我们用\phi(n)表示欧拉函数
定义:\phi(n)表示对于整数n,小于等于n中与n互质的数的个数
1.\phi(n)为积性函数
证明:
此处证明需要用到下面计算方法1中的内容,建议先看后面再回过头来看这里
假设存在p,q,且p*q=n
将n,p,q进行质因数分解
n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_k^{p_k}
p=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_m^{p_m}
q=a_{m+1}^{p_{m+1}}*a_{m+2}^{m+2}...*a_k^{p_k}
那么
\varphi \left( n\right) =n\prod ^{k}_{i=1}\left( 1-\dfrac {1}{p_{i}}\right)
\varphi \left( a\right) =a\prod ^{m}_{i=1}\left( 1-\dfrac {1}{p_{i}}\right)
\varphi \left( b\right) =b\prod ^{k}_{i=m+1}\left( 1-\dfrac {1}{p_{i}}\right)
因为n=a*b
显然
\varphi \left( n\right) =\varphi \left( a\right) \varphi \left( b\right)
这种方法也是常见的证明一个函数是积性函数的方法
2.\sum_{d|n}\phi(d)=n
3.1到n中与n互质的数的和为n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)
假设我们需要计算\phi(n)
分情况讨论
很明显,答案为1
根据素数的定义,答案为n-1
(仅有n与n不互质)
我们已经知道了n为素数的情况
不妨对n进行质因数分解
设n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_k^{p_k}
假设$k=1$
那么\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}
证明:
考虑容斥,与一个数互素的数的个数就是这个数减去与它不互素的数的个数
因为p是素数,所以在p^k中与其不互素的数为1*p,2*p....p^{k-1}*p,有p^{k-1}个
得证
当k\neq 1时
\phi(n)
=\varphi \left( a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots }_{2}a^{Pk}_{k}\right)
=\prod ^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}
=\prod ^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac {1}{p_{i}})
=n*\prod ^{k}_{i=1}(1-\dfrac {1}{p_{i}})
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
int main()
{
LL N;
while(cin>>N&&N!=0)
{
int limit=sqrt(N),ans=N;
for(int i = 2; i <= limit ; ++i)
{
if(N%i==0) ans=ans/i*(i-1);
while(N%i==0) N=N/i;
}
if(N>1) ans=ans/N*(N-1);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
因为欧拉函数是积性函数
因此可以使用线性筛法
若p为素数,则\varphi \left( p\right) =p-1
证明:
在1-p中,只有(p,p)\neq1
若i\ mod\ p \neq 0,且p为素数
则\varphi \left( i*p\right) =\varphi \left( i\right) *\varphi \left( p\right)
=\varphi \left( i\ast p\right) =\varphi \left( i\right) \ast \left( p-1\right)
这一步同时利用了性质1和欧拉函数的积性
若i\ mod \ p = 0,且p为素数,
则\varphi \left( i\ast p\right) =\varphi \left( i\right) \ast p
证明:
没怎么看懂,丢一个链接
http://blog.csdn.net/Lytning/article/details/24432651
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
int prime[MAXN],tot=0,vis[MAXN],phi[MAXN],N=10000;
void GetPhi()
{
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=N;j++)
{
vis[ i*prime[j] ] = 1;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[ i*prime[j] ]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else phi[ i*prime[j] ]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
int main()
{
GetPhi();
cin>>N;
printf("%d\n",phi[N]);
return 0;
}
放几道水题
http://poj.org/problem?id=2407
http://poj.org/problem?id=2478