常见的机器学习&数据挖掘数学知识点

常见的机器学习&数据挖掘数学知识点之Basis

• SSE(Sum of Squared Error, 平方误差和) SSE=∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2
• SAE(Sum of Absolute Error, 绝对误差和) SAE=∑i=1n|Xi−X¯¯¯|
• SRE(Sum of Relative Error, 相对误差和) SRE＝∑i=1nXi−X¯¯¯X¯¯¯
• MSE(Mean Squared Error, 均方误差) MSE=∑ni=1(Xi−X¯¯¯)2n
• RMSE(Root Mean Squared Error, 均方根误差)，又称SD(Standard Deviation, 标准差) RMSE=∑ni=1(Xi−X¯¯¯)2n−−−−−−−−−−−−−√
• MAE(Mean Absolute Error, 平均绝对误差) MAE=∑ni=1|Xi−X¯¯¯|n
• RAE(Root Absolute Error, 平均绝对误差平方根) RAE=∑ni=1|Xi−X¯¯¯|n−−−−−−−−−−−−√
• MRSE(Mean Relative Square Error, 相对平均误差) MRSE＝∑ni=1Xi−X¯¯X¯¯n
• RRSE(Root Relative Squared Error, 相对平方根误差) RRSE＝∑ni=1Xi−X¯¯X¯¯n−−−−−−−−−−⎷
• Expectation(期望)&Variance(方差)   期望是描述一个随机变量的“期望值”，方差反映着随机变量偏离期望的程度，偏离程度越大哦，方差越大，反之则相反。对于离散随机变量X，其期望为： E(X)=∑i=1∞xip(xi)   其中p(x)为随机变量的X的分布率(概率分布).   其方差为： D(X)=∑i=1∞[xi−E(X)]2p(xi)   对于连续变量X，其期望为： E(X)=∫+∞−∞xf(x)dx   其中f(x)为随机变量的X的概率密度分布.   其方差为： D(X)=∫+∞−∞[x−E(X)]2f(x)dx   对于Y＝g(X)(g是连续函数)，则Y的期望为： X是离散随机变量： E(Y)=E(g(x))=∑i=1∞g(xi)p(xi) X是连续随机变量： E(Y)=E(g(x))=∫+∞−∞g(xi)f(x)dx   常见分布的期望与方差：

