反向传播算法的矩阵维度分析

各位小伙伴们大家好,这几天我在群里看见了一位小伙伴提出了关于BP神经网络的反向传播算法的梯度维度的问题,我对这个问题也很有兴趣,所以希望通过这篇文章来去和大家探讨下这方面的知识.

在我们学习神经网络的时候,我们为了不断地迭代更新目标函数,我们总是不断地往复更新迭代神经网络中的各个参数和权值,而在实际过程中我们一般都是使用的矩阵向量化的方式去计算量化,但是如果我们能够了解这个矩阵求导的过程的话,我们对于反向传播算法中的梯度问题应该就能够很好的理解.(很多有疑惑的伙伴应该是看过CS231n吧,我记得没有读懂他的那个反向传播算法梯度的代码).

神经网络前向传播:

在这里因为上边也提到了,我们都是用的矩阵向量来去表示数据,这里的话每一个变量都是有自己的一个维度的信息的:

神经网络的反向传播:

在使用反向传播去更新参数的时候,一般情况下都需要涉及到参数梯度的求解,那么根据上边的神经网络前向传播公式得到,我们求解的变量的话这时候有dw,dx,db.

现在我们不妨设损失函数loss()=L,并且这个损失函数是一个标量(因为标量对于矩阵的求偏导数的话,矩阵的维度不会发生变化).那这时候我们挨个来,求求dx,dw,db的梯度:

1:dx的梯度:

在这里我们要用到链式求导法则,如果有不熟悉的小伙伴请去:

http://61.139.105.132/gdsx/dzja/7/4.htm

回忆下知识再来看这篇文章,效果更好.

根据链式求导法则,dx的梯度可以表达为:

由神经网络的前向传播中我们知道,每一个变量的维度都是一致的,这时候dx,dw,db的维度分别和x,w,b的维度都是一致的,那么这时候我们就可以得到这样的条件:

那这时候&y/&x的导数就需要计算下了,这个时候我们就需要矩阵的乘法运算来去计算分析:

1:由上文得,dx的维度是N*D,&L/&y的维度是N*M,那个根据矩阵运算公式,我们可以计算出

那么这时候我们可以得到&y/&x的矩阵维度是M*D,那么这时候我们回头看一看前边的条件,W的矩阵维度是D*M,那么&y/&x的矩阵维度岂不是W矩阵的转置?其实就是这样.

我们最后得出一个结论:&y/&x的结果是矩阵w的转置,然后得到以下公式:

那这个时候我们再去求dw,db就会变得非常的toy了,因为思路是相同的:

dw的公式表示为:

再去计算一下:

dw的维度信息如下:

我们这时候可以发现&y/&w的维度是D*N,而x的维度是N*D,这时候其实&y/&w可以看作为一个X的转置,这样的话可以表示为:

那db也就可以更快的推出来了:

链式求导为:

再来个矩阵乘法:

得到:

另外这里有几篇比较好的文章推荐给大家:

http://cs231n.github.io/optimization-2/

http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/50321873

https://zhuanlan.zhihu.com/p/25496760

希望大家可以能够有所收获,也请各位多多指教