【算法】Python实现机器学习算法
小编邀请您，先思考：
1 您使用Python做过什么？
2 如何用Python实现决策树系列算法？
人生苦短，就用 Python。
在 Kaggle 最新发布的全球数据科学/机器学习现状报告中，来自 50 多个国家的 16000 多位从业者纷纷向新手们推荐 Python 语言，用以学习机器学习。
那么，用Python实现出来的机器学习算法都是什么样子呢？营长刚好在 GitHub 上发现了东南大学研究生“Lawlite”的一个项目——机器学习算法的Python实现，下面从线性回归到反向传播算法、从SVM到K-means聚类算法，咱们一一来分析其中的Python代码。
目录
- 一、线性回归
- 1、代价函数
- 2、梯度下降算法
- 3、均值归一化
- 4、最终运行结果
- 5、使用scikit-learn库中的线性模型实现
- 二、逻辑回归
- 1、代价函数
- 2、梯度
- 3、正则化
- 4、S型函数（即）
- 5、映射为多项式
- 6、使用的优化方法
- 7、运行结果
- 8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
- 逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
- 1、随机显示100个数字
- 2、OneVsAll
- 3、手写数字识别
- 4、预测
- 5、运行结果
- 6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
- 三、BP神经网络
- 1、神经网络model
- 2、代价函数
- 3、正则化
- 4、反向传播BP
- 5、BP可以求梯度的原因
- 6、梯度检查
- 7、权重的随机初始化
- 8、预测
- 9、输出结果
- 四、SVM支持向量机
- 1、代价函数
- 2、Large Margin
- 3、SVM Kernel（核函数）
- 4、使用中的模型代码
- 5、运行结果
- 五、K-Means聚类算法
- 1、聚类过程
- 2、目标函数
- 3、聚类中心的选择
- 4、聚类个数K的选择
- 5、应用——图片压缩
- 6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类
- 7、运行结果
- 六、PCA主成分分析（降维）
- 1、用处
- 2、2D-->1D，nD-->kD
- 3、主成分分析PCA与线性回归的区别
- 4、PCA降维过程
- 5、数据恢复
- 6、主成分个数的选择（即要降的维度）
- 7、使用建议
- 8、运行结果
- 9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维
- 七、异常检测 Anomaly Detection
- 1、高斯分布（正态分布）
- 2、异常检测算法
- 3、评价的好坏，以及的选取
- 4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）
- 5、多元高斯分布
- 6、单元和多元高斯分布特点
- 7、程序运行结果
正文
一、线性回归
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LinearRegression
全部代码 https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LinearRegression/LinearRegression.py
1、代价函数
其中：
下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近
共有m条数据，其中
代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消
前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2可以消去
实现代码：
# 计算代价函数 def computerCost(X,y,theta): m = len(y) J = 0 J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J return J
注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)
2、梯度下降算法
代价函数对
求偏导得到：
所以对theta的更新可以写为：
其中
为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....
