tarjan算法详解

tarjan算法讲解。

tarjan算法，一个关于 图的联通性的神奇算法。基于DFS算法，深度优先搜索一张有向图。！注意！是有向图。根据树，堆栈，打标记等种种神奇方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性，就是任督二脉通不通。。的问题。

了解tarjan算法之前你需要知道： 强连通，强连通图，强连通分量，解答树（解答树只是一种形式。了解即可）

强连通(strongly connected)： 在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。

强连通图： 如果 在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。

强连通分量strongly connected components)：在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做 强连通分量 ［分量：：把一个向量分解成几个方向的向量的和，那些方向上的向量就叫做该向量（未分解前的向量）的分量］ 举个简单的栗子：

比如说这个图，在这个图中呢，点1与点2互相都有路径到达对方，所以它们强连通.

而在这个有向图中，点1 2 3组成的这个子图，是整个有向图中的强连通分量。

解答树：就是一个可以来表达出递归枚举的方式的树（图），其实也可以说是递归图。。反正都是一个作用，一个展示从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的过程。“过程！”

tarjan算法，之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图，就是一个完整的搜索树。

为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。每个点都有两个参数。

1， DFN［］作为这个点搜索的次序编号（时间戳），简单来说就是 第几个被搜索到的。％每个点的时间戳都不一样％。

2， LOW［］作为每个点在这颗树中的，最小的子树的根，每次保证最小，喜欢它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW［］最小，那这个点就应该从新分配，变成这个强连通分量子树的根节点。 ps：每次找到一个新点，这个点LOW［］＝DFN［］。

而为了存储整个强连通分量，这里挑选的容器是，堆栈。每次一个新节点出现，就进站，如果这个点有 出度 就继续往下找。直到找到底，每次返回上来都看一看子节点与这个节点的LOW值，谁小就取谁，保证最小的子树根。如果找到DFN［］＝＝LOW［］就说明这个节点是这个强连通分量的根节点（毕竟这个LOW［］值是这个强连通分量里最小的。）最后找到强连通分量的节点后，就将这个栈里，比此节点后进来的节点全部出栈，它们就组成一个全新的强连通分量。

先来一段伪代码：

tarjan(u){

　　DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值

　　Stack.push(u)   // 将节点u压入栈中

　　for each (u, v) in E // 枚举每一条边

　　　　if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过

　　　　　　　　tarjan(v) // 继续向下找

　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], Low[v])

　　　　else if (v in S) // 如果节点u还在栈内

　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

　　if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根

　　repeat v = S.pop  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

　　print v

　　until (u== v)

}

首先来一张有向图。网上到处都是这个图。我们就一点一点来模拟整个算法。

从1进入 DFN［1］＝LOW［1］＝ ＋＋index －－－－1

入栈 1

由1进入2 DFN［2］＝LOW［2］＝ ＋＋index －－－－2

入栈 1 2

之后由2进入3 DFN［3］＝LOW［3］＝ ＋＋index －－－－3

入栈 1 2 3

之后由3进入 6 DFN［6］＝LOW［6］＝＋＋index －－－－4

入栈 1 2 3 6

之后发现6无出度，之后判断 DFN［6］＝＝LOW［6］

说明6是个强连通分量的根节点：6及6以后的点 出栈。

栈： 1 2 3

之后退回 节点3 Low[3] = min(Low[3], Low[6]) LOW［3］还是 3

节点3 也没有再能延伸的边了，判断 DFN［3］＝＝LOW［3］

说明3是个强连通分量的根节点：3及3以后的点 出栈。

栈： 1 2

之后退回 节点2 嗯？！往下到节点5

DFN［5］＝LOW［5］＝ ＋＋index －－－－－5

入栈 1 2 5

ps：你会发现在有向图旁边的那个丑的（划掉）搜索树 用红线剪掉的子树，那个就是强连通分量子树。每次找到一个。直接。一剪子下去。半个子树就没有了。。

结点5 往下找，发现节点6 DFN［6］有值，被访问过。就不管它。

继续 5往下找，找到了节点1 他爸爸的爸爸。。DFN［1］被访问过并且还在栈中，说明1还在这个强连通分量中，值得发现。 Low[5] = min(Low[5], DFN[1])

确定关系，在这棵强连通分量树中，5节点要比1节点出现的晚。所以5是1的子节点。So

LOW［5］＝ 1

由5继续回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5])

LOW［2］＝1；

由2继续回到1 判断 Low[1] = min(Low[1], Low[2]) 

LOW［1］还是 1

1还有边没有走过。发现节点4，访问节点4

DFN［4］＝LOW［4］＝＋＋index －－－－6

入栈 1 2 5 4 

由节点4，走到5，发现5被访问过了，5还在栈里，

Low[4] = min(Low[4], DFN[5]) LOW［4］＝5

说明4是5的一个子节点。

由4回到1.