• 标准差：   标准差为方差的平方根，即： V(X)=D(X)−−−−−√
• JP(Joint Probability, 联合概率)
  • 联合概率密度 f(x,y)
  • 联合分布函数 F(x,y)=∫x−∞∫y−∞f(u,v)dudv f(x,y)≥0 ∫+∞−∞∫+∞−∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1
  • 联合概率分布(分布率) P(x,y)=P{X=xi,Y=yi}=pij pij≥0 ∑ijpij=∑i∑jpij=1
  • 联合分布函数 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∑x∑yP(x,y)
  • 二维离散随机变量X, Y
  • 二维连续随机变量X, Y
• MP(Marginal Probability, 边缘概率)
  • X的边缘分布率 fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy
  • Y的边缘分布率 fY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx
  • X的边缘分布函数 FX(x)=F(x,+∞)=∫x−∞[∫+∞−∞f(u,y)dy]du
  • Y的边缘分布函数 FY(y)=F(y,+∞)=∫y−∞[∫+∞−∞f(x,v)dx]dv
  • X的边缘分布率 pi.=P{X=xi}=∑j=1∞pij,j=1,2,3,...
  • Y的边缘分布率 p.j=P{Y=yi}=∑i=1∞pij,i=1,2,3,...
  • X的边缘分布函数 FX(x)=F(x,+∞)=P{X≤x}=P{X≤x,Y≤+∞}
  • Y的边缘分布函数 FY(y)=F(+∞,y)=P{Y≤y}=P{X≤+∞,Y≤y}
  • 二维离散随机变量
  • 二维连续随机变量
• Independence(独立性)   若对一切x, y，都有： P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}   即： F(x,y)=FX(x)FY(y) 则随机变量X, Y是互相独立的.   对于离散随机变量，等价于： P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj},i,j=1,2,...   对于连续随机变量，等价于： f(x,y)=fx(x)fy(y)
• CP(Conditional Probability, 条件概率)   对于离散随机变量，定义为: 若P{Y=yj}>0： P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp.j,i=1,2,...   而 P{Y=yj}=p.j=∑i=1∞pij   因此： P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pij∑∞i=1pij,i=1,2,...   上式即为在Y=yj条件下X的条件分布律.   同理： P{Y=yj|X=xi}=P{X=xi,Y=yj}P{X=xi}=pij∑∞j=1pij,j=1,2,...   上式即为在X=xi条件下Y的条件分布律.   对于连续随机变量，定义为: FX|Y(x|y)=P{X≤x|Y=y}=∫x−∞f(x,y)dxfY(y) FY|X(y|x)=P{Y≤y|X=x}=∫y−∞f(x,y)dyfX(x)   条件概率密度分别为： fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y) fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x)
• Bayesian Formula(贝叶斯公式)   使用已知知识来对先验概率进行修正，得到后验概率，即得到条件概率： P(Bi||A)=P(Bi)P(A|Bi)∑ni=1P(Bi)P(A|Bi) P(Bi||A)为后验概率，P(Bi|)为先验概率.
• CC(Correlation Coefficient, 相关系数)   对于(X,Y)为二维随机变量，若E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记为cov(X,Y)或σXY，即： cov(X,Y))=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}   当D(X)>0,D(Y)>0时， ρXY=cov(X,Y)D(X)−−−−−√D(Y)−−−−−√ 称为随机变量X,Y的相关系数或标准协方差.   特别地， cov(X,X)=D(X) cov(Y,Y)=D(Y) 因此方差是协方差的特例.   若X,Y相互独立，则cov(X,Y)=0，从而ρXY=0. 同时|ρXY|≤1. 若|ρXY|＝1，则随机变量X,Y线性相关. +1代表正线性相关，−1代表负线性相关，绝对值越大则表明它们之间越相关，若为0，则表示它们互相独立.
• Covariance(协方差矩阵)   若X是由随机变量组成的n列向量，E(Xi)=μi，那么协方差矩阵定义如下： Σ=⎡⎣⎢E{[X1−E(X1)][X1−E(X1)]}...E{[Xn−E(Xn)][X1−E(X1)]}.........E{[X1−E(X1)][Xn−E(Xn)]}...E{[Xn−E(Xn)][Xn−E(Xn)]}⎤⎦⎥=⎡⎣⎢E{[X1−μ1][X1−μ1]}..E{[Xn−μn][X1−μ1]}.........E{[X1−μ1][Xn−μn]}...E{[Xn−μn][Xn−μn]}⎤⎦⎥
• Quantile (分位数)   对随机变量X，其分布函数为F(x)，任意给定α,0<α<1，P(X<=x)=F(x)=α所对应的x，为α分位数.

