技术干货 | XGBoost原理解析
作者简介
刘英涛：达观数据推荐算法工程师，负责达观数据个性化推荐系统的研发与优化。
XGBoost的全称是 eXtremeGradient Boosting，2014年2月诞生的专注于梯度提升算法的机器学习函数库，作者为华盛顿大学研究机器学习的大牛——陈天奇。他在研究中深深的体会到现有库的计算速度和精度问题，为此而着手搭建完成 xgboost 项目。xgboost问世后，因其优良的学习效果以及高效的训练速度而获得广泛的关注，并在各种算法大赛上大放光彩。
1.CART
CART(回归树, regressiontree)是xgboost最基本的组成部分。其根据训练特征及训练数据构建分类树，判定每条数据的预测结果。其中构建树使用gini指数计算增益，即进行构建树的特征选取，gini指数公式如式(1), gini指数计算增益公式如式(2)：Gini（D）=\Sigma _{k=1}^{K}p_{k}(1-p_{k}) （1）
p_{k}表示数据集中类别的概率，表示类别个数。
注:此处图的表示分类类别。Gini(D,A)=\frac{\left | D_{1} \right|}{\left | D \right |}Gini(D_{1})+\frac{\left | D_{2} \right|}{\left | D \right |}Gini(D_{2}) （2）
D表示整个数据集，D_{1} 和D_{2} 分别表示数据集中特征为的数据集和特征非的数据集，Gini(D_{1}) 表示特征为的数据集的gini指数。
以是否打网球为例(只是举个栗子):
其中，Gini(D,A_{2}= "适中") 最小，所以构造树首先使用温度适中。然后分别在左右子树中查找构造树的下一个条件。
本例中，使用温度适中拆分后，是子树刚好类别全为是，即温度适中时去打网球的概率为1。
2.Boostingtree
一个CART往往过于简单,并不能有效地做出预测，为此，采用更进一步的模型boosting tree，利用多棵树来进行组合预测。具体算法如下：
输入：训练集 T=\left \{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...(x_{n},y_{n}) \right \}
输出：提升树 f_{M}(x)
步骤：
（1）初始化 f_{0}(x)=0
（2） 对m=1,2,3……M
a）计算残差 r_{mi}=y_{i}-f_{m-1}(x_{i}),i=1,2,...,n
b）拟合残差 r_{mi} 学习一个回归树，得到 T(x:\theta _{m})
c）更新 f_{m}(x)=f_{m-1}(x)+T(x:\theta _{m})
（3）得到回归提升树： f_{M}(x)=\Sigma _{m=1}^{M}T(x:\theta _{m})
例子详见后面代码部分。
3.xgboost
首先，定义一个目标函数：
constant为一个常数，正则项 \Omega (f_{t}) 如下，
其中，T表示叶子节点数，w_{j} 表示第 j 个叶子节点的权重。
例如下图，叶子节点数为3，每个叶子节点的权重分别为2，0.1，-1，正则项计算见图：
利用泰勒展开式 f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x+\frac{1}{2}f''(x)\Delta x^{2} ,对式(3)进行展开：
其中，g_{i} 表示 L(y_{i},\hat{y}^{t-1}) 对 \hat{y}^{t-1} 的一阶导数，h_{i} 表示 L(y_{i},\hat{y}^{t-1}) 对 \hat{y}^{t-1} 的二阶导数。L(y_{i},\hat{y}^{t-1}) 为真实值与前一个函数计算所得残差是已知的(我们都是在已知前一个树的情况下计算下一颗树的)，同时，在同一个叶子节点上的数的函数值是相同的，可以做合并，于是：
通过对求导等于0，可以得到
将 w_{j} 带入得目标函数的简化公式如下：
目标函数简化后，可以看到xgboost的目标函数是可以自定义的，计算时只是用到了它的一阶导和二阶导。得到简化公式后，下一步针对选择的特征计算其所带来的增益，从而选取合适的分裂特征。
提升树例子代码：
# !/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# 目标函数为真实值与预测值的差的平方和
import math
# 数据集，只包含两列
test_list = [[1,5.56], [2,5.7], [3,5.81], [4,6.4], [5,6.8],\
[6,7.05], [7,7.9], [8,8.7], [9,9],[10,9.05]]
step = 1 #eta
# 起始拆分点
init = 1.5
# 最大拆分次数
max_times = 10
# 允许的最大误差
threshold = 1.0e-3
def train_loss(t_list):
sum = 0
for fea in t_list:
sum += fea[1]
avg = sum * 1.0 /len(t_list)
sum_pow = 0
for fea in t_list:
sum_pow =math.pow((fea[1]-avg), 2)
return sum_pow, avg
def boosting(data_list):
ret_dict = {}
split_num = init
while split_num <data_list[-1][0]:
pos = 0
for idx, data inenumerate(data_list):
if data[0]> split_num:
pos = idx
break
if pos > 0:
l_train_loss,l_avg = train_loss(data_list[:pos])
r_train_loss,r_avg = train_loss(data_list[pos:])
ret_dict[split_num] = [pos,l_train_loss+r_train_loss, l_avg, r_avg]
split_num += step
return ret_dict
def main():
ret_list = []
data_list =sorted(test_list, key=lambda x:x[0])
time_num = 0
while True:
time_num += 1
print 'beforesplit:',data_list
ret_dict =boosting(data_list)
t_list =sorted(ret_dict.items(), key=lambda x:x[1][1])
print 'splitnode:',t_list[0]
ret_list.append([t_list[0][0], t_list[0][1][1]])
if ret_list[-1][1]< threshold or time_num > max_times:
break
for idx, data inenumerate(data_list):
if idx <t_list[0][1][0]:
data[1] -=t_list[0][1][2]
else:
data[1] -=t_list[0][1][3]
print 'after split:',data_list
print 'split node andloss:'
print'\n'.join(["%s\t%s" %(str(data[0]), str(data[1])) for data inret_list])
if __name__ == '__main__':
main() 