为什么梯度下降可以逐步减小代价函数？
假设函数f(x)
泰勒展开：f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)，
令：△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α
将△x代入泰勒展开式中：f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x)
可以看出，α是取得很小的正数，[f'(x)]²也是正数，所以可以得出：f(x+△x)<=f(x)
所以沿着负梯度放下，函数在减小，多维情况一样。
# 梯度下降算法 def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters): m = len(y) n = len(theta) temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters))) # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式 J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值 for i in range(num_iters): # 遍历迭代次数 h = np.dot(X,theta) # 计算内积，matrix可以直接乘 temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y))) #梯度的计算 theta = temp[:,i] J_history[i] = computerCost(X,y,theta) #调用计算代价函数 print '.', return theta,J_history
3、均值归一化
目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
其中
为所有此feture数据的平均值
可以是最大值-最小值，也可以是这个feature对应的数据的标准差
实现代码：
# 归一化feature def featureNormaliza(X): X_norm = np.array(X) #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算 #定义所需变量 mu = np.zeros((1,X.shape[1])) sigma = np.zeros((1,X.shape[1])) mu = np.mean(X_norm,0) # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行） sigma = np.std(X_norm,0) # 求每一列的标准差 for i in range(X.shape[1]): # 遍历列 X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i] # 归一化 return X_norm,mu,sigma
注意预测的时候也需要均值归一化数据
4、最终运行结果
代价随迭代次数的变化
5、使用scikit-learn库中的线性模型实现
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LinearRegression/LinearRegression_scikit-learn.py
导入包
from sklearn import linear_model from sklearn.preprocessing import StandardScaler #引入缩放的包
归一化
# 归一化操作 scaler = StandardScaler() scaler.fit(X) x_train = scaler.transform(X) x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))
线性模型拟合
# 线性模型拟合 model = linear_model.LinearRegression() model.fit(x_train, y)
预测
#预测结果 result = model.predict(x_test)
二、逻辑回归
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LogisticRegression
全部代码
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression.py
1、代价函数
可以综合起来为：
其中：
为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
的图像如下，即y=1时：
可以看出，当
趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若
趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值
同理
的图像如下（y=0）：
2、梯度
同样对代价函数求偏导：
可以看出与线性回归的偏导数一致
推导过程
3、正则化
目的是为了防止过拟合
在代价函数中加上一项
注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化
正则化后的代价：
# 代价函数 def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda): m = len(y) J = 0 h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) # 计算h(z) theta1 = initial_theta.copy() # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 theta1[0] = 0 temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1) J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正则化的代价方程 return J
正则化后的代价的梯度
# 计算梯度 def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda): m = len(y) grad = np.zeros((initial_theta.shape[0])) h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z) theta1 = initial_theta.copy() theta1[0] = 0 grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度 return grad
4、S型函数（即
）
实现代码：
# S型函数 def sigmoid(z): h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化，与z的长度一置 h = 1.0/(1.0+np.exp(-z)) return h
5、映射为多项式
因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合
eg:映射为2次方的形式:
实现代码：
# 映射为多项式 def mapFeature(X1,X2): degree = 3; # 映射的最高次方 out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组（取代X） ''' 这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2 ''' for i in np.arange(1,degree+1): for j in range(i+1): temp = X1**(i-j)*(X2**j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.* out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1))) return out
6、使用scipy的优化方法
梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数
调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
costFunction是自己实现的一个求代价的函数，
initial_theta表示初始化的值,
fprime指定costFunction的梯度
args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))
7、运行结果
data1决策边界和准确度
data2决策边界和准确度
8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_scikit-learn.py
导入包
from sklearn.linear_model import LogisticRegression from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.cross_validation import train_test_split import numpy as np
划分训练集和测试集
# 划分为训练集和测试集 x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)
归一化
# 归一化 scaler = StandardScaler() scaler.fit(x_train) x_train = scaler.fit_transform(x_train) x_test = scaler.fit_transform(x_test)
逻辑回归
#逻辑回归 model = LogisticRegression() model.fit(x_train,y_train)
预测
# 预测 predict = model.predict(x_test) right = sum(predict == y_test) predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1))) # 将预测值和真实值放在一块，好观察 print predict print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) #计算在测试集上的准确度
逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression
全部代码
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll.py
1、随机显示100个数字
我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下
灰度图：
实现代码：
# 显示100个数字 def display_data(imgData): sum = 0 ''' 显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可） - 初始化一个二维数组 - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组 - 显示即可 ''' pad = 1 display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad))) for i in range(10): for j in range(10): display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F")) # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行 sum += 1 plt.imshow(display_array,cmap='gray') #显示灰度图像 plt.axis('off') plt.show()
2、OneVsAll
如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了
如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推...
可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类
3、手写数字识别
共有0-9，10个数字，需要10次分类
由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理
说一下数据集，前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图，处理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0....
