读书笔记: 博弈论导论 - 10 - 完整信息的动态博弈 重复的博弈
重复的博弈(Repeated Games)
本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。
有限地重复的博弈
- 有限地重复的博弈(Finitely Repeated Games)
给定一个阶段博弈G,一个有限地重复的博弈被记做G(T, \delta),其中阶段博弈G被连续进行了T次,\delta是公共折扣因子。
推论 10.1
如果有限重复博弈的阶段博弈有一个唯一的纳什博弈,
则这个有限重复博弈有一个唯一的子博弈精炼均衡。
- 现值(present value)
在一个无限队列的收益 { v_i }_{i=1}^{\infty}中,玩家i的现值是
v_i = \sum_{t=1}^{\infty} \delta^{t-1} v_i^t \\ where \\ 0 < \delta < 1
- 平均收益(average payoff)
在一个无限队列的收益 { v_i }_{i=1}^{\infty}中,玩家i的现值是
\bar{v_i} = (1 - \delta) \sum_{t=1}^{\infty} \delta^{t-1} v_i^t \\ where \\ \delta < 1
- 策略
在一个无限重复博弈中,H_t代表长度为t的所有可能历史的集合。
h_t \in H_t是一种历史。
H = \cup_{t=1}^{\infty} H_t为所有可能历史的集合。
玩家i的一个纯策略是一个映射s_i: H \to S_i,映射历史到这个阶段博弈的行动。
玩家i的一个行为策略一个映射\sigma_i: H \to \Delta S_i,映射历史到这个阶段博弈的行动的随机选择。
- 子博弈精炼均衡(Sub-game-perfect equilibria)
一个纯博弈组合(s_1^*(\cdot), s_2^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot)), s_i: H \to S_i, \forall i \in N是一个子博弈精炼均衡,
如果在每一个子博弈中,(s_1^*(\cdot), s_2^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot))的约束都是一个纳什均衡。
推论 10.2
一个无限重复博弈G(\delta), \delta < 1,其阶段博弈G的一个(静态)纳什均衡(\sigma_1^*, \sigma_2^*, \cdots, \sigma_n^*)
定义这个重复博弈的每个玩家i的策略为不依赖历史的纳什策略,\sigma_i^*(h) = \sigma_i^*, \forall h \in H
则(\sigma_1^*(h), \sigma_2^*(h), \cdots, \sigma_n^*(h))为这个重复博弈的一个子博弈精炼均衡。
不依赖历史的无限重复博弈中阶段博弈,其纳什均衡就是重复博弈的子博弈精炼均衡。
推论 10.3
在一个无限重复博弈G(\delta)中,一个策略组合是一个子博弈精炼均衡,
当且仅当不存在玩家i在其单个历史h_{t-1}中,可以从s_i(h_{t-1})偏离中获得更多的收益。
- 凸组合(convex combination)
给定两个矢量v = (v_1, v_2, \cdots, v_n)和v’ = (v‘_1, v’_2, \cdots, v‘_n)
\hat{v} = (\hat{v}_1, \hat{v}_2, \cdots, \hat{v}_n)是一个凸组合(convex combination),
如果\hat{v} = \alpha v + (1 - \alpha) \hat{v}, \alpha \in [0, 1]或者说\hat{v}_i = \alpha v_i + (1 - \alpha) \hat{v}_i, \forall i \in [1, \cdots, n]
从几何上说凸组合位于两个点之间线段上的任意点。
- 凸包(convex hull)
给定一组矢量V = \{v^1, v^2, \cdots, v^k \},则V的凸包(convex hull)为:
CoHull(V) = \{ \\ v = \sum_{j=1}^k \alpha_j v^j \\ where \\ v \in \mathbb{R}^n, \\ \exists (\alpha_1, \cdots, \alpha_k) \in R_+^n, \\ \sum_{j=1}^k \alpha_j = 1\\ \}
几何上的理解为:
当n = 2(矢量的维度是2)时,
两个点的凸包就是两个点之间线段;
多个点的凸包就是多个点之间组成的平面;
当n > 2(矢量的维度 > 2)时,
两个点的凸包就是两个点之间线段;
多个点的凸包就是多个点之间组成的多维空间(维度为m \leq n \ \land \ m \leq k - 1)
- 可行收益(feasible payoffs)
一个博弈的所有收益的凸包为可行收益的集合。
大众定理(the folk theorem)
G(\delta)为一个有限,同时选择的完整信息博弈,
v^* = (v_1^*, \cdots, v_n^*)为博弈G的一个纳什均衡的收益,也是G的可行收益。
如果存在v_i > v_i^*, \forall i \in N, \delta为一个足够接近1的值,
则对于\(G(\delta)\)的无限重复博弈,存在一个子博弈精炼均衡,其平均收益接近于v = (v_1, \cdots, v_n)
大众定理由于是多人贡献,也搞不清是那些人,而得名。
参照