读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略

读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略

混合的策略

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

策略，信念和期望收益

• 混合策略 玩家i的有限纯策略集合S_i = {s_{i1}, s_{i2}, \cdots, s_{im}} 将\Delta S_i定义为S_i的单纯形，是在S_i上所有概率分布的集合。 玩家i的一个混合策略(mixed strategy)是\sigma_i \in \Delta S_i \sigma_i = (\sigma_i(s_{i1}), \sigma_i(s_{i2}), \cdots, \sigma_i(s_{im})) \\ where \\ \sigma_i(s_{i}) \text{ : the probability that player i plays s_{i}}

两个明显的条件: \sigma_i(s_{i}) \geq 0, \forall s_i \in S_i \\ \sum_{s_i \in S_i} \sigma_i(s_{i}) = 1

v_i(s_i, \sigma_{-i}) = \sum_{s_{-i} \in S_{-i}} \sigma_{-i}(s_{-i}) v_i(s_i, s_{-i}) 玩家i选择混合策略\sigma_i \in \Delta S_i，并且对手选择混合策略\sigma_{-i} \ \Delta_{-i}，的期望收益: v_i(\sigma_i, \sigma_{-i}) = \sum_{s_{i} \in S_{i}} \sigma_{i}(s_{i}) v_i(s_i, s_{-i}) = \sum_{s_i \in S_i} ( \sum_{s_{-i} \in S_{-i}} \sigma_{i}(s_{i}) \sigma_{-i}(s_{i-}) v_i(s_i, s_{-i}) )

• 混合策略的纳什均衡 混合策略组合\sigma^* = (\sigma_1^*, \sigma_2^*, \cdots, \sigma_n^*)是一个纳什策略，如果对于每个玩家\(\sigma_i^*\)都是最佳响应。 v_i(\sigma_i^*, \sigma_{-i}^*) \geq v_i(\sigma_i, \sigma_{-i}^*), \ \forall \sigma_i \in \Delta S_i

推论 6.1

如果\sigma^*是一个纳什博弈，并且\sigma^*支持s_i和s'_i,则 v_i(s_i, \sigma_{-i}^*) = v_i(s'_i, \sigma_{-i}^*) = v_i(\sigma^*, \sigma_{-i}^*)

Rock-Paper-Scissor

断言 6.1:

如果一个玩家选择纯策略，另一个玩家选择混合策略，则不存在纳什均衡。

断言 6.2:

如果至少有一个玩家选择只有两个纯策略的混合策略，则不存在纳什均衡。

严格劣势策略的迭代消除和可合理化(IESDS and Rationalizability)

• 严格劣势 s'_i \in S_i严格劣势于\sigma_i \in \Delta S_i，如果满足条件： v_i(\sigma_i, s_{-i}) > v_i(s'_i, s_{-i}), \ \forall s_{-i} \in S_{-i} \\
• 不可能是一个最佳响应 对于玩家i的混合策略\sigma_i \in \Delta S_i，这个混合策略作为最佳响应的对手混合策略\sigma_i \in BR_i(\sigma_{-1})，如果对手的任何混合策略\sigma_{-1} \in \Delta S_{-i}都不在玩家i的信念中，则\sigma_i \in \Delta S_i不可能是一个最佳响应。

断言

一个劣势混合策略sigma_i不可能是一个最佳响应。

推论 6.2

任何两人博弈中，策略sigma_i是一个严格劣势纯策略，当且仅当策略sigma_i不可能是一个最佳响应。

纳什存在定理

纳什存在定理(Nash's existence Theorem)

任何普通形式、具有限策略集合的博弈存在一个纳什均衡的混合策略。 纳什存在定理的证明用到了不动点定理。

布劳威尔不动点定理(Brouwer's Fixed-Point Theorem)

如果f(x)是一个连续函数从域[0, 1]到[0, 1]f:[0, 1] \to [0, 1],则存在至少一个点f(x^*) = x^*, x^* \in [0, 1] 证明过程简介：连续函数f(x)一定和函数f_1(x) = x至少有一个交点。

• 最佳响应对应(collection of best response correspondence) 最佳响应对应集合BR \equiv BR_1 \times BR_2 \times \cdots \times BR_n，映射\Delta S \equiv \Delta S_1 \times \Delta S_2 \times \cdots \times \Delta S_n 到自身。 也就是说：BR : \Delta S \rightrightarrows \Delta S, BR(\sigma) \subset \Delta S, \ for \ \sigma \in \Delta S

角谷不动点定理(Kakutani Fixed-Point Theorem)

一个对应C: X \rightrightarrows X有一个不动点，如果以下四个条件都满足：

1. X是非空的，紧凑的，\mathbb{R}^n的凸子集
2. C(x)对于所有的x都非空。
3. C(x)对于所有的x都是凸的。
4. C有一个闭合图。

• 凸的(convex) 集合X \subseteq \mathbb{R}^n是凸的，如果集合X中任何两点的连线上的点都在集合X中。
• 闭合的(closed) 集合X \subseteq \mathbb{R}^n是闭合的，如果集合X边缘点在集合X中。(0, 1]是非闭合的，[0, 1]是闭合的。
• 紧凑的(compact) 集合X \subseteq \mathbb{R}^n是紧凑的，如果集合X是闭合并且有界。[0, 1]是紧凑的，[0, \infty]是非紧凑的。
• 闭合图(closed graph) 图C: X \rightrightarrows X是闭合图, 如果C是闭合的。

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间
• 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 05 - 完整信息的静态博弈 纳什均衡
• 读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略