【算法】Python实现机器学习算法

小编邀请您,先思考:

1 您使用Python做过什么?

2 如何用Python实现决策树系列算法?

人生苦短,就用 Python。

在 Kaggle 最新发布的全球数据科学/机器学习现状报告中,来自 50 多个国家的 16000 多位从业者纷纷向新手们推荐 Python 语言,用以学习机器学习。

那么,用Python实现出来的机器学习算法都是什么样子呢?营长刚好在 GitHub 上发现了东南大学研究生“Lawlite”的一个项目——机器学习算法的Python实现,下面从线性回归到反向传播算法、从SVM到K-means聚类算法,咱们一一来分析其中的Python代码。

目录

  • 一、线性回归
    • 1、代价函数
    • 2、梯度下降算法
    • 3、均值归一化
    • 4、最终运行结果
    • 5、使用scikit-learn库中的线性模型实现
  • 二、逻辑回归
    • 1、代价函数
    • 2、梯度
    • 3、正则化
    • 4、S型函数(即)
    • 5、映射为多项式
    • 6、使用的优化方法
    • 7、运行结果
    • 8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
  • 逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
    • 1、随机显示100个数字
    • 2、OneVsAll
    • 3、手写数字识别
    • 4、预测
    • 5、运行结果
    • 6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
  • 三、BP神经网络
    • 1、神经网络model
    • 2、代价函数
    • 3、正则化
    • 4、反向传播BP
    • 5、BP可以求梯度的原因
    • 6、梯度检查
    • 7、权重的随机初始化
    • 8、预测
    • 9、输出结果
  • 四、SVM支持向量机
    • 1、代价函数
    • 2、Large Margin
    • 3、SVM Kernel(核函数)
    • 4、使用中的模型代码
    • 5、运行结果
  • 五、K-Means聚类算法
    • 1、聚类过程
    • 2、目标函数
    • 3、聚类中心的选择
    • 4、聚类个数K的选择
    • 5、应用——图片压缩
    • 6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类
    • 7、运行结果
  • 六、PCA主成分分析(降维)
    • 1、用处
    • 2、2D-->1D,nD-->kD
    • 3、主成分分析PCA与线性回归的区别
    • 4、PCA降维过程
    • 5、数据恢复
    • 6、主成分个数的选择(即要降的维度)
    • 7、使用建议
    • 8、运行结果
    • 9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维
  • 七、异常检测 Anomaly Detection
    • 1、高斯分布(正态分布)
    • 2、异常检测算法
    • 3、评价的好坏,以及的选取
    • 4、选择使用什么样的feature(单元高斯分布)
    • 5、多元高斯分布
    • 6、单元和多元高斯分布特点
    • 7、程序运行结果

正文

一、线性回归

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LinearRegression

全部代码 https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LinearRegression/LinearRegression.py

1、代价函数

其中:

下面就是要求出theta,使代价最小,即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近

共有m条数据,其中

代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方,平方的原因是因为可能有负值,正负可能会抵消

前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导,2可以消去

实现代码:

# 计算代价函数 def computerCost(X,y,theta): m = len(y) J = 0 J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J return J

注意这里的X是真实数据前加了一列1,因为有theta(0)

2、梯度下降算法

代价函数对

求偏导得到:

所以对theta的更新可以写为:

其中

为学习速率,控制梯度下降的速度,一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....

为什么梯度下降可以逐步减小代价函数?