然后调用梯度下降算法求解theta
实现代码：
# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda): # 初始化变量 m,n = X.shape all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列 X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前补上一列1的偏置bias class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',') '''遍历每个分类，计算对应的theta值''' for i in range(num_labels): result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法 all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中 all_theta = np.transpose(all_theta) return all_theta
4、预测
之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的S型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推
实现代码：
# 预测 def predict_oneVsAll(all_theta,X): m = X.shape[0] num_labels = all_theta.shape[0] p = np.zeros((m,1)) X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1 h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) #预测 ''' 返回h中每一行最大值所在的列号 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率） - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字） ''' p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0])) for i in np.arange(1, m): t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i])) p = np.vstack((p,t)) return p
5、运行结果
10次分类，在训练集上的准确度：
6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll_scikit-learn.py
1、导入包
from scipy import io as spio import numpy as np from sklearn import svm from sklearn.linear_model import LogisticRegression
2、加载数据
data = loadmat_data("data_digits.mat") X = data['X'] # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px y = data['y'] # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1) y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)
3、拟合模型
model = LogisticRegression() model.fit(X, y) # 拟合
4、预测
predict = model.predict(X) #预测 print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)
5、输出结果（在训练集上的准确度）
三、BP神经网络
全部代码
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/NeuralNetwok/NeuralNetwork.py
1、神经网络model
先介绍个三层的神经网络，如下图所示
输入层（input layer）有三个units（
为补上的bias，通常设为1）
表示第j层的第i个激励，也称为为单元unit
为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重
所以可以得到：
隐含层：
输出层
，
其中，S型函数
，也成为激励函数
可以看出
为3x4的矩阵，
为1x4的矩阵
==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）
2、代价函数
假设最后输出的
，即代表输出层有K个单元
，
其中，
代表第i个单元输出与逻辑回归的代价函数
差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）
3、正则化
L-->所有层的个数
-->第l层unit的个数
正则化后的代价函数为
共有L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)
正则化后的代价函数实现代码：
# 代价函数 def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda): length = nn_params.shape[0] # theta的中长度 # 还原theta1和theta2 Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1) Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1) # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',') m = X.shape[0] class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始''' Theta1_colCount = Theta1.shape[1] Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount] Theta2_colCount = Theta2.shape[1] Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount] # 正则化向theta^2 term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))) '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias''' a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1)) a2 = sigmoid(z2) a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2)) z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2)) h = sigmoid(z3) '''代价''' J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m return np.ravel(J)
4、反向传播BP
上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度
BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度
假设4层的神经网络,
记为-->l层第j个单元的误差
《===》
（向量化）
没有
，因为对于输入没有误差
因为S型函数
的倒数为：
，
所以上面的
和
可以在前向传播中计算出来
反向传播计算梯度的过程为：
（
是大写的
）
for i=1-m:-
-正向传播计算
（l=2,3,4...L）
-反向计算
、
...
