洛谷P4174 [NOI2006]最大获利

题目描述

新的技术正冲击着手机通讯市场,对于各大运营商来说,这既是机遇,更是挑战。THU 集团旗下的 CS&T 通讯公司在新一代通讯技术血战的前夜,需要做太多的准备工作,仅就站址选择一项,就需要完成前期市场研究、站址勘测、最优化等项目。

在前期市场调查和站址勘测之后,公司得到了一共 N 个可以作为通讯信号中转站的地址,而由于这些地址的地理位置差异,在不同的地方建造通讯中转站需要投入的成本也是不一样的,所幸在前期调查之后这些都是已知数据:建立第 i个通讯中转站需要的成本为 P_iPi​ (1≤i≤N)。

另外公司调查得出了所有期望中的用户群,一共 M 个。关于第 i 个用户群的信息概括为 A_iAi​ , B_iBi​ 和 C_iCi​ :这些用户会使用中转站 A i 和中转站 B i 进行通讯,公司可以获益 C_iCi​ 。(1≤i≤M, 1≤A_iAi​ , B_iBi​ ≤N)

THU 集团的 CS&T 公司可以有选择的建立一些中转站(投入成本),为一些用户提供服务并获得收益(获益之和)。那么如何选择最终建立的中转站才能让公司的净获利最大呢?(净获利 = 获益之和 – 投入成本之和)

输入输出格式

输入格式:

输入文件中第一行有两个正整数 N 和 M 。

第二行中有 N 个整数描述每一个通讯中转站的建立成本,依次为 P_1 , P_2 , …,P_NP1​,P2​,…,PN​ 

以下 M 行,第(i + 2)行的三个数 A_i , B_iAi​,Bi​ 和 C_iCi​ 描述第 i 个用户群的信息。

所有变量的含义可以参见题目描述。

输出格式:

你的程序只要向输出文件输出一个整数,表示公司可以得到的最大净获利。

输入输出样例

输入样例#1: 

5 5
1 2 3 4 5
1 2 3
2 3 4
1 3 3
1 4 2
4 5 3

输出样例#1: 复制

说明

样例:选择建立 1、2、3 号中转站,则需要投入成本 6,获利为 10,因此得到最大收益 4。

100%的数据中:N≤5 000,M≤50 000,0≤C_iCi​ ≤100,0≤P_iPi​ ≤100。

最大权闭合子图的基础应用

源点向所有用户连流量为收益的边

所有中转站向汇点连流量为成本的边

用户所需要的中转站,由用户向需要的中转站连inf边

最后用总收益减去最小割(最大流)就是答案

原因很简单

如果割掉用户的边,那么就舍弃掉一部分收益,可以看做损失

如果割掉中转站的边,那么就付出一定代价,可以看做损失

又因为不会割掉INF的边,所以就巧妙的解决了选A必须选B的问题

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define AddEdge(x,y,z) add_edge(x,y,z),add_edge(y,x,0);
using namespace std;
const int MAXN=100001,INF=1e8+10;
inline char nc()
{
    static char buf[MAXN],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    char c=nc();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=nc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=nc();}
    return x*f;
}
int N,M,S,T;
struct node
{
    int u,v,flow,nxt;
}edge[MAXN*5];
int head[MAXN],cur[MAXN],num=0;
inline void add_edge(int x,int y,int z)
{
    edge[num].u=x;
    edge[num].v=y;
    edge[num].flow=z;
    edge[num].nxt=head[x];
    head[x]=num++;
}
int deep[MAXN];
inline bool BFS()
{
    memset(deep,0,sizeof(deep));
    deep[S]=1;
    queue<int>q;
    q.push(S);
    while(q.size()!=0)
    {
        int p=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[p];i!=-1;i=edge[i].nxt)
            if(!deep[edge[i].v]&&edge[i].flow)
            {
                deep[edge[i].v]=deep[p]+1;q.push(edge[i].v);
                if(edge[i].v==T) return 1;
            }
    }
    return deep[T];
}
int DFS(int now,int nowflow)
{
    if(now==T||nowflow<=0)    return nowflow;
    int totflow=0;
    for(int &i=cur[now];i!=-1;i=edge[i].nxt) 
    {
        if(deep[edge[i].v]==deep[now]+1&&edge[i].flow)
        {
            int canflow=DFS(edge[i].v,min(nowflow,edge[i].flow));
            edge[i].flow-=canflow;edge[i^1].flow+=canflow;
            totflow+=canflow;
            nowflow-=canflow;
            if(nowflow<=0) break;
        }
    }
    return totflow;
}
int Dinic()
{
    int ans=0;
    while(BFS())
    {
        memcpy(cur,head,sizeof(head)); 
        ans+=DFS(S,INF);
    }
    return ans;    
}

int main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    #else
    #endif
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int N=read(),M=read();
    S=0;T=N+M+1;
    for(int i=1;i<=N;i++) 
    {
        int P=read();
        AddEdge(i+M,T,P);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        int A=read(),B=read(),C=read();
        ans+=C;
        AddEdge(S,i,C);
        AddEdge(i,A+M,INF);
        AddEdge(i,B+M,INF);
    }
    printf("%d",ans-Dinic());
    return  0;
}

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