假设函数f(x)

泰勒展开:f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x),

令:△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α

将△x代入泰勒展开式中:f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x)

可以看出,α是取得很小的正数,[f'(x)]²也是正数,所以可以得出:f(x+△x)<=f(x)

所以沿着负梯度放下,函数在减小,多维情况一样。

# 梯度下降算法 def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters): m = len(y) n = len(theta) temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters))) # 暂存每次迭代计算的theta,转化为矩阵形式 J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值 for i in range(num_iters): # 遍历迭代次数 h = np.dot(X,theta) # 计算内积,matrix可以直接乘 temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y))) #梯度的计算 theta = temp[:,i] J_history[i] = computerCost(X,y,theta) #调用计算代价函数 print '.', return theta,J_history

3、均值归一化

目的是使数据都缩放到一个范围内,便于使用梯度下降算法

其中

为所有此feture数据的平均值

可以是最大值-最小值,也可以是这个feature对应的数据的标准差

实现代码:

# 归一化feature def featureNormaliza(X): X_norm = np.array(X) #将X转化为numpy数组对象,才可以进行矩阵的运算 #定义所需变量 mu = np.zeros((1,X.shape[1])) sigma = np.zeros((1,X.shape[1])) mu = np.mean(X_norm,0) # 求每一列的平均值(0指定为列,1代表行) sigma = np.std(X_norm,0) # 求每一列的标准差 for i in range(X.shape[1]): # 遍历列 X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i] # 归一化 return X_norm,mu,sigma

注意预测的时候也需要均值归一化数据

4、最终运行结果

代价随迭代次数的变化

5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LinearRegression/LinearRegression_scikit-learn.py

导入包

from sklearn import linear_model from sklearn.preprocessing import StandardScaler #引入缩放的包

归一化

# 归一化操作 scaler = StandardScaler() scaler.fit(X) x_train = scaler.transform(X) x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))

线性模型拟合

# 线性模型拟合 model = linear_model.LinearRegression() model.fit(x_train, y)

预测

#预测结果 result = model.predict(x_test)

二、逻辑回归

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LogisticRegression

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression.py

1、代价函数

可以综合起来为:

其中:

为什么不用线性回归的代价函数表示,因为线性回归的代价函数可能是非凸的,对于分类问题,使用梯度下降很难得到最小值,上面的代价函数是凸函数

的图像如下,即y=1时:

可以看出,当

趋于1,y=1,与预测值一致,此时付出的代价cost趋于0,若

趋于0,y=1,此时的代价cost值非常大,我们最终的目的是最小化代价值

同理

的图像如下(y=0):

2、梯度

同样对代价函数求偏导:

可以看出与线性回归的偏导数一致

推导过程

3、正则化

目的是为了防止过拟合

在代价函数中加上一项

注意j是重1开始的,因为theta(0)为一个常数项,X中最前面一列会加上1列1,所以乘积还是theta(0),feature没有关系,没有必要正则化

正则化后的代价:

# 代价函数 def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda): m = len(y) J = 0 h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) # 计算h(z) theta1 = initial_theta.copy() # 因为正则化j=1从1开始,不包含0,所以复制一份,前theta(0)值为0 theta1[0] = 0 temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1) J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正则化的代价方程 return J

正则化后的代价的梯度

# 计算梯度 def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda): m = len(y) grad = np.zeros((initial_theta.shape[0])) h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z) theta1 = initial_theta.copy() theta1[0] = 0 grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度 return grad

4、S型函数(即

实现代码:

# S型函数 def sigmoid(z): h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化,与z的长度一置 h = 1.0/(1.0+np.exp(-z)) return h

5、映射为多项式

因为数据的feture可能很少,导致偏差大,所以创造出一些feture结合

eg:映射为2次方的形式:

实现代码:

# 映射为多项式 def mapFeature(X1,X2): degree = 3; # 映射的最高次方 out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组(取代X) ''' 这里以degree=2为例,映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2 ''' for i in np.arange(1,degree+1): for j in range(i+1): temp = X1**(i-j)*(X2**j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.* out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1))) return out

6、使用scipy的优化方法

梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数

调用scipy中的优化算法fmin_bfgs(拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

costFunction是自己实现的一个求代价的函数,

initial_theta表示初始化的值,

fprime指定costFunction的梯度

args是其余测参数,以元组的形式传入,最后会将最小化costFunction的theta返回

result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))

7、运行结果

data1决策边界和准确度

data2决策边界和准确度

8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_scikit-learn.py

导入包

from sklearn.linear_model import LogisticRegression from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.cross_validation import train_test_split import numpy as np

