阵

协方差可以描述二维数据,但是对于多维数据来说,我们只能两个点两个点地计算多次协方差,一个n维数据,我们需要计算C(n, 2)=A(n,2)/2=n!/((n-2)!*2)个协方差,自然就需要用矩阵来组织这些数据。所以协方差矩阵的定义为:

协方差矩阵

比如数据集有三个维度,X,Y,Z,则协方差矩阵为

三维协方差矩阵

可见,矩阵的对角线为方差,由于cov(X,Y) = cov(Y, X),所以是一个对称矩阵。

注意,协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差,不是不同样本之间的协方差。

结合代码分析原理

目的就是找出差异最大的方向,也就是影响最大的几个特征,数学上通过协方差矩阵来找差异最大的特征,排序,最后找到降维后的特征矩阵。

# 数据中心化,即指变量减去它的均值 mean_vals = data_mat.mean(axis=0) #shape:(784,) mean_removed = data_mat - mean_vals # shape:(100, 784) # 计算协方差矩阵(Find covariance matrix) cov_mat = np.cov(mean_removed, rowvar=0)

协方差矩阵需要计算平均值,上面强调了计算的是不同维度的协方差,数据每行是一个样本,每列是一个维度,因此计算的是列的平均值,即axis=0,因此shape为(784,)。使用np的cov函数计算协方差矩阵,api入下:

numpy.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None)[source]

**rowvar代表是否转置。在API里,默认rowvar是True,也就是行是variable,列是observation,我们这里列是observation,行是variable。

** eig_vals, eig_vects = linalg.eig(mat(cov_mat)) # 计算特征值和特征向量

  • mat(cov_mat):将输入转成矩阵。和matrix,asmatrix不同,如果输入已经是举着嗯或者ndarray,它不会制作副本。相当于matrix(data, copy=False) 详细API请点这里(https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.mat.html)
  • linalg.eig(a):计算特征值和特征向量 详细API请点这里(https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.linalg.eig.html)

矩阵乘法对应了一个变换,在这个变换的过程中,原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换,不对这些向量产生旋转的效果,那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量,伸缩的比例就是特征值。

eig_val_index = argsort(eig_vals) # 对特征值进行从小到大排序,argsort返回的是索引,即下标

numpy.argsort(a, axis=-1, kind='quicksort', order=None) 详细API请点这里(https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.argsort.html)

eig_val_index = eig_val_index[:-(top_n_feat + 1) : -1] # 最大的前top_n_feat个特征的索引 reg_eig_vects = eig_vects[:, eig_val_index]

这里有一个语法问题,[::]代表切片,[开始:结束:步长],负号代表从后往前每隔步长个取一次,比如有一个array[1, 2, 3, 4, 5],取[:-4:-2],0是第一个,-1是最后一个(在这里是5的下标),从最后一个往前数,一直数到-4(在这里是2的下标),每两个取1个数,最后得到的array是[5, 3]。

[:, eig_val_index]代表第一维不变,第二维要eig_val_index个,所以它的shape是(784,top_n_feat)

# 将数据转到新空间 low_d_data_mat = mean_removed * reg_eig_vects # shape: (100, top_n_feat), top_n_feat最大为特征总数 recon_mat = (low_d_data_mat * reg_eig_vects.T) + mean_vals # 根据前几个特征向量重构回去的矩阵,shape:(100, 784)

一个shape是(100,784)的矩阵,乘以一个shape是(784,top_n_feat)的矩阵,最后得到降维的矩阵(100, top_n_feat)

recon_mat再将矩阵变回(100,784),得到降维后再重构的矩阵。

主成分分析的优缺点是什么

优点:降低数据的复杂性,识别最重要的特征

缺点:不一定需要,且可能损失有用信息

适用数据类型:数值型数据

原文发布于微信公众号 - 人工智能LeadAI(atleadai)

原文发表时间:2017-11-16

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