；
-
-
最后
，即得到代价函数的梯度
实现代码：
# 梯度 def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda): length = nn_params.shape[0] Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1) Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1) m = X.shape[0] class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始''' Theta1_colCount = Theta1.shape[1] Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount] Theta2_colCount = Theta2.shape[1] Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount] Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) #第一层到第二层的权重 Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) #第二层到第三层的权重 Theta1[:,0] = 0; Theta2[:,0] = 0; '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias''' a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1)) a2 = sigmoid(z2) a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2)) z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2)) h = sigmoid(z3) '''反向传播，delta为误差，''' delta3 = np.zeros((m,num_labels)) delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size)) for i in range(m): delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:] Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1)) delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:]) Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1)) '''梯度''' grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m return np.ravel(grad)
5、BP可以求梯度的原因
实际是利用了链式求导法则
因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。
求误差更详细的推导过程：
6、梯度检查
检查利用BP求的梯度是否正确
利用导数的定义验证：
求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
实现代码：
# 检验梯度是否计算正确 # 检验梯度是否计算正确 def checkGradient(Lambda = 0): '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了''' input_layer_size = 3 hidden_layer_size = 5 num_labels = 3 m = 5 initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels) X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m) y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y y = y.reshape(-1,1) nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) #展开theta '''BP求出梯度''' grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) '''使用数值法计算梯度''' num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0])) step = np.zeros((nn_params.shape[0])) e = 1e-4 for i in range(nn_params.shape[0]): step[i] = e loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e) step[i]=0 # 显示两列比较 res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1))) print res
7、权重的随机初始化
神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
所以应该初始化为接近0的数
实现代码
# 随机初始化权重theta def randInitializeWeights(L_in,L_out): W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 对应theta的权重 epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5 W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵 return W
8、预测
正向传播预测结果
实现代码
# 预测 def predict(Theta1,Theta2,X): m = X.shape[0] num_labels = Theta2.shape[0] #p = np.zeros((m,1)) '''正向传播，预测结果''' X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1))) h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1)) h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2))) ''' 返回h中每一行最大值所在的列号 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率） - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字） ''' #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',') p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0])) for i in np.arange(1, m): t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i])) p = np.vstack((p,t)) return p
9、输出结果
梯度检查：
随机显示100个手写数字
显示theta1权重
训练集预测准确度
归一化后训练集预测准确度
四、SVM支持向量机
1、代价函数
在逻辑回归中，我们的代价为：
，
其中：
，
如图所示，如果y=1，cost代价函数如图所示
我们想让
，即z>>0，这样的话cost代价函数才会趋于最小（这是我们想要的），所以用途中红色的函数
代替逻辑回归中的cost
当y=0时同样，用
代替
最终得到的代价函数为：
最后我们想要
之前我们逻辑回归中的代价函数为：
可以认为这里的
，只是表达形式问题，这里C的值越大，SVM的决策边界的margin也越大，下面会说明
2、Large Margin
如下图所示,SVM分类会使用最大的margin将其分开
先说一下向量内积
，
表示u的欧几里得范数（欧式范数），
向量V在向量u上的投影的长度记为p，则：向量内积：
根据向量夹角公式推导一下即可，
前面说过，当C越大时，margin也就越大，我们的目的是最小化代价函数J(θ),当margin最大时，C的乘积项
要很小，所以近似为：
，
我们最后的目的就是求使代价最小的θ
由
可以得到：
，
p即为x在θ上的投影
如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到θ上的投影为p,则
或者
，若是p很小，则需要
很大，这与我们要求的θ使
最小相违背，所以最后求的是large margin
3、SVM Kernel（核函数）
对于线性可分的问题，使用线性核函数即可
对于线性不可分的问题，在逻辑回归中，我们是将feature映射为使用多项式的形式
，SVM中也有多项式核函数，但是更常用的是高斯核函数，也称为RBF核
高斯核函数为：
假设如图几个点，
令：
，
. . .