划分训练集和测试集

# 划分为训练集和测试集 x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)

归一化

# 归一化 scaler = StandardScaler() scaler.fit(x_train) x_train = scaler.fit_transform(x_train) x_test = scaler.fit_transform(x_test)

逻辑回归

#逻辑回归 model = LogisticRegression() model.fit(x_train,y_train)

预测

# 预测 predict = model.predict(x_test) right = sum(predict == y_test) predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1))) # 将预测值和真实值放在一块,好观察 print predict print ('测试集准确率:%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) #计算在测试集上的准确度

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll.py

1、随机显示100个数字

我没有使用scikit-learn中的数据集,像素是20*20px,彩色图如下

灰度图:

实现代码:

# 显示100个数字 def display_data(imgData): sum = 0 ''' 显示100个数(若是一个一个绘制将会非常慢,可以将要画的数字整理好,放到一个矩阵中,显示这个矩阵即可) - 初始化一个二维数组 - 将每行的数据调整成图像的矩阵,放进二维数组 - 显示即可 ''' pad = 1 display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad))) for i in range(10): for j in range(10): display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F")) # order=F指定以列优先,在matlab中是这样的,python中需要指定,默认以行 sum += 1 plt.imshow(display_array,cmap='gray') #显示灰度图像 plt.axis('off') plt.show()

2、OneVsAll

如何利用逻辑回归解决多分类的问题,OneVsAll就是把当前某一类看成一类,其他所有类别看作一类,这样有成了二分类的问题了

如下图,把途中的数据分成三类,先把红色的看成一类,把其他的看作另外一类,进行逻辑回归,然后把蓝色的看成一类,其他的再看成一类,以此类推...

可以看出大于2类的情况下,有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

3、手写数字识别

共有0-9,10个数字,需要10次分类

由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字,而进行逻辑回归需要0/1的label标记,所以需要对y处理

说一下数据集,前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图,处理后的y,前500行的第一列是1,其余都是0,500-1000行第二列是1,其余都是0....

然后调用梯度下降算法求解theta

实现代码:

# 求每个分类的theta,最后返回所有的all_theta def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda): # 初始化变量 m,n = X.shape all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列 X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前补上一列1的偏置bias class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9,需要映射为0/1的关系 initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',') '''遍历每个分类,计算对应的theta值''' for i in range(num_labels): result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法 all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中 all_theta = np.transpose(all_theta) return all_theta

4、预测

之前说过,预测的结果是一个概率值,利用学习出来的theta代入预测的S型函数中,每行的最大值就是是某个数字的最大概率,所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时,所有为0的将y映射在第一列,为1的映射在第二列,依次类推

实现代码:

# 预测 def predict_oneVsAll(all_theta,X): m = X.shape[0] num_labels = all_theta.shape[0] p = np.zeros((m,1)) X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1 h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) #预测 ''' 返回h中每一行最大值所在的列号 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值(是某个数字的最大概率) - 最后where找到的最大概率所在的列号(列号即是对应的数字) ''' p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0])) for i in np.arange(1, m): t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i])) p = np.vstack((p,t)) return p

5、运行结果

10次分类,在训练集上的准确度:

6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll_scikit-learn.py

1、导入包

from scipy import io as spio import numpy as np from sklearn import svm from sklearn.linear_model import LogisticRegression

2、加载数据

data = loadmat_data("data_digits.mat") X = data['X'] # 获取X数据,每一行对应一个数字20x20px y = data['y'] # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1) y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)

3、拟合模型

model = LogisticRegression() model.fit(X, y) # 拟合

4、预测

predict = model.predict(X) #预测 print u"预测准确度为:%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)

5、输出结果(在训练集上的准确度)

三、BP神经网络

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/NeuralNetwok/NeuralNetwork.py

1、神经网络model

先介绍个三层的神经网络,如下图所示

输入层(input layer)有三个units(

为补上的bias,通常设为1)

