Machine Learning Notes-Linear Regression-Udacity

Regression 就是想找到因变量和自变量之间的关系，用一个函数来表示，并且可用这个函数来预测任意一个新的 x 会有怎样的 y 。

那么怎么找最好的那条线来表示 x 与 y 之间的关系呢？

用积分的方式。

怎么确定拟合线的阶数？

判断的标准，就是最小的 mean squared error，最好是为0.

下面这条线虽然把每个点都 fit 了，但是在某两个点之间却急剧上升或者下降。

从 Training Error 的曲线上看，也是当 order＝8 时，error几乎没有，但是曲线却非常地 crazy。

接下来用矩阵来表示多项式。

求解系数矩阵W的公式：

用来 Training 的数据其实是有 Error 的，产生的原因如下几条，

所以要让我们的拟合函数尽量避开这些error，从而达到更准的效果。

用 Training 和 Testing 数据训练出来的模型，我们需要相信它们是可以代表未来要被应用的系统的，

用 Cross Validation 去调 Polynomial 的参数，

取最小的 Error 相应的参数。

Cross Validation 的 Error 一开始要比 Training Error 要高，因为：Training 用了所有的数据，而 Cross Validation 用的是一部分数据，还有一部分数据用来 test，

随着阶数的增加，Cross Validation 的 Error 渐渐接近 Training Error，但超过某个值后，又剧增，因为：随着级数越来越大，虽然会更好的拟合数据，但是会 Over Fitting，那么在未来的数据上就会不太适用。

我们想要找到的是 fit 的这个点。

在 sklearn 里有很多线性回归模型： http://scikit-learn.org/stable/modules/linear_model.html

怎样评价你的线性回归模型

一个是画出来，一个是看Error, error 就是实际值－预测值，注意符号。

回归之后，测试数据和训练数据同时显示在这个图里。

对于回归模型，想要 Error 达到最小，合适的评价模型有两个，一个是绝对值，一个是平方。

目标就是想要这个 Error 达到最小，SSE 越大，拟合的效果越不好。

r squared 是评价回归模型的一种很重要的方法，

这个值越大越好，最大为1。越小说明没有很好地捕捉到数据的趋势，越大说明很好地描述了输入输出的关系。 这个值要用 test data 去检验，也可以看出是否 Over fitting。

多元回归

Classification 和 Regression 比较：

Regression 方法列表：

1. Parametric Regression

可以用 polyfit 直接得到多项式的系数：

import numpy as np

# The rank of the coefficient matrix in the least-squares fit is deficient. 
# The warning is only raised if full = False.
# The warnings can be turned off by
import warnings
warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

sleep = [5,6,7,8,10,12,16]
scores = [65,51,75,75,86,80,0]

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

plt.plot(sleep, scores)

coeffs=np.polyfit(sleep, scores, 2)

coeffs

2. K Nearest Neighbor

取 k 个值的平均值作为拟合后的点，最后可以得到一条沿着点的光滑的曲线。

3. Kernel Regression

和 KNN 类似，只是不同的点，根据距离来加权，而 KNN 的每个点作用都是一样的。