NLP系列学习:前向算法和后向算法

在上一篇文章里,我们简单的概述了隐马尔科夫模型的简单定义

在这一篇文章里,我们可以看到HMM经过发展之后是CRF产生的条件,因此我们需要学好隐马尔科夫模型.

在这一部分,我比较推荐阅读宗成庆老师的<自然语言处理>这本书,这一部分宗老师写的很不错,相关的资源在我之前的文章中已经上传,有兴趣的小伙伴可以阅读下.

回到正题,说起HMM,我们知道他是一个产生型模型.这样我们可以把它看作为一个序列化判别器,比方说我们说一句话:

上边是我们说的话,我们说一句话,其实就可以看作为一个状态序列,而下边对应的,我们其实就可以看作为一个判别器,假如我们把上边的说的话和下边的状态序列加上一个符号,如下图所示

再去求Si->Oj的概率,这样我们写成:

这样我们就可以引申出隐马尔克夫模型的三大问题:

①:估计问题

②:序列问题

③:训练问题或参数估计问题

为了更加容易理解这三个问题,我发现之前有一个博客的掷骰子的例子很生动,便特地引用过来,方便自己理解:

假设手里有三个不同的骰子。第一个骰子是我们平常见的骰子(称这个骰子为D6)， 6个面，每个面(1，2，3，4，5，6)出现的概率是1/6。第二个骰子是个四面体(称 这个骰子为D4)，每个面(1，2，3，4)出现的概率是1/4。第三个骰子有八个面 (称这个骰子为D8)，每个面(1，2，3，4，5，6，7，8)出现的概率是1/8。

现在我们开始掷骰子,我们先从三个骰子里挑一个，挑到每一个骰子的概率都是1/3。 然后我们掷骰子，得到一个数字，1，2，3，4，5，6，7，8中的一个。不停的重复上述过程，我们会得到一串数字，每个数字都是1，2，3，4，5，6，7，8中的一个。例如我们可能得到这么一串数字(掷骰子10次):1 6 3 5 2 7 3 5 2 4 .

那这时候我们就把这投掷出来的这些数字成为可见状态链,但是在隐马尔可夫模型中，我们丌仅仅有这么一串可见状 态链，还有一串隐含状态链。在这个例子里，这串隐含状态链就是你用的骰子的序列.比如,隐含状态链有可能是:D6 D8 D8 D6 D4 D8 D6 D6 D4 D8

但是一般来说,我们用的马尔科夫链都是隐含状态链, 因为隐含状态(骰子)之间存在转换概率(transition probability)。在我们这个例子里，D6的下一个状态是 D4，D6，D8的概率都是1/3。D4，D8的下一个状态是D4，D6，D8的转换概率也都 一样是1/3。这样设定是为了最开始容易说清楚，但是我们其实是可以随意设定转换概 率的。比如，我们可以这样定义，D6后面不能接D4，D6后面是D6的概率是0.9，是 D8的概率是0.1。这样就是一个新的HMM。 同样的，尽管可见状态之间没有转换概率，但是隐含状态和可见状态之间有一个概率叫做输出概率(emission probability)。就我们的例子来说，六面骰(D6)产生1的输出概率是1/6。产生2，3，4，5，6的概率也都是1/6。我们同样可以对输出概率进行其他定义。比如我有一个被赌场动过手脚的六面骰子，掷出来是1的概率更大,是 1/2，掷出来是2，3，4，5，6的概率是1/10。 这时候我们再结合这个例子去理解并解决HMM中的三大问题就会容易许多了:

第一个问题:

我们知道骰子有几种(隐含状态数量)，每种骰子是什么(转换概率)，根据掷骰子掷出的结果(可见状态链)，我想知道每次掷出来的都是哪种骰子(隐含状态链)。

第二个问题:

还是知道骰子有几种(隐含状态数量)，每种骰子是什么(转换概率)，根据掷骰子掷出的结果(可见状态链)，我想知道掷出这个结果的概率.

第三个问题:

知道骰子有几种(隐含状态数量)，但是并不知道每种骰子是什么(转换概率)，观测到很多次掷骰子的结果(可见状态链)，我想反推出每种骰子是什么(转换概率)。

1:估计问题:

在我们知道我们有几种筛子的时候,并且知道筛子是什么,并且已知结果,这时候我们再去推测是哪一种筛子就会容易很多,是可以通过穷举法进行解决的,说白话就是推测所有的隐含状态序列,并且再去计算所以的可能观测序列的概率,但是这样的方法也有问题,如果你的可能,就跟上边的三个筛子一样,还比较OK,因为你的概率还是很大,比较容易猜得对,但是你有100个长度的话,不说多了,每个长度上对应的隐含状态为2,这样你的时间复杂度就是O(2的100方),这个复杂度是很高的,尽管很简单,但是还是不实用的.就跟我们查找中的直接查找一样,尽管简单,但是实则更困难.这样的话,我们就采用了前向算法和后向算法来去计算这个问题.

那下边我们就去推一下这个公式:

首先,我们要假设一个变量at(i),这个变量的意义是说我们在t时刻(1

而我们接下来要做的是计算这个at(i),然后就可以根据at(i)来去计算在T时刻的概率,最后也就计算出P(O|u),这时候O是0-T时刻的概率,我们自然就可以计算出所有时刻的概率.

在这里,我们要用归纳思想去计算在t+1时刻的at+1(i):

这时候我们通过一张图去直观的表示从i到j的状态转移过程:

最终的计算得到的概率为:

那后向算法其实就跟前向算法类似,过程图如下:

那么由上述所知,前向和后向算法的时间复杂度均是O(N2T),这个相比起之前,已经优化了太多,其中N是隐藏状态的长度,T是序列的长度.

下一篇文章,我们将去学习HMM中的第二个问题:估计序列问题

参考文章:

1:http://www.cnblogs.com/skyme/p/4651331.html

2:HMM经典论文《A tutorial on Hidden Markov Models and selected applications in speech recognition》