表示第j层的第i个激励,也称为为单元unit

为第j层到第j+1层映射的权重矩阵,就是每条边的权重

所以可以得到:

隐含层:

输出层

其中,S型函数

,也成为激励函数

可以看出

为3x4的矩阵,

为1x4的矩阵

==》j+1的单元数x(j层的单元数+1)

2、代价函数

假设最后输出的

,即代表输出层有K个单元

其中,

代表第i个单元输出与逻辑回归的代价函数

差不多,就是累加上每个输出(共有K个输出)

3、正则化

L-->所有层的个数

-->第l层unit的个数

正则化后的代价函数为

共有L-1层,然后是累加对应每一层的theta矩阵,注意不包含加上偏置项对应的theta(0)

正则化后的代价函数实现代码:

# 代价函数 def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda): length = nn_params.shape[0] # theta的中长度 # 还原theta1和theta2 Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1) Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1) # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',') m = X.shape[0] class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9,需要映射为0/1的关系 # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 '''去掉theta1和theta2的第一列,因为正则化时从1开始''' Theta1_colCount = Theta1.shape[1] Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount] Theta2_colCount = Theta2.shape[1] Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount] # 正则化向theta^2 term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))) '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias''' a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1)) a2 = sigmoid(z2) a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2)) z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2)) h = sigmoid(z3) '''代价''' J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m return np.ravel(J)

4、反向传播BP

上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度

BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

假设4层的神经网络,

记为-->l层第j个单元的误差

《===》

(向量化)

没有

,因为对于输入没有误差

因为S型函数

的倒数为:

所以上面的

可以在前向传播中计算出来

反向传播计算梯度的过程为:

是大写的

for i=1-m:-

-正向传播计算

(l=2,3,4...L)

-反向计算

...

-

-

最后

,即得到代价函数的梯度

实现代码:

# 梯度 def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda): length = nn_params.shape[0] Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1) Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1) m = X.shape[0] class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9,需要映射为0/1的关系 # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 '''去掉theta1和theta2的第一列,因为正则化时从1开始''' Theta1_colCount = Theta1.shape[1] Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount] Theta2_colCount = Theta2.shape[1] Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount] Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) #第一层到第二层的权重 Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) #第二层到第三层的权重 Theta1[:,0] = 0; Theta2[:,0] = 0; '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias''' a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1)) a2 = sigmoid(z2) a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2)) z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2)) h = sigmoid(z3) '''反向传播,delta为误差,''' delta3 = np.zeros((m,num_labels)) delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size)) for i in range(m): delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:] Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1)) delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:]) Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1)) '''梯度''' grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m return np.ravel(grad)

5、BP可以求梯度的原因

实际是利用了链式求导法则

因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算

大体的推导过程如下,最终我们是想预测函数与已知的y非常接近,求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。

求误差更详细的推导过程:

6、梯度检查

检查利用BP求的梯度是否正确

利用导数的定义验证:

求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近

验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了

实现代码:

# 检验梯度是否计算正确 # 检验梯度是否计算正确 def checkGradient(Lambda = 0): '''构造一个小型的神经网络验证,因为数值法计算梯度很浪费时间,而且验证正确后之后就不再需要验证了''' input_layer_size = 3 hidden_layer_size = 5 num_labels = 3 m = 5 initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels) X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m) y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y y = y.reshape(-1,1) nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) #展开theta '''BP求出梯度''' grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) '''使用数值法计算梯度''' num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0])) step = np.zeros((nn_params.shape[0])) e = 1e-4 for i in range(nn_params.shape[0]): step[i] = e loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e) step[i]=0 # 显示两列比较 res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1))) print res

7、权重的随机初始化

神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0,每个神经元都是相同的输出,在反向传播中也会得到同样的梯度,最终只会预测一种结果。

所以应该初始化为接近0的数

实现代码

# 随机初始化权重theta def randInitializeWeights(L_in,L_out): W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 对应theta的权重 epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5 W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵 return W