• LMS(Least Mean Squared, 最小均方)   优化的目标为使得均方误差最小，参数即为最小时所对应的参数值，即: θ=argminθ12∑ni=1(Xi−X¯¯¯)2n=argminθ12∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2   公式中的12为了在求导过程中的方便，因为平方项在求导过程中会产生一个2倍，这样便能约掉常数项，目标函数乘以一个常数对结果是没有影响的，只是目标值缩小了一半，但是其所对应的参数还是不变的。可以使用梯度下降法来进行求解。
• LSM(Least Square Methods, 最小二乘法)   在最小二乘法中使用最小均方来对参数进行求解，对于样本点集(X,Y)={(X1,y1),...,(Xn,yn)}，其中每个样本特征向量为Xi={xi1,...,xim}，n为样本个数，m为样本点的维度，那么其线性回归方程： f(Xi)=w0+w1xi1+w2xi2+...+wmxim=WT[1,XiT]T,i∈[1,n]   那么，优化目标为： minF=min12∑i=1n(f(Xi)−yi)2   为了书写方便，将常数1作为每个样本特征向量的第1个分量，即Xi={1,xi1,...,xim}，那么线性回归方程变为： f(Xi)=WTXi,i∈[1,n]   那么优化目标为： minF=min12∑i=1n(WTXi−yi)2
• GD(Gradient Descent, 梯度下降)   对于最小二乘法中的F最小化求解使用梯度下降算法进行求解（如果是求解最大值，则使用梯度上升算法），梯度下降算法即为从某个初始点出发，按照梯度下降的方向，每次前进一步，直到最小值点，因此需要一个步长α。
  1. 首先求取梯度 ∇wJ(w)=∑i=1n(WTXi−yi)Xi=XT(XWT−y→)   那么前进方向为g=−∇wJ(w)，即梯度的反方向, 如果是梯度上升算法，那么就是梯度方向，则不需要在前面加上负号.
  2. 然后按照梯度方向进行前进 W:=W+αg   其中α>0，它是一个步长，对于α具体取多大的值，一般按照经验进行取，可以从10, 1,0.1,0.01,0.001不断进行尝试而取一个合理的值。而可以刚开始取一个较大值，后面越来越小，这样刚开始步子就大一点，到逐渐接近最优点的时候，放慢脚步，如果这时候过大，就会造成一直在最优点附近震荡。
  3. 最后，按照步骤2进行迭代更新W，直到目标函数值不再变化，或者变化的范围小于事先设定的阈值。所以，梯度下降算法的一个缺点就是需要确定α的值，但是该值并不好确定，需要不断进行尝试和依靠经验。
• SGD(Stochastic Gradient Descent, 随机梯度下降)    在梯度下降法中，参数的每一次更新都要使用训练集中的全部的样本(批量梯度下降算法)，这样速度便相对较慢，于是每次更新时随机选择一个样本进行更新参数，这样便能提高计算速度，但每次更新的方向并不一定朝着全局最优化方向.
• 正规方程求解方法    该方法利用极值点的偏导数为0，即令： ∇WJ(W)=XTXWT−XTy→=0   得到正规方程： XTXW=XTy→   求解W： W=(XTX)−1XTy→   该方法的时间复杂度为O(n3)，因为需要对矩阵求逆运算，其中n为(XTX)−1的特征数量，如果n值很大，那么求解速度将会很慢。对此，Andrew Ng的经验建议是：如果n>10000，那么使用梯度下降算法进行求解。同时，如果(XTX)是奇异矩阵，即含有0特征值，那么其便不可逆，一个解决方法便是L2正则，后面将会讲到。
• MLE(Maximum Likelihood Estimation, 极大似然估计)   在我们已经知道到随机变量的一系列观察值，即试验结果已知(样本)，而需要求得满足该样本分布的参数θ，于是我们需要采取某种方法对θ进行估计，在最大似然估计中，我们假定观察的样本是该样本分布下中最大可能出现的，把最大可能性所对应的参数θ对真实的θ∗进行参数估计。
