洛谷T21776 子序列
题目描述
你有一个长度为 nn 的数列 \{a_n\}{an} ，这个数列由 0,10,1 组成，进行 mm 个的操作：
1~l~r1 l r ：把数列区间 [l, r][l,r] 内的所有数取反。即 00 变成 11 ，11 变成 00 。
2~l~r2 l r ：询问数列在区间 [l, r][l,r] 内共有多少个本质不同的子序列。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数 n, mn,m ，意义如上所述。
接下来一行包含 nn 个数，表示数列 \{a_n\}{an} 。
接下来 mm 行，每行包含三个数，表示一个操作，操作格式如上所述。
输出格式：
对于每个询问，输出答案模 10^9 + 7109+7 的结果。
输入输出样例
输入样例#1：
4 4
1 0 1 0
2 1 4
2 2 4
1 2 3
2 1 4输出样例#1：
11
6
8说明
对于 10 \%10% 的数据，1 \leq n, m \leq 10^21≤n,m≤102 。
对于 30 \%30% 的数据，1 \leq n, m \leq 10^31≤n,m≤103 。
对于 100 \%100% 的数据，1 \leq n, m \leq 10^51≤n,m≤105 。
这道题同HDU6155（只不过我在HDU上T飞了）
首先我们考虑一下暴力怎么写
dp[i][1]表示到第i个位置，以1结尾，本质不同的子序列
dp[i][0]表示到第i个位置，以0结尾，本质不同的子序列
转移的时候，假设第i个字符是1
那么对它有贡献的是以前以0结尾的子序列，以及以前以1结尾的子序列，以及空串
那么此时
dp[i][1]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+1
dp[i][0]=dp[i-1][0]
当第i个字符是0的时候同理，不难得到
dp[i][1]=dp[i-1][1]
dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+1
大家有没有发现一件事情?
这个dp的转移是递推！也就是说我们可以用矩阵乘法来加速！
而矩阵乘法可以用线段树来维护！
它的矩阵为
对于操作1的话，先交换要改变的矩阵的第一行和第二行，再交换要改变的矩阵的第一列和第二列
至于为什么？这个可以转移之间的关系入手，也可以直接找规律
这样就实现了两个矩阵的转换
另外还有一点、
对于结果矩阵，我们只会用到[3][1]和[3][2]这两项（分别代表dp[n][1],dp[n][0]）
// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long int
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
inline int read()
{
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
char c[MAXN];
struct Matrix
{
LL mat[4][4];
Matrix(){memset(mat,0,sizeof(mat));}
};
struct node
{
int l,r,w;
bool f;
Matrix m;
}T[MAXN];
Matrix zero,one,HHHHH;
Matrix rev(Matrix &a)
{
for(LL i=1;i<=3;i++) swap(a.mat[1][i],a.mat[2][i]);
for(LL i=1;i<=3;i++) swap(a.mat[i][1],a.mat[i][2]);
}
Matrix MatrixMul(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix c;
for(LL k=1;k<=3;k++)
for(LL i=1;i<=3;i++)
for(LL j=1;j<=3;j++)
c.mat[i][j]=(c.mat[i][j]+(a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod )%mod;
return c;
}
void update(int k)
{
T[k].m=MatrixMul(T[ls].m,T[rs].m);
}
void pushdown(int k)
{
if(T[k].f)
{
T[ls].f^=1;T[rs].f^=1;
rev(T[ls].m);rev(T[rs].m);
T[k].f=0;
}
}
void Build(int k,int ll,int rr)
{
T[k].l=ll;T[k].r=rr;T[k].f=0;
if(ll==rr)
{
if(c[ll]=='0') T[k].m=zero;
else T[k].m=one;
return ;
}
int mid=ll+rr>>1;
Build(ls,ll,mid);
Build(rs,mid+1,rr);
update(k);
}
void IntervalChange(int k,int ll,int rr)
{
if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
{
T[k].f^=1;
rev(T[k].m);
return ;
}
pushdown(k);
int mid=T[k].l+T[k].r>>1;
if(ll<=mid) IntervalChange(ls,ll,rr);
if(rr>mid) IntervalChange(rs,ll,rr);
update(k);
}
Matrix IntervalAsk(int k,int ll,int rr)
{
Matrix ans=HHHHH;
if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
{
ans=T[k].m;
return ans;
}
pushdown(k);
LL mid=T[k].l+T[k].r>>1;
if(ll<=mid)
ans=MatrixMul(IntervalAsk(ls,ll,rr),ans);
if(rr>mid)
ans=MatrixMul(ans,IntervalAsk(rs,ll,rr));
return ans;
}
int main()
{
int N,M;
zero.mat[1][1]=zero.mat[2][1]=zero.mat[3][1]=zero.mat[2][2]=zero.mat[3][3]=1;
one.mat[1][1]=one.mat[1][2]=one.mat[2][2]=one.mat[3][2]=one.mat[3][3]=1;
HHHHH.mat[1][1]=HHHHH.mat[2][2]=HHHHH.mat[3][3]=1;
int T;
T=1;
while(T--)
{
N=read();M=read();
scanf("%s",c+1);
Build(1,1,N);
while(M--)
{
int opt=read(),l=read(),r=read();
if(opt==1)
{
IntervalChange(1,l,r);
}
else if(opt==2)
{
Matrix ans=IntervalAsk(1,l,r);
printf("%lld\n", (ans.mat[3][1]+ans.mat[3][2])%mod );
}
}
}
return 0;
}