8、预测

正向传播预测结果

实现代码

# 预测 def predict(Theta1,Theta2,X): m = X.shape[0] num_labels = Theta2.shape[0] #p = np.zeros((m,1)) '''正向传播,预测结果''' X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1))) h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1)) h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2))) ''' 返回h中每一行最大值所在的列号 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值(是某个数字的最大概率) - 最后where找到的最大概率所在的列号(列号即是对应的数字) ''' #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',') p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0])) for i in np.arange(1, m): t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i])) p = np.vstack((p,t)) return p

9、输出结果

梯度检查:

随机显示100个手写数字

显示theta1权重

训练集预测准确度

归一化后训练集预测准确度

四、SVM支持向量机

1、代价函数

在逻辑回归中,我们的代价为:

其中:

如图所示,如果y=1,cost代价函数如图所示

我们想让

,即z>>0,这样的话cost代价函数才会趋于最小(这是我们想要的),所以用途中红色的函数

代替逻辑回归中的cost

当y=0时同样,用

代替

最终得到的代价函数为:

最后我们想要

之前我们逻辑回归中的代价函数为:

可以认为这里的

,只是表达形式问题,这里C的值越大,SVM的决策边界的margin也越大,下面会说明

2、Large Margin

如下图所示,SVM分类会使用最大的margin将其分开

先说一下向量内积

表示u的欧几里得范数(欧式范数),

向量V在向量u上的投影的长度记为p,则:向量内积:

根据向量夹角公式推导一下即可,

前面说过,当C越大时,margin也就越大,我们的目的是最小化代价函数J(θ),当margin最大时,C的乘积项

要很小,所以近似为:

我们最后的目的就是求使代价最小的θ

可以得到:

p即为x在θ上的投影

如下图所示,假设决策边界如图,找其中的一个点,到θ上的投影为p,则

或者

,若是p很小,则需要

很大,这与我们要求的θ使

最小相违背,所以最后求的是large margin

3、SVM Kernel(核函数)

对于线性可分的问题,使用线性核函数即可

对于线性不可分的问题,在逻辑回归中,我们是将feature映射为使用多项式的形式

,SVM中也有多项式核函数,但是更常用的是高斯核函数,也称为RBF核

高斯核函数为:

假设如图几个点,

令:

. . .

可以看出,若是x与

距离较近,==》

,(即相似度较大),若是x与

距离较远,==》

,(即相似度较低)

高斯核函数的σ越小,f下降的越快

如何选择初始的

训练集:

选择:

对于给出的x,计算f,令:

所以:

最小化J求出θ,

如果

,==》预测y=1

4、使用scikit-learn中的SVM模型代码

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/SVM/SVM_scikit-learn.py

线性可分的,指定核函数为linear:

'''data1——线性分类''' data1 = spio.loadmat('data1.mat') X = data1['X'] y = data1['y'] y = np.ravel(y) plot_data(X,y) model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数

非线性可分的,默认核函数为rbf

'''data2——非线性分类''' data2 = spio.loadmat('data2.mat') X = data2['X'] y = data2['y'] y = np.ravel(y) plt = plot_data(X,y) plt.show() model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y) # gamma为核函数的系数,值越大拟合的越好

5、运行结果

线性可分的决策边界:

线性不可分的决策边界:

五、K-Means聚类算法

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/K-Means/K-Menas.py

1、聚类过程

聚类属于无监督学习,不知道y的标记分为K类

K-Means算法分为两个步骤

第一步:簇分配,随机选K个点作为中心,计算到这K个点的距离,分为K个簇

第二步:移动聚类中心:重新计算每个簇的中心,移动中心,重复以上步骤。

如下图所示:

随机分配的聚类中心

重新计算聚类中心,移动一次

最后10步之后的聚类中心

计算每条数据到哪个中心最近实现代码:

# 找到每条数据距离哪个类中心最近 def findClosestCentroids(X,initial_centroids): m = X.shape[0] # 数据条数 K = initial_centroids.shape[0] # 类的总数 dis = np.zeros((m,K)) # 存储计算每个点分别到K个类的距离 idx = np.zeros((m,1)) # 要返回的每条数据属于哪个类 '''计算每个点到每个类中心的距离''' for i in range(m): for j in range(K): dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1)) '''返回dis每一行的最小值对应的列号,即为对应的类别 - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值 - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标 - 注意:可能最小值对应的坐标有多个,where都会找出来,所以返回时返回前m个需要的即可(因为对于多个最小值,属于哪个类别都可以) ''' dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) return idx[0:dis.shape[0]] # 注意截取一下

计算类中心实现代码:

# 计算类中心 def computerCentroids(X,idx,K): n = X.shape[1] centroids = np.zeros((K,n)) for i in range(K): centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1) # 索引要是一维的,axis=0为每一列,idx==i一次找出属于哪一类的,然后计算均值 return centroids

2、目标函数

也叫做失真代价函数

最后我们想得到:

其中

表示第i条数据距离哪个类中心最近,其中

即为聚类的中心

3、聚类中心的选择

随机初始化,从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心

随机一次的结果可能不好,可以随机多次,最后取使代价函数最小的作为中心

实现代码:(这里随机一次)

# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心 def kMeansInitCentroids(X,K): m = X.shape[0] m_arr = np.arange(0,m) # 生成0-m-1 centroids = np.zeros((K,X.shape[1])) np.random.shuffle(m_arr) # 打乱m_arr顺序 rand_indices = m_arr[:K] # 取前K个 centroids = X[rand_indices,:] return centroids

4、聚类个数K的选择

聚类是不知道y的label的,所以不知道真正的聚类个数

肘部法则(Elbow method)

作代价函数J和K的图,若是出现一个拐点,如下图所示,K就取拐点处的值,下图此时K=3

若是很平滑就不明确,人为选择。

第二种就是人为观察选择

5、应用——图片压缩

将图片的像素分为若干类,然后用这个类代替原来的像素值

执行聚类的算法代码:

# 聚类算法 def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process): m,n = X.shape # 数据条数和维度 K = initial_centroids.shape[0] # 类数 centroids = initial_centroids # 记录当前类中心 previous_centroids = centroids # 记录上一次类中心 idx = np.zeros((m,1)) # 每条数据属于哪个类 for i in range(max_iters): # 迭代次数 print u'迭代计算次数:%d'%(i+1) idx = findClosestCentroids(X, centroids) if plot_process: # 如果绘制图像 plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程 previous_centroids = centroids # 重置 centroids = computerCentroids(X, idx, K) # 重新计算类中心 if plot_process: # 显示最终的绘制结果 plt.show() return centroids,idx # 返回聚类中心和数据属于哪个类

6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/K-Means/K-Means_scikit-learn.py

导入包

from sklearn.cluster import KMeans

使用模型拟合数据

model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类,拟合数据

聚类中心

centroids = model.cluster_centers_ # 聚类中心

7、运行结果

二维数据类中心的移动

图片压缩

六、PCA主成分分析(降维)

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/PCA/PCA.py

1、用处

数据压缩(Data Compression),使程序运行更快

可视化数据,例如3D-->2D等

......

2、2D-->1D,nD-->kD

如下图所示,所有数据点可以投影到一条直线,是投影距离的平方和(投影误差)最小

注意数据需要归一化处理

思路是找1个向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小

那么nD-->kD就是找k个向量

所有数据投影到上面使投影误差最小

eg:3D-->2D,2个向量

就代表一个平面了,所有点投影到这个平面的投影误差最小即可

3、主成分分析PCA与线性回归的区别

线性回归是找x与y的关系,然后用于预测y

PCA是找一个投影面,最小化data到这个投影面的投影误差

4、PCA降维过程

数据预处理(均值归一化)

公式:

就是减去对应feature的均值,然后除以对应特征的标准差(也可以是最大值-最小值)

实现代码:

# 归一化数据 def featureNormalize(X): '''(每一个数据-当前列的均值)/当前列的标准差''' n = X.shape[1] mu = np.zeros((1,n)); sigma = np.zeros((1,n)) mu = np.mean(X,axis=0) sigma = np.std(X,axis=0) for i in range(n): X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i] return X,mu,sigma

计算协方差矩阵Σ(Covariance Matrix):

注意这里的Σ和求和符号不同

协方差矩阵对称正定(不理解正定的看看线代)

大小为nxn,n为feature的维度

实现代码:

Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m # 求Sigma

计算Σ的特征值和特征向量

可以是用svd奇异值分解函数:U,S,V = svd(Σ)

返回的是与Σ同样大小的对角阵S(由Σ的特征值组成)[注意:matlab中函数返回的是对角阵,在python中返回的是一个向量,节省空间]

还有两个酉矩阵U和V,且

注意:svd函数求出的S是按特征值降序排列的,若不是使用svd,需要按特征值大小重新排列U

降维

选取U中的前K列(假设要降为K维)

Z就是对应降维之后的数据

实现代码:

# 映射数据 def projectData(X_norm,U,K): Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K)) U_reduce = U[:,0:K] # 取前K个 Z = np.dot(X_norm,U_reduce) return Z

过程总结:

Sigma = X'*X/m

U,S,V = svd(Sigma)

Ureduce = U[:,0:k]

Z = Ureduce'*x

5、数据恢复

因为:

所以:

(注意这里是X的近似值)

又因为Ureduce为正定矩阵,【正定矩阵满足:

,所以:

】,

所以这里:

实现代码:

# 恢复数据 def recoverData(Z,U,K): X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0])) U_recude = U[:,0:K] X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude)) # 还原数据(近似) return X_rec

6、主成分个数的选择(即要降的维度)

如何选择

投影误差(project error):

总变差(total variation):

若误差率(error ratio):

,则称99%保留差异性

误差率一般取1%,5%,10%等

如何实现

若是一个个试的话代价太大

之前U,S,V = svd(Sigma),我们得到了S,这里误差率error ratio:

可以一点点增加K尝试。

7、使用建议

不要使用PCA去解决过拟合问题Overfitting,还是使用正则化的方法(如果保留了很高的差异性还是可以的)

只有在原数据上有好的结果,但是运行很慢,才考虑使用PCA

8、运行结果

2维数据降为1维

要投影的方向

2D降为1D及对应关系

人脸数据降维

原始数据

可视化部分U矩阵信息

恢复数据

9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/PCA/PCA.py_scikit-learn.py

导入需要的包:

#-*- coding: utf-8 -*- # Author:bob # Date:2016.12.22 import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt from scipy import io as spio from sklearn.decomposition import pca from sklearn.preprocessing import StandardScaler

归一化数据

'''归一化数据并作图''' scaler = StandardScaler() scaler.fit(X) x_train = scaler.transform(X)

使用PCA模型拟合数据,并降维

n_components对应要将的维度 '''拟合数据''' K=1 # 要降的维度 model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train) # 拟合数据,n_components定义要降的维度 Z = model.transform(x_train) # transform就会执行降维操作

数据恢复

model.components_会得到降维使用的U矩阵

'''数据恢复并作图''' Ureduce = model.components_ # 得到降维用的Ureduce x_rec = np.dot(Z,Ureduce) # 数据恢复

七、异常检测 Anomaly Detection

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/AnomalyDetection/AnomalyDetection.py

1、高斯分布(正态分布)Gaussian distribution

分布函数:

其中,u为数据的均值,σ为数据的标准差

σ越小,对应的图像越尖

参数估计(parameter estimation)

2、异常检测算法

例子

训练集:

,其中

假设

相互独立,建立model模型:

过程

选择具有代表异常的feature:xi

参数估计:

计算p(x),若是P(x)<ε则认为异常,其中ε为我们要求的概率的临界值threshold

这里只是单元高斯分布,假设了feature之间是独立的,下面会讲到多元高斯分布,会自动捕捉到feature之间的关系

参数估计实现代码

# 参数估计函数(就是求均值和方差)
def estimateGaussian(X):
    m,n = X.shape
    mu = np.zeros((n,1))
    sigma2 = np.zeros((n,1))
 
    mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列,每列的均值
    sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差
    return mu,sigma2

3、评价p(x)的好坏,以及ε的选取

对偏斜数据的错误度量

因为数据可能是非常偏斜的(就是y=1的个数非常少,(y=1表示异常)),所以可以使用Precision/Recall,计算F1Score(在CV交叉验证集上)

例如:预测癌症,假设模型可以得到99%能够预测正确,1%的错误率,但是实际癌症的概率很小,只有0.5%,那么我们始终预测没有癌症y=0反而可以得到更小的错误率。使用error rate来评估就不科学了。

如下图记录:

,即:正确预测正样本/所有预测正样本

,即:正确预测正样本/真实值为正样本

总是让y=1(较少的类),计算Precision和Recall

还是以癌症预测为例,假设预测都是no-cancer,TN=199,FN=1,TP=0,FP=0,所以:Precision=0/0,Recall=0/1=0,尽管accuracy=199/200=99.5%,但是不可信。

ε的选取

尝试多个ε值,使F1Score的值高

实现代码

# 选择最优的epsilon,即:使F1Score最大    
def selectThreshold(yval,pval):
    '''初始化所需变量'''
    bestEpsilon = 0.
    bestF1 = 0.
    F1 = 0.
    step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000
    '''计算'''
    for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):
        cvPrecision = pval<epsilon
        tp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 1)).astype(float)  # sum求和是int型的,需要转为float
        fp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)
        fn = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)
        precision = tp/(tp+fp)  # 精准度
        recision = tp/(tp+fn)   # 召回率
        F1 = (2*precision*recision)/(precision+recision)  # F1Score计算公式
        if F1 > bestF1:  # 修改最优的F1 Score
            bestF1 = F1
            bestEpsilon = epsilon
    return bestEpsilon,bestF1

4、选择使用什么样的feature(单元高斯分布)

如果一些数据不是满足高斯分布的,可以变化一下数据,例如log(x+C),x^(1/2)等

如果p(x)的值无论异常与否都很大,可以尝试组合多个feature,(因为feature之间可能是有关系的)

5、多元高斯分布

单元高斯分布存在的问题

如下图,红色的点为异常点,其他的都是正常点(比如CPU和memory的变化)

x1对应的高斯分布如下:

x2对应的高斯分布如下:

可以看出对应的p(x1)和p(x2)的值变化并不大,就不会认为异常

因为我们认为feature之间是相互独立的,所以如上图是以正圆的方式扩展

多元高斯分布

,并不是建立p(x1),p(x2)...p(xn),而是统一建立p(x)

其中参数:

,Σ为协方差矩阵

同样,|Σ|越小,p(x)越尖

例如:

表示x1,x2正相关,即x1越大,x2也就越大,如下图,也就可以将红色的异常点检查出了

若:

表示x1,x2负相关

实现代码:

# 多元高斯分布函数    
def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):
    k = len(mu)
    if (Sigma2.shape[0]>1):
        Sigma2 = np.diag(Sigma2)
    '''多元高斯分布函数'''    
    X = X-mu
    argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)
    p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1))  # axis表示每行
    return p

6、单元和多元高斯分布特点

单元高斯分布

人为可以捕捉到feature之间的关系时可以使用

计算量小

多元高斯分布

自动捕捉到相关的feature

计算量大,因为:

m>n或Σ可逆时可以使用。(若不可逆,可能有冗余的x,因为线性相关,不可逆,或者就是m<n)

7、程序运行结果

显示数据

等高线

异常点标注

原文地址 https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python#

原文发布于微信公众号 - 数据科学与人工智能(DS_AI_shujuren)

原文发表时间:2018-03-23

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