  • 对于离散随机变量   设总体X是离散随机变量，其概率分布P(x;θ)(注意：与P(x,θ)的区别，前者中θ是一个常数，只是值暂时不知道，也就是它是一个确定值，而后者中θ是一个随机变量)，其中θ是未知参数. 设X1,X2,...,Xn分别都是取自总体X的样本，我们通过试验观察到各样本的取值分别是x1,x2,...,xn，则该事件发生的概率，即它们的联合概率为： P(X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn)   假设它们独立同分布，那么联合概率为： P(X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn)=∏i=1nP(xi;θ) 因为xi,i∈{1,2,...,n}都是已知的确定的值，那么上式的值取决于θ，从直观上来说，一件已经发生的事件，那么该事件发生概率应该较大，我们假设该事件的发生概率是最大的，即x1,x2,...,xn的出现具有最大的概率，在这种假设下去求取θ值.   定义似然函数为： ℓ(θ)=ℓ(x1,x2,...,xn;θ)=∏i=1nP(xi;θ) 它是关于θ的函数.   极大似然估计法就是在参数θ的取值范围Θ内选取一个使得ℓ(θ)达到最大值所对应的参数θ^，用来作为θ的真实值θ∗的估计值，即： θ=argmaxθ∈Θℓ(x1,x2,...,xn;θ)   这样，对求解总体X的参数θ极大似然估计问题转化为求似然函数ℓ(θ)的最大值为题，那么求去最大值问题可以使用导函数进行求解.   为了便于求解，对似然函数进行ln运算，因为ln为递增函数，那么ln(ℓ(θ))与ℓ(θ)在同一处取得最大值，于是, lnℓ(θ)=ln∏i=1nP(xi;θ)=∑i=1nlnP(xi;θ)   对上式进行求导操作，并令导函数为0: dlnℓ(θ)dθ=0 解该方程，得到θ作为真实值的估计.
  • 对于连续离散随机变量：   设总体X是连续随机变量，其概率密度函数为f(x;θ)，对样本X1,X2,...,Xn观察得到的样本值分别为x1,x2,...,xn，那么联合密度函数为： ∏i=1nf(xi;θ) 则，似然函数为： ℓ(θ)=∏i=1nf(xi;θ)   同理，按照先前的处理与求解方式，即极大似然估计法，求取theta值.   前面所说的使用已知知识对先验概率进行矫正，得到后验概率，便可以用到似然函数，即后验概率＝先验概率＊似然函数.
  • 极大似然估计步骤：
  1. 由总体分布导出样本的联合概率函数(或联合密度)；
  2. 把样本联合概率函数(或联合密度)中自变量看成为已知数，而参数θ作为自变量未知数，得到似然函数ℓ(θ)；
  3. 将似然函数转化为对数似然函数，然后求取对数似然函数的最大值，一般使用求导方法；
  4. 最后得到最大值表达式，用样本值代入得到参数的极大似然估计值.
• QP(Quadratic Programming, 二次规划)   我们经常用到线性规划去求解一部分问题，然后很多问题是非线性的，而二次规划是最简单的非线性规划，简称QP问题，何为二次规划，即其目标函数是二次函数，而约束条件是线性约束的最优化问题. 用数学语言描述，其标准形式为： minf(x)=12xTGx+gTx s.t.aTix=bi,i∈EaTjx≥bj,j∈I 其中，G是n×n的对称矩阵(Hessian矩阵)，E,I分别对应等式约束和不等式约束指标集合，g,x,{ai|i∈E},{aj|j∈I}都是n维列向量
  • 若G正半定，那么QP问题存在全局最优解(凸二次规划)；
  • 若G正定，那么QP问题存在唯一的全局最优价(凸二次规划)；
  • 若G不定，那么可能存在非全局的最优解； 凸二次规划即二次规划目标函为维凸函数.
• L1 /L2 Regularization(L1/L2正则)   我们在做数据挖掘或机器学些的时候，在训练数据不够时，或者出现过度训练时，往往容易过拟合，即训练时效果特别好，而测试时或者在新数据来临时，模型效果较差，即为模型的泛化能力比较差。随着训练过程不断进行，该模型在training data上的error渐渐减小，但是在验证集上的error却反而渐渐增大——因为训练出来的网络过拟合了训练集，对训练集外的数据(测试数据或者新数据)却不work。如下图所示：

