幂迭代法求矩阵特征值的Fortran程序

昨天所发布的迭代法称为正迭代法，用于求矩阵的主特征值，也就是指矩阵的所有特征值中最大的一个。其算法如下：

满足精度要求后停止迭代，xj是特征向量，λj是特征值。

Fortran代码如下：

以一个四阶矩阵A来验证：

程序输出结果为：

MATLAB自带的eig函数的计算结果为：

二者结果一致。需要注意的是，特征值所对应的特征向量不是唯一的。

后记

正迭代法，用于求矩阵的主特征值，也就是指矩阵的所有特征值中最大的一个。有正迭代法就有逆迭代法，逆迭代法可以求矩阵的最小特征值以及对应的特征向量。幂迭代法是子空间迭代，Lancos迭代等方法求结构自振频率的基础。

稍后会推出逆迭代法，敬请关注。

对于计算特征值，没有直接的方法。2阶或3阶矩阵可以采用特征多项式来求。但如果试图求下列矩阵的特征值，我们试图用特征多项式

P(x)=(x-1)(x-2)...(x-20)

求特征值是不明智的。

考察一个二阶矩阵A

矩阵有主特征值4与特征向量[1,1],以及另一个特征值-1与特征向量[-3,2]，这里主特征值是指矩阵的所有特征值中最大的一个。

把矩阵A乘以任意向量x0（比如[-5,5]），得到以下结果：

用矩阵A反复乘以初始任意向量，其结果是把这个向量平移到非常接近A的主特征向量。这不是巧合，完全可以再换一个向量试试。

当这些步骤提供了求特征向量的方法后，如何求近似特征值？换句话说，假设矩阵A和近似特征向量已经知道，如何求相应近似特征值？考虑特征方程

xξ = Ax

这里x是近似特征向量，ξ是特征值，且ξ未知。借助于最小二乘，得到：

以上求特征值的方法叫幂迭代法。