可以看出，若是x与
距离较近，==》
，（即相似度较大），若是x与
距离较远，==》
，（即相似度较低）
高斯核函数的σ越小，f下降的越快
如何选择初始的
训练集：
选择：
对于给出的x，计算f,令：
，
所以：
最小化J求出θ，
如果
，==》预测y=1
4、使用scikit-learn中的SVM模型代码
全部代码
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/SVM/SVM_scikit-learn.py
线性可分的,指定核函数为linear：
'''data1——线性分类''' data1 = spio.loadmat('data1.mat') X = data1['X'] y = data1['y'] y = np.ravel(y) plot_data(X,y) model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数
非线性可分的，默认核函数为rbf
'''data2——非线性分类''' data2 = spio.loadmat('data2.mat') X = data2['X'] y = data2['y'] y = np.ravel(y) plt = plot_data(X,y) plt.show() model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y) # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好
5、运行结果
线性可分的决策边界：
线性不可分的决策边界：
五、K-Means聚类算法
全部代码
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/K-Means/K-Menas.py
1、聚类过程
聚类属于无监督学习，不知道y的标记分为K类
K-Means算法分为两个步骤
第一步：簇分配，随机选K个点作为中心，计算到这K个点的距离，分为K个簇
第二步：移动聚类中心：重新计算每个簇的中心，移动中心，重复以上步骤。
如下图所示：
随机分配的聚类中心
重新计算聚类中心，移动一次
最后10步之后的聚类中心
计算每条数据到哪个中心最近实现代码：
# 找到每条数据距离哪个类中心最近 def findClosestCentroids(X,initial_centroids): m = X.shape[0] # 数据条数 K = initial_centroids.shape[0] # 类的总数 dis = np.zeros((m,K)) # 存储计算每个点分别到K个类的距离 idx = np.zeros((m,1)) # 要返回的每条数据属于哪个类 '''计算每个点到每个类中心的距离''' for i in range(m): for j in range(K): dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1)) '''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别 - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值 - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标 - 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以） ''' dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) return idx[0:dis.shape[0]] # 注意截取一下
计算类中心实现代码：
# 计算类中心 def computerCentroids(X,idx,K): n = X.shape[1] centroids = np.zeros((K,n)) for i in range(K): centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1) # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值 return centroids
2、目标函数
也叫做失真代价函数
最后我们想得到：
其中
表示第i条数据距离哪个类中心最近，其中
即为聚类的中心
3、聚类中心的选择
随机初始化，从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心
随机一次的结果可能不好，可以随机多次，最后取使代价函数最小的作为中心
实现代码：(这里随机一次)
# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心 def kMeansInitCentroids(X,K): m = X.shape[0] m_arr = np.arange(0,m) # 生成0-m-1 centroids = np.zeros((K,X.shape[1])) np.random.shuffle(m_arr) # 打乱m_arr顺序 rand_indices = m_arr[:K] # 取前K个 centroids = X[rand_indices,:] return centroids
4、聚类个数K的选择
聚类是不知道y的label的，所以不知道真正的聚类个数
肘部法则（Elbow method）
作代价函数J和K的图，若是出现一个拐点，如下图所示，K就取拐点处的值，下图此时K=3
若是很平滑就不明确，人为选择。
第二种就是人为观察选择
5、应用——图片压缩
将图片的像素分为若干类，然后用这个类代替原来的像素值
执行聚类的算法代码：
# 聚类算法 def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process): m,n = X.shape # 数据条数和维度 K = initial_centroids.shape[0] # 类数 centroids = initial_centroids # 记录当前类中心 previous_centroids = centroids # 记录上一次类中心 idx = np.zeros((m,1)) # 每条数据属于哪个类 for i in range(max_iters): # 迭代次数 print u'迭代计算次数：%d'%(i+1) idx = findClosestCentroids(X, centroids) if plot_process: # 如果绘制图像 plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程 previous_centroids = centroids # 重置 centroids = computerCentroids(X, idx, K) # 重新计算类中心 if plot_process: # 显示最终的绘制结果 plt.show() return centroids,idx # 返回聚类中心和数据属于哪个类
6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/K-Means/K-Means_scikit-learn.py
导入包
from sklearn.cluster import KMeans
使用模型拟合数据
model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据
聚类中心
centroids = model.cluster_centers_ # 聚类中心
7、运行结果
二维数据类中心的移动
图片压缩
六、PCA主成分分析（降维）
全部代码
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/PCA/PCA.py
1、用处
数据压缩（Data Compression）,使程序运行更快
可视化数据，例如3D-->2D等
......