  避免过拟合的方法有很多：early stopping, 数据集扩增(Data augmentation), 正则化(Regularization),Dropout等.

• L1   L1正则是一个稀疏规则算子，其是在代价函数(优化目标函数)后面加上参数w绝对值和乘以λn，目标函数即为： F=F0+λn∑w|w| 其中F0为原目标函数，那么新目标函数的导数为： ∂F∂w=∂F0∂w+λnsgn(w) 上式中sgn(w)是w的符号函数，α>0是更新步长，它是一个常数，λ>0是正则项数，它是一个常数，那么参数w的梯度下降算法更新方程为： w:=w−α∂F0∂w−αλnsgn(w) 上面的更新方程比原来的多了αλnsgn(w)这一项. 当w为正时，更新后w变小，为负时则相反，即将w往0值靠，这样对于那些接近0值的参数，那么就可能为0，这样很多w就会趋近于0，这样便起到了稀疏作用，也就是为何叫做”稀疏规则算子”了，这样相当于降低了模型的复杂度，提高模型泛化能力，防止过拟合.   任何正则化算子，如果它在等于0处不可微，并且可以分解为一个“求和”的形式，那么这个正则化算子就可以实现稀疏. 也就是这么说，w的L1范数正则是绝对值，而|w|在w=0处是不可微. 其实L0范数正则(L0范数是指向量中非0的元素的个数)，也可以达到稀疏目的，但是现实中为什么不用L0正则呢，因为L0范数正则的优化是一个NP难问题，所以L1范数正则具有更好的优化特性.   在w的更新式子中，当w为0时，|w|是不可导的，所以需要按照原始的未经正则化的方法去更新w，即为了方便我们定义sgn(0)=0，这样便统一了所有情况.   L1正则的稀疏性特性可能用来进行特征选择，只选择那些重要的，区分能力强的特征，而去掉那些不重要的，区分能力不强的特征. 虽然如果加上这些特征，可能会使得在模型训练时效果更好，但是可能会造成过拟合，从而模型的泛化能力不强.   在线性回归中使用L1正则的叫做LASSO(Least Absolute Shrinkage and Selectionator Operator L1正则最小二乘回归).
• L2   L2范数正则化是在代价函数(优化目标函数)后面加上平方和正则项，即： F=F0+λ2n∑ww2 注意：常数项的w是不带入正则项中的，为了便于区分，将其用b表示. 其中F0为原始目标函数，在正则项前面乘以12是为了在求导过程中方便，因为平方项在求导过程中会产生一个2倍，这样便能约掉常数项. 那么新目标函数的导数为： ∂F∂w=∂F0∂w+λnw∂F∂b=∂F0∂b   这样参数的更新方程为: w:=w−α∂F0∂w−αλnw=(1−αλn)w−α∂F0∂wb:=b−α∂F0∂b

其中，α>0是更新步长，它是一个常数，λ>0是正则项数，它是一个常数   从w更新方程中可以看出，在不使用L2正则项时，求导结果中的w前的系数为1，而现在前面的系数为(1−αλn)，因为α,λ,n都是正数，因此前面的系数小于0，它的效果就是减小w，这就是为何L2正则又被称为“权值衰减”(weight decay).   通过L2正则来降低模型的复杂度，提高模型的泛化能力，防止过拟合，并且L2正则本书是一个凸二次函数，这样便有利于优化.   在前面所说的正规方程中，若XTX不可逆，则无法进行求解，那么如果加上L2正则项，就变成：

• W=(XTX+λI)−1XTy→ 这样(XTX+λI)肯定是可逆的.   最后通过一张图直观上来区别L1与L2正则，如图:

FromPRML   上图中使用的模型是线性回归，该模型中有两个特征，要优化的参数分别是w1和w2，左图的正则化是L2，右图是L1. 蓝色线就是优化过程中遇到的等高线，一圈代表一个目标函数值，圆心就是样本观测值(假设一个样本)，半径就是误差值，受限条件就是红色边界(就是正则化那部分)，二者相交处，才是最优参数. 可见右边的最优参数只可能在坐标轴上，所以就会出现0权重参数，使得模型稀疏.   从另一个角度上来看，正则化其实就是对模型的参数设定一个先验，这是贝叶斯学派的观点，也是一种理解。L1正则是Laplace先验，L2是高斯先验.

• L2.5   该正则化集合了L1与L2正则，具有它们两者的优点.

• Eigenvalue(特征值)&Eigenvector(特征向量)   设A是n阶矩阵，如果数lambda和n维非零列向量α，使得： Aα=λα 成立，则称这样的数λ为方阵A的特征值，非零列向量α称为A对应于特征值λ的特征向量.   特征向量α≠0，特征值λ都是对方阵来说的； n阶方阵A的特征值即为使得 齐次线性方程组(λI−A)x=0有非零解的λ值，即满足方程|λI−A|=0的λ都是矩阵A的特征值.   特征值积等于方阵的行列式值，即： ∏i=1nλi=|A|   若特征值λi互不相等，那么它们所对应的特征向量αi线性不相关.   若方阵的行列式值为0，即为奇异方阵，也即其含有为0的特征值，那么该方阵不可逆.