给出一个N个点M条边的无向图,经过一个点的代价是进入和离开这个点的两条边的边权的较大值,求从起点1到点N的最小代价。起点的代价是离开起点的边的边权,终点的代价是进入终点的边的边权
N<=100000
M<=200000
4 5 1 2 5 1 3 2 2 3 1 2 4 4 3 4 8
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这题居然卡long long,也是没谁了
首先一个很显然的思路是暴力拆边
即把每个点每一条入边和每一条出边的两两看做一个点,权值为两边的较大值
但是这样很显然是O(m^2),肯定会GG
所以我们考虑一种神仙操作。
对于一条无向边,我们把它看成两条有向边
然后我们这样构图
1.对于一个点,我们把它的出边从小到大排序
2.枚举每一条边,如果这条边连接着1或者N,那么我们从S连向这条边或者从这条边连向T,权值为该边的权值
3.从改边所对应的入边向该边连一条边,边权为它们的权值
4.枚举每一条出边,从权值较小的向权值较大的连权值为两边差值的边,从权值较大的向权值较小的连权值为0的边
可能这样说不是很清楚,借鉴一下这位大佬的图
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#define Pair pair<long long,int>
#define F first
#define S second
const int MAXN=2*1e6+10;
using namespace std;
inline int read()
{
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
struct Edge
{
int u,v,w,nxt;
}E[MAXN];
int headE[MAXN],numE=2;
inline void add_edge(int x,int y,int z)
{
E[numE].u=x;
E[numE].v=y;
E[numE].w=z;
E[numE].nxt=headE[x];
headE[x]=numE++;
}
struct node
{
int u,v,w,nxt;
}edge[MAXN];
int head[MAXN],num=2;
inline void AddEdge(int x,int y,int z)
{
edge[num].u=x;
edge[num].v=y;
edge[num].w=z;
edge[num].nxt=head[x];
head[x]=num++;
}
int N,M,S,T;
int temp[MAXN];
long long dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
void Dijstra()
{
memset(dis,0xf,sizeof(dis));dis[S]=0;
priority_queue<Pair>q;
q.push(make_pair(0,S));
while(q.size()!=0)
{
while(vis[q.top().second]&&q.size()>0) q.pop();
long long p=q.top().second;
vis[p]=1;
for(int i=head[p];i!=-1;i=edge[i].nxt)
if(dis[edge[i].v]>dis[p]+edge[i].w)
dis[edge[i].v]=dis[p]+edge[i].w,
q.push(make_pair(-dis[edge[i].v],edge[i].v));
}
printf("%lld\n",dis[T]);
}
int comp(const int &a,const int &b)
{
return E[a].w<E[b].w;
}
int main()
{
#ifdef WIN32
freopen("a.in","r",stdin);
#else
#endif
memset(headE,-1,sizeof(headE));
memset(head,-1,sizeof(head));
N=read();M=read();S=1,T=2*(M+1);
for(int i=1;i<=M;i++)
{
int x=read(),y=read(),z=read();
add_edge(x,y,z);
add_edge(y,x,z);
}
for(int i=1;i<=N;i++)
{
int tempnum=0;
for(int j=headE[i];j!=-1;j=E[j].nxt)
temp[++tempnum]=j;
sort(temp+1,temp+tempnum+1,comp);
for(int j=1;j<=tempnum;j++)
{
int x=temp[j],y=temp[j+1];
if(E[x].u==1)
AddEdge(S,x,E[x].w);
if(E[x].v==N)
AddEdge(x,T,E[x].w);
AddEdge(x^1,x,E[x].w);
if(j!=tempnum)
AddEdge(x,y,E[y].w-E[x].w),
AddEdge(y,x,0);
}
}
Dijstra();
return 0;
}