如何用 TensorFlow 生成令人惊艳的分形图案

今天来介绍一个小项目：在 TensorFlow 中生成分形图案。分形本身只是一个数学概念，与机器学习并无太大关系，但是通过分形的生成，我们可以了解怎么在 TensorFlow 中进行数学计算，以及如何进行基本的流程控制，是学习 TensorFlow 的一个非常好的练手项目。

在开始之前，需要说明的是，TensorFlow 官方也提供了一个生成分形图案的教程 (地址： www.tensorflow.org/tutorials/mandelbrot)，然而官方教程中生成的图像实在是太丑了，而且只能生成一种图案，我对官方的代码做了一些改进，并且加入了多种类型的分形，此外，不仅可以生成图像，还可以制作 gif 动画，代码已经放到了 Github 上：https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground，主要的程序只有 50 行，欢迎大家参考。

Mandelbrot 集合

Mandelbrot 集合是分形中最经典的一个例子。考虑迭代公式 z_{n+1}=z^2_{n}+c （z 和 c 都是复数）。当z_{o} 为 0 时，得到的值可以组成一个数列，依次为

。当该数列发散到无穷时，对应的点就属于 Mandelbrot 集合。

如c=0 时，显然数列永远是 0，并不发散，因此 0 不属于 Mandelbrot 集合。

又如c=3i 时，对应的数列为

，数字越来越庞大，因此 3i 就属于 Mandelbrot 集合。

在二维平面上，将所有不属于 Mandelbrot 集合的点标记为黑色，将所有属于 Mandelbrot 集合的点按照其发散速度赋予不同的颜色，就可以得到 Mandelbrot 的经典图像：

上面这张图完全是使用 TensorFlow 进行计算的，类似的图大家应该在网上也见过好多了，在 TensorFlow 中，我们定义下面的计算步骤：

xs = tf.constant(Z.astype(np.complex64)) zs = tf.Variable(xs) ns = tf.Variable(tf.zeros_like(xs, tf.float32)) with tf.Session(): tf.global_variables_initializer().run() zs_ = tf.where(tf.abs(zs) < R, zs**2 + xs, zs) not_diverged = tf.abs(zs_) < R step = tf.group( zs.assign(zs_), ns.assign_add(tf.cast(not_diverged, tf.float32)) for i in range(ITER_NUM): step.run() final_step = ns.eval() final_z = zs_.eval()

zs 就对应我们之前迭代公式的 z，而 xs 就对应迭代公式中的 c。为了方便起见，只要计算时数值的绝对值大于一个事先指定的值 R，就认为其发散。每次计算使用 tf.where 只对还未发散的值进行计算。结合 ns 和 zs_就可以计算颜色，得到经典的 Mandelbrot 图像。

Julia 集合

Julia 集合和 Mandelbrot 集合差不多，但这次我们固定 c，转而计算发散的 z 的值。即 c 是固定的常数（可以任取），数列变成

。如果该数列发散，对应的 z 就属于 Julia 集合。对此，我们只要在原来的程序中修改两行内容，就可以生成 Julia 集合：

xs = tf.constant(np.full(shape=Z.shape, fill_value=c, dtype=Z.dtype)) zs = tf.Variable(Z)

我们在 fill_value=c 处指定了 Julia 集合中的 c 值，只要使用不同的 c 值，就可以生成完全不同的 Julia 集合！

默认：c=-0.835-0.2321i ：

将 c 值变为c=-0.8*1j ，并调整颜色（调整方法参考 Github 页面的说明）：

选用c=0.285+0.01i ，图案又变得完全不同：

生成 Julia 集合的动画

在 Julia 集合中，每次都对 c 的值进行微小的改变，并将依次生成图片制作为 gif，就可以生成如下所示的动画，对应的代码为 julia_gif.py：

这里由于上传 gif 有大小限制的关系，只展示了一个小尺寸的动画图像。程序中提供了一个 width 参数，可以修改它以生成更大尺寸，质量更高的动画图像。

探索 Mandelbrot 集合

（注意：下面的图片可能对密集恐惧症患者不太友好。。。因此慎重翻页。。）

在前面生成的 Mandelbrot 集合中，我们可以将图像放大，选取某些区域进行生成，就可以得到格式各样造型迥异的分形图案，对应的程序为 mandelbrot_area.py。

在 Mandelbrot 集合中，有很多地方图案比较奇特，如下图中的 9 个位置。

其中编号为 2 的地方被称为 “Elephant Valley”，因为此处的图案与大象很像，直接运行 mandelbrot_area.py 就可以得到该区域的图像：

编号为 3 的地方被称为 “Triple Spiral Valley”（三重螺旋），在 mandelbrot_area.py 修改一下坐标位置为 (ratio 调整的是颜色)：

start_x = -0.090 # x range end_x = -0.086 start_y = 0.654 # y range end_y = 0.657 width = 1000 ratio1, ratio2, ratio3 = 0.2, 0.6, 0.6

就可以得到该处的图案：

最后编号为 1 的地方被称为 “Seahorse Valley”（海马山谷），对应的坐标为：

start_x = -0.750 # x range end_x = -0.747 start_y = 0.099 # y range end_y = 0.102 width = 1000 ratio1, ratio2, ratio3 = 0.1, 0.1, 0.3

图像如下，确实和海马有一点神似：

生成更多的图案

项目提供了两个 jupyter notebook：Mandelbrot.ipynb 和 Julia.ipynb 可以对 Mandelbrot 集合、Julia 集合做更方便的探索。其中，Mandelbrot 集的更多坐标位置可以参考 Quick Guide to the Mandelbrot Set（http://www.nahee.com/Derbyshire/manguide.html），Julia 集中更多有趣的 c 值可以参考 Julia set - Wikipedia（https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set#Quadratic_polynomials）。网上类似的资源还有很多。

最后再安利一下项目地址：https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground。如果代码有什么问题可以直接发在评论里或者在 Github 上提出 issue：）