2、2D-->1D，nD-->kD
如下图所示，所有数据点可以投影到一条直线，是投影距离的平方和（投影误差）最小
注意数据需要归一化处理
思路是找1个向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小
那么nD-->kD就是找k个向量
，
所有数据投影到上面使投影误差最小
eg:3D-->2D,2个向量
就代表一个平面了，所有点投影到这个平面的投影误差最小即可
3、主成分分析PCA与线性回归的区别
线性回归是找x与y的关系，然后用于预测y
PCA是找一个投影面，最小化data到这个投影面的投影误差
4、PCA降维过程
数据预处理（均值归一化）
公式：
就是减去对应feature的均值，然后除以对应特征的标准差（也可以是最大值-最小值）
实现代码：
# 归一化数据 def featureNormalize(X): '''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差''' n = X.shape[1] mu = np.zeros((1,n)); sigma = np.zeros((1,n)) mu = np.mean(X,axis=0) sigma = np.std(X,axis=0) for i in range(n): X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i] return X,mu,sigma
计算协方差矩阵Σ（Covariance Matrix）：
注意这里的Σ和求和符号不同
协方差矩阵对称正定（不理解正定的看看线代）
大小为nxn,n为feature的维度
实现代码：
Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m # 求Sigma
计算Σ的特征值和特征向量
可以是用svd奇异值分解函数：U,S,V = svd(Σ)
返回的是与Σ同样大小的对角阵S（由Σ的特征值组成）[注意：matlab中函数返回的是对角阵，在python中返回的是一个向量，节省空间]
还有两个酉矩阵U和V，且
注意：svd函数求出的S是按特征值降序排列的，若不是使用svd,需要按特征值大小重新排列U
降维
选取U中的前K列（假设要降为K维）
Z就是对应降维之后的数据
实现代码：
# 映射数据 def projectData(X_norm,U,K): Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K)) U_reduce = U[:,0:K] # 取前K个 Z = np.dot(X_norm,U_reduce) return Z
过程总结：
Sigma = X'*X/m
U,S,V = svd(Sigma)
Ureduce = U[:,0:k]
Z = Ureduce'*x
5、数据恢复
因为：
，
所以：
（注意这里是X的近似值）
又因为Ureduce为正定矩阵，【正定矩阵满足：
，所以：
】，
所以这里：
实现代码：
# 恢复数据 def recoverData(Z,U,K): X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0])) U_recude = U[:,0:K] X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude)) # 还原数据（近似） return X_rec
6、主成分个数的选择（即要降的维度）
如何选择
投影误差（project error）：
总变差（total variation）:
若误差率（error ratio）：
，则称99%保留差异性
误差率一般取1%，5%，10%等
如何实现
若是一个个试的话代价太大
之前U,S,V = svd(Sigma),我们得到了S，这里误差率error ratio:
可以一点点增加K尝试。
7、使用建议
不要使用PCA去解决过拟合问题Overfitting，还是使用正则化的方法（如果保留了很高的差异性还是可以的）
只有在原数据上有好的结果，但是运行很慢，才考虑使用PCA
8、运行结果
2维数据降为1维
要投影的方向
2D降为1D及对应关系
人脸数据降维
原始数据
可视化部分U矩阵信息
恢复数据
9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/PCA/PCA.py_scikit-learn.py
导入需要的包：
#-*- coding: utf-8 -*- # Author:bob # Date:2016.12.22 import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt from scipy import io as spio from sklearn.decomposition import pca from sklearn.preprocessing import StandardScaler
归一化数据
'''归一化数据并作图''' scaler = StandardScaler() scaler.fit(X) x_train = scaler.transform(X)
使用PCA模型拟合数据，并降维
n_components对应要将的维度 '''拟合数据''' K=1 # 要降的维度 model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train) # 拟合数据，n_components定义要降的维度 Z = model.transform(x_train) # transform就会执行降维操作
数据恢复
model.components_会得到降维使用的U矩阵
'''数据恢复并作图''' Ureduce = model.components_ # 得到降维用的Ureduce x_rec = np.dot(Z,Ureduce) # 数据恢复
七、异常检测 Anomaly Detection
全部代码