回到1，判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])

LOW［1］还是 1 。

判断 LOW［1］ ＝＝ DFN［1］

诶？！相等了    说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。

将栈中1以及1之后进栈的所有点，都出栈。

栈 ：（鬼都没有了）

这个时候就完了吗？！

你以为就完了吗？！

然而并没有完，万一你只走了一遍tarjan整个图没有找完怎么办呢？！

所以。tarjan的调用最好在循环里解决。

like    如果这个点没有被访问过，那么就从这个点开始tarjan一遍。

因为这样好让每个点都被访问到。

 基本思路：

1.初始化

2.入栈

3.枚举：

1.不在队列中->访问，进行赋值，

　　　　2.在队列中->赋值

4.寻找根->输出结果

来一道裸代码。

输入： 一个图有向图。

输出： 它每个强连通分量。

这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。

input:

6 8

1 3

1 2

2 4

3 4

3 5

4 6

4 1

5 6

output:

6

5

3 4 2 1

a Sans Unicode"; mso-hansi-font-family:"Lucida Sans Unicode";mso-bidi-font-family:"Lucida Sans Unicode"; color:black'>的一个子节点。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
struct node {
    int v,next;
} edge[1001];
int DFN[1001],LOW[1001];
int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index;
void add(int x,int y) {
    edge[++cnt].next=heads[x];
    edge[cnt].v = y;
    heads[x]=cnt;
    return ;
}
void tarjan(int x) { //代表第几个点在处理。递归的是点。
    DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新进点的初始化。
    stack[++index]=x;//进站
    visit[x]=1;//表示在栈里
    for(int i=heads[x]; i!=-1; i=edge[i].next) {
        if(!DFN[edge[i].v]) {
            //如果没访问过
            tarjan(edge[i].v);//往下进行延伸，开始递归
            LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来，比较谁是谁的儿子／父亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量子树最小根的事情。
        } else if(visit[edge[i].v ]) {
            //如果访问过，并且还在栈里。
            LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//比较谁是谁的儿子／父亲。就是链接对应关系
        }
    }
    if(LOW[x]==DFN[x]) { //发现是整个强连通分量子树里的最小根。
        do {
            printf("%d ",stack[index]);
            visit[stack[index]]=0;
            index--;
        } while(x!=stack[index+1]);//出栈，并且输出。
        printf("\n");
    }
    return ;
}
int main() {
    memset(heads,-1,sizeof(heads));
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(!DFN[i])  tarjan(1);//当这个点没有访问过，就从此点开始。防止图没走完
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;

struct node
{
    int u;
    int v;
    int w;
    int next;
}edge[101];
int head[101];
int num=1;
void add(int x,int y)
{
    edge[num].u=x;
    edge[num].v=y;
    edge[num].next=head[x];
    head[x]=num++;
}
int dfn[1001];// 既可以用来表示一个点的被访问的顺序，又可以判断是否出现过 
int low[1001];
int stack[101];
int top=0;
int now=0;//  已经访问的数的数量 
int vis[1001];//表示是否在栈中 
void tarjan(int x)
{

    vis[x]=1;
    dfn[x]=low[x]=++now;
    stack[++top]=x;
    for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        if(!dfn[edge[i].v])
        {
            tarjan(edge[i].v);
            low[x]=min(low[x],low[edge[i].v]);
        }
        else if(vis[edge[i].v])
        {
            low[x]=min(low[x],dfn[edge[i].v]);
        }
    }
    if(low[x]==dfn[x])
    {
        do
        {
            printf("%d ",stack[top]);
            vis[stack[top]]=0;
            top--;
        }while(x!=stack[top+1]);
        putchar('\n');
    }
    return;
}
int main()
{
    
    for(int i=1;i<=101;i++)
    head[i]=-1;
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(dfn[i]==0)
        {
            tarjan(i);
        }
    }
    return 0;
    
}