今天来介绍一个小项目:在 TensorFlow 中生成分形图案。分形本身只是一个数学概念,与机器学习并无太大关系,但是通过分形的生成,我们可以了解怎么在 TensorFlow 中进行数学计算,以及如何进行基本的流程控制,是学习 TensorFlow 的一个非常好的练手项目。
在开始之前,需要说明的是,TensorFlow 官方也提供了一个生成分形图案的教程 (地址: www.tensorflow.org/tutorials/mandelbrot),然而官方教程中生成的图像实在是太丑了,而且只能生成一种图案,我对官方的代码做了一些改进,并且加入了多种类型的分形,此外,不仅可以生成图像,还可以制作 gif 动画,代码已经放到了 Github 上:https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground,主要的程序只有 50 行,欢迎大家参考。
Mandelbrot 集合是分形中最经典的一个例子。考虑迭代公式 z_{n+1}=z^2_{n}+c (z 和 c 都是复数)。当z_{o} 为 0 时,得到的值可以组成一个数列,依次为
。当该数列发散到无穷时,对应的点就属于 Mandelbrot 集合。
如c=0 时,显然数列永远是 0,并不发散,因此 0 不属于 Mandelbrot 集合。
又如c=3i 时,对应的数列为
,数字越来越庞大,因此 3i 就属于 Mandelbrot 集合。
在二维平面上,将所有不属于 Mandelbrot 集合的点标记为黑色,将所有属于 Mandelbrot 集合的点按照其发散速度赋予不同的颜色,就可以得到 Mandelbrot 的经典图像:
上面这张图完全是使用 TensorFlow 进行计算的,类似的图大家应该在网上也见过好多了,在 TensorFlow 中,我们定义下面的计算步骤:
xs = tf.constant(Z.astype(np.complex64)) zs = tf.Variable(xs) ns = tf.Variable(tf.zeros_like(xs, tf.float32)) with tf.Session(): tf.global_variables_initializer().run() zs_ = tf.where(tf.abs(zs) < R, zs**2 + xs, zs) not_diverged = tf.abs(zs_) < R step = tf.group( zs.assign(zs_), ns.assign_add(tf.cast(not_diverged, tf.float32)) for i in range(ITER_NUM): step.run() final_step = ns.eval() final_z = zs_.eval()
zs 就对应我们之前迭代公式的 z,而 xs 就对应迭代公式中的 c。为了方便起见,只要计算时数值的绝对值大于一个事先指定的值 R,就认为其发散。每次计算使用 tf.where 只对还未发散的值进行计算。结合 ns 和 zs_就可以计算颜色,得到经典的 Mandelbrot 图像。
Julia 集合和 Mandelbrot 集合差不多,但这次我们固定 c,转而计算发散的 z 的值。即 c 是固定的常数(可以任取),数列变成
。如果该数列发散,对应的 z 就属于 Julia 集合。对此,我们只要在原来的程序中修改两行内容,就可以生成 Julia 集合:
xs = tf.constant(np.full(shape=Z.shape, fill_value=c, dtype=Z.dtype)) zs = tf.Variable(Z)
我们在 fill_value=c 处指定了 Julia 集合中的 c 值,只要使用不同的 c 值,就可以生成完全不同的 Julia 集合!
默认:c=-0.835-0.2321i :
将 c 值变为c=-0.8*1j ,并调整颜色(调整方法参考 Github 页面的说明):
选用c=0.285+0.01i ,图案又变得完全不同:
在 Julia 集合中,每次都对 c 的值进行微小的改变,并将依次生成图片制作为 gif,就可以生成如下所示的动画,对应的代码为 julia_gif.py:
这里由于上传 gif 有大小限制的关系,只展示了一个小尺寸的动画图像。程序中提供了一个 width 参数,可以修改它以生成更大尺寸,质量更高的动画图像。
(注意:下面的图片可能对密集恐惧症患者不太友好。。。因此慎重翻页。。)
在前面生成的 Mandelbrot 集合中,我们可以将图像放大,选取某些区域进行生成,就可以得到格式各样造型迥异的分形图案,对应的程序为 mandelbrot_area.py。
在 Mandelbrot 集合中,有很多地方图案比较奇特,如下图中的 9 个位置。
其中编号为 2 的地方被称为 “Elephant Valley”,因为此处的图案与大象很像,直接运行 mandelbrot_area.py 就可以得到该区域的图像:
编号为 3 的地方被称为 “Triple Spiral Valley”(三重螺旋),在 mandelbrot_area.py 修改一下坐标位置为 (ratio 调整的是颜色):
start_x = -0.090 # x range end_x = -0.086 start_y = 0.654 # y range end_y = 0.657 width = 1000 ratio1, ratio2, ratio3 = 0.2, 0.6, 0.6
就可以得到该处的图案:
最后编号为 1 的地方被称为 “Seahorse Valley”(海马山谷),对应的坐标为:
start_x = -0.750 # x range end_x = -0.747 start_y = 0.099 # y range end_y = 0.102 width = 1000 ratio1, ratio2, ratio3 = 0.1, 0.1, 0.3
图像如下,确实和海马有一点神似:
项目提供了两个 jupyter notebook:Mandelbrot.ipynb 和 Julia.ipynb 可以对 Mandelbrot 集合、Julia 集合做更方便的探索。其中,Mandelbrot 集的更多坐标位置可以参考 Quick Guide to the Mandelbrot Set(http://www.nahee.com/Derbyshire/manguide.html),Julia 集中更多有趣的 c 值可以参考 Julia set - Wikipedia(https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set#Quadratic_polynomials)。网上类似的资源还有很多。
最后再安利一下项目地址:https://github.com/hzy46/tensorflow-fractal-playground。如果代码有什么问题可以直接发在评论里或者在 Github 上提出 issue:)