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/AnomalyDetection/AnomalyDetection.py
1、高斯分布（正态分布）Gaussian distribution
分布函数：
其中，u为数据的均值，σ为数据的标准差
σ越小，对应的图像越尖
参数估计（parameter estimation）
2、异常检测算法
例子
训练集：
,其中
假设
相互独立，建立model模型：
过程
选择具有代表异常的feature:xi
参数估计：
计算p(x),若是P(x)<ε则认为异常，其中ε为我们要求的概率的临界值threshold
这里只是单元高斯分布，假设了feature之间是独立的，下面会讲到多元高斯分布，会自动捕捉到feature之间的关系
参数估计实现代码
# 参数估计函数（就是求均值和方差）
def estimateGaussian(X):
m,n = X.shape
mu = np.zeros((n,1))
sigma2 = np.zeros((n,1))
mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列，每列的均值
sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差
return mu,sigma23、评价p(x)的好坏，以及ε的选取
对偏斜数据的错误度量
因为数据可能是非常偏斜的（就是y=1的个数非常少，(y=1表示异常)），所以可以使用Precision/Recall，计算F1Score(在CV交叉验证集上)
例如：预测癌症，假设模型可以得到99%能够预测正确，1%的错误率，但是实际癌症的概率很小，只有0.5%，那么我们始终预测没有癌症y=0反而可以得到更小的错误率。使用error rate来评估就不科学了。
如下图记录：
，即：正确预测正样本/所有预测正样本
，即：正确预测正样本/真实值为正样本
总是让y=1(较少的类)，计算Precision和Recall
还是以癌症预测为例，假设预测都是no-cancer，TN=199，FN=1，TP=0，FP=0，所以：Precision=0/0，Recall=0/1=0，尽管accuracy=199/200=99.5%，但是不可信。
ε的选取
尝试多个ε值，使F1Score的值高
实现代码
# 选择最优的epsilon，即：使F1Score最大
def selectThreshold(yval,pval):
'''初始化所需变量'''
bestEpsilon = 0.
bestF1 = 0.
F1 = 0.
step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000
'''计算'''
for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):
cvPrecision = pval<epsilon
tp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 1)).astype(float) # sum求和是int型的，需要转为float
fp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)
fn = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)
precision = tp/(tp+fp) # 精准度
recision = tp/(tp+fn) # 召回率
F1 = (2*precision*recision)/(precision+recision) # F1Score计算公式
if F1 > bestF1: # 修改最优的F1 Score
bestF1 = F1
bestEpsilon = epsilon
return bestEpsilon,bestF14、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）
如果一些数据不是满足高斯分布的，可以变化一下数据，例如log(x+C),x^(1/2)等
如果p(x)的值无论异常与否都很大，可以尝试组合多个feature,(因为feature之间可能是有关系的)
5、多元高斯分布
单元高斯分布存在的问题
如下图，红色的点为异常点，其他的都是正常点（比如CPU和memory的变化）
x1对应的高斯分布如下：
x2对应的高斯分布如下：
可以看出对应的p(x1)和p(x2)的值变化并不大，就不会认为异常
因为我们认为feature之间是相互独立的，所以如上图是以正圆的方式扩展
多元高斯分布
，并不是建立p(x1),p(x2)...p(xn)，而是统一建立p(x)
其中参数：
,Σ为协方差矩阵
同样，|Σ|越小，p(x)越尖
例如：
，
表示x1,x2正相关，即x1越大，x2也就越大，如下图，也就可以将红色的异常点检查出了
若：
表示x1,x2负相关
实现代码：
# 多元高斯分布函数
def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):
k = len(mu)
if (Sigma2.shape[0]>1):
Sigma2 = np.diag(Sigma2)
'''多元高斯分布函数'''
X = X-mu
argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)
p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1)) # axis表示每行
return p6、单元和多元高斯分布特点
单元高斯分布
人为可以捕捉到feature之间的关系时可以使用
计算量小
多元高斯分布
自动捕捉到相关的feature
计算量大，因为：
m>n或Σ可逆时可以使用。（若不可逆，可能有冗余的x，因为线性相关，不可逆，或者就是m<n）
7、程序运行结果
显示数据
等高线
异常点标注
